孫樂園, 賈如巖, 楊枝山, 江振宇

(國防科學技術大學 航天科學與工程學院, 湖南 長沙 410073)

重型運載火箭軌跡/總體參數(shù)一體化優(yōu)化方法

孫樂園, 賈如巖, 楊枝山, 江振宇

(國防科學技術大學 航天科學與工程學院, 湖南 長沙 410073)

研究了重型運載火箭軌跡/總體參數(shù)一體化優(yōu)化問題。建立了一體化參數(shù)優(yōu)化模型,設計了一種雙環(huán)迭代優(yōu)化算法,外環(huán)采用遺傳算法進行參數(shù)優(yōu)化,內(nèi)環(huán)通過帶自適應松弛因子的改進牛頓迭代法進行參數(shù)迭代。針對牛頓迭代法對模型本身及迭代初值敏感的問題,提出了一種模型變量篩選方法和迭代初值生成方法?；贛orris參數(shù)全局靈敏度分析法篩選出對終端等式約束影響最大的參數(shù)作為牛頓迭代變量,以歷史迭代收斂值作為當前迭代初值。并通過迭代誤差監(jiān)控,保證了算法的魯棒性。以三級液體重型運載火箭為對象,進行了一體化優(yōu)化仿真。仿真結(jié)果顯示起飛總質(zhì)量減少了4.09%,表明設計的雙環(huán)迭代優(yōu)化算法能在復雜約束下完成重型運載火箭軌跡/總體參數(shù)一體化優(yōu)化。

重型運載火箭;一體化優(yōu)化;改進牛頓迭代法;全局靈敏度分析;迭代初值

隨著人類空間探索的不斷深入,世界各國已經(jīng)將越來越多的探索目標瞄準了更加遙遠的深空[1]。在我國“載人航天工程”和“探月工程”順利實施的基礎上,為了滿足未來載人登月、深空探測以及建設大型空間設施等重大航天任務的需求,發(fā)展具備大噸位運載能力的重型運載火箭成為我國航天技術發(fā)展的重要支柱[2]。重型運載火箭的總體優(yōu)化設計工作是其研制階段的牽引項目。在概念設計階段,總體參數(shù)和軌跡參數(shù)的一體化優(yōu)化設計可以最大程度挖掘運載火箭設計性能[3]。一體化優(yōu)化設計的關鍵在于設計變量和目標函數(shù)選擇,以及各學科參數(shù)間的耦合問題[4]。國內(nèi)外學者基于這些問題做了大量研究工作,并成功應用于工程實際中[5-7]。

遺傳算法以解的多樣性和并行性優(yōu)勢,較好地避免了陷入局部最優(yōu)解的問題,成為目前在運載火箭一體化優(yōu)化領域應用最為廣泛的智能優(yōu)化方法[8-9]。但是傳統(tǒng)的智能優(yōu)化算法雖然能較好地解決約束上下限的問題,但處理等式約束問題效率不高,而運載火箭一體化優(yōu)化問題中通常包含多個等式約束。牛頓迭代法求解等式約束問題具有收斂快、穩(wěn)定性好、精度高等優(yōu)點,可通過牛頓迭代法對優(yōu)化過程中的等式約束進行迭代求解[10]。但是牛頓迭代法對模型變量和迭代初值敏感,運載火箭一體化優(yōu)化問題設計變量多,變化范圍大,會導致牛頓迭代法難以收斂。

本文研究了重型液體運載火箭軌跡/總體參數(shù)一體化優(yōu)化設計問題。通過設計一種基于遺傳算法和牛頓迭代法的雙環(huán)迭代優(yōu)化算法實現(xiàn)參數(shù)的一體化優(yōu)化。針對牛頓迭代法對模型及迭代初值敏感的問題,采用Morris參數(shù)全局靈敏度分析法[11]篩選出敏感變量作為迭代變量,保證牛頓迭代法快速收斂,以初值繼承方法提供迭代初值,克服不合理初值導致迭代過程發(fā)散的問題。并通過誤差監(jiān)控保證算法魯棒性。

1 優(yōu)化數(shù)學模型

1.1 質(zhì)量計算模型

本文針對具體對象,將重型運載火箭質(zhì)量分為固定質(zhì)量和變化質(zhì)量。推進劑加注量是液體運載火箭的主要變化質(zhì)量,而貯箱質(zhì)量也會隨著推進劑量發(fā)生改變。本文采用橢球封頭的圓柱形貯箱,當火箭直徑保持不變時,貯箱封頭質(zhì)量恒定,僅貯箱柱段質(zhì)量發(fā)生變化,柱段質(zhì)量可表示為推進劑質(zhì)量的函數(shù)

(1)

式中,mft為貯箱封頭內(nèi)的推進劑質(zhì)量,D、d分別為貯箱的外徑和內(nèi)徑,ρz為貯箱材料密度,ρp為推進劑密度,推進劑總質(zhì)量mp為設計變量。

設備質(zhì)量、發(fā)動機質(zhì)量和級間段質(zhì)量的變化量相對于重型運載火箭總質(zhì)量為小量,將三者視為固定質(zhì)量。

可得液體運載火箭起飛質(zhì)量計算模型

m0=mg+mp+mzp

mzp=f(mp)

(2)

式中，mg為固定質(zhì)量,推進劑質(zhì)量mp考慮起飛前消耗和關機剩余量。

1.2 發(fā)動機性能計算模型

運載火箭飛行性能主要受發(fā)動機推力Pe和工作時間tgz影響,兩者與推進劑質(zhì)量的關系可表示為

(3)

式中，比沖Isp由推進劑種類決定。Pe、mp、tgz中僅2個獨立變量。發(fā)動機推力大小取工作時間內(nèi)的平均值,作為設計變。

1.3 飛行程序控制模型

飛行程序控制模型采用垂直起飛和程序轉(zhuǎn)彎,俯仰程序角設計如下:

1) 一級飛行段

運載火箭一級在稠密大氣層中飛行,由于受到飛行性能約束,飛行程序通常采用固體的形式[12]

(4)

攻角轉(zhuǎn)彎段

α(t)=-αm·sin2f(t)

(5)

式中

(6)

(7)

αm為最大轉(zhuǎn)彎負攻角,為待設計參數(shù)。tb為攻角轉(zhuǎn)彎開始時間,te為攻角轉(zhuǎn)彎結(jié)束時間,tm為最大負攻角時間,t1為一級關機時間。

2) 二、三級飛行段

二、三級飛行段大氣已相當稀薄,氣動載荷對彈道已沒有特殊要求,采用程序俯仰角離散化形式

i=1,2 (8)

1.4 彈道計算模型

彈道計算模型考慮以下基本假設:

1) 地球為兩軸旋轉(zhuǎn)均值橢球;

2) 采用考慮J2項的近似引力模型;

3) 箭體無慣性,完全按程序飛行

4) 不考慮外界因素對發(fā)動機推力和流量的影響,不考慮發(fā)動機過度特性;

采用發(fā)射系中的空間彈道計算方程,詳細計算模型參考文獻[12]。

2 軌跡/總體參數(shù)一體化優(yōu)化問題

2.1 目標函數(shù)

運載火箭起飛質(zhì)量是一項重要性能指標,影響著其成本及維護使用性能。在給定運載能力的前提下,以起飛質(zhì)量最小為優(yōu)化目標函數(shù),即

minJ=m0

(9)

2.2 優(yōu)化設計變量

運載火箭總體性能主要由各級推進劑加注量及推力大小決定,同時受飛行程序影響,選擇以下參數(shù)為軌跡/總體參數(shù)一體化設計變量

(10)

分別為三級推進劑量、三級推力、第一級轉(zhuǎn)彎最大負攻角、第三級俯仰角變化率和有效載荷質(zhì)量。

2.3 約束條件

約束條件主要包括過程約束和終端約束。

根據(jù)工程實際需求,選擇如下指標作為過程約束條件:

1) 火箭起飛推重比:N0min≤N0(X)≤N0max;

2) 最大法向過載:ny(X)≤nymax;

3) 最大動壓:q(X)≤qmax.

終端約束由目標軌道決定。對于圓軌道,終端絕對狀態(tài)約束為

對于運載能力給定的情況,需要設置有效載荷質(zhì)量約束:mu≥mu-need,mu-need為任務要求的有效載荷質(zhì)量。

3 參數(shù)優(yōu)化方法

3.1 雙環(huán)迭代優(yōu)化方法

基于以上建模,將運載火箭軌跡/總體參數(shù)一體化優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一個帶有復雜不等式約束和等式約束的多參數(shù)優(yōu)化問題。采用外環(huán)遺傳算法優(yōu)化,內(nèi)環(huán)改進牛頓法迭代的雙環(huán)迭代優(yōu)化方法對優(yōu)化問題求解。針對牛頓迭代法收斂過程對模型本身及迭代初值敏感的問題,首先基于Morris法對所有設計變量進行全局靈敏度分析,篩選出對終端等式約束影響最為顯著的3個設計變量作為牛頓迭代變量,影響較小的作為遺傳算法優(yōu)化變量。由于等式約束對遺傳算法個體參數(shù)敏感度較低,對于不同個體,迭代參數(shù)收斂值不會相差太遠,因此采用初值繼承方法,以上一個體的迭代參數(shù)收斂值作為當前遺傳個體下迭代參數(shù)的初值,從而避免初值不合理引起的迭代發(fā)散問題。并通過誤差監(jiān)控,保證優(yōu)化算法的魯棒性。算法流程圖見圖1。

圖1 算法流程圖

根據(jù)上述算法流程圖,算法關鍵步驟為:

1) 設計變量靈敏度分析

基于Morris法對設計變量X=(x1,x2,…,x9)各元素(均為歸一化變量)進行靈敏度分析,靈敏度最大的3個元素構成的設計變量XN=(x(1),x(2),x(3))作為內(nèi)環(huán)牛頓迭代變量,其余6個元素構成外環(huán)遺傳算法優(yōu)化變量XG=(x(4),…,x(i),…x(9))。

2) 種群初始化

3) 牛頓迭代計算

c) 對迭代過程的終端狀態(tài)誤差進行監(jiān)控,當?shù)`差發(fā)散時,放棄本次迭代,以牛頓迭代初值作為迭代環(huán)輸出,并令誤差標識量esp=∞(實際應用時取一個充分大的正實數(shù)),防止無法滿足入軌狀態(tài)的遺傳個體成為最優(yōu)解。

4) 適應值計算

3.2 遺傳算法適應值函數(shù)

運載火箭參數(shù)優(yōu)化問題是一個帶多個不等式約束的非線性規(guī)劃問題,通過在遺傳算法適應值函數(shù)中增加懲罰項來處理不等式約束下的優(yōu)化問題。本文中取加法形式的懲罰函數(shù),構造適應值函數(shù)為

Eval(X)=m0(X)+p(X)+pesp(esp)

(11)

式中約束懲罰項p(X)由下式確定

(12)

式中，ζi為第i個約束的懲罰系數(shù),m為不等式約束個數(shù)。

迭代誤差懲罰項

pesp(esp)=esp

(13)

3.3 改進牛頓迭代法

運載火箭軌跡/總體參數(shù)一體化優(yōu)化問題是一個帶有等式約束的多參數(shù)優(yōu)化問題。針對圓軌道的入軌需求,本文給出了3個終端等式約束,而簡單遺傳算法只能解決約束上下限的優(yōu)化問題,對等式約束問題往往轉(zhuǎn)化為2個不等式約束進行處理,效率較低。而牛頓迭代法求解等式約束問題具有收斂快、精度高的優(yōu)點。本文通過設計一個三維變量x=(x(1),x(2),x(2))T,(x(1),x(2),x(2)∈X),將等式約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為求解三元非線性方程組的問題,并采用改進牛頓迭代法[13]進行求解

(14)

以x0為初始猜測值,牛頓法第j步迭代公式為

xj=xj-1+dj, j=1,2,…

(15)

搜索方向由(16)式確定

(16)

當初始點離最優(yōu)解較遠,牛頓法迭代法不能保證搜索方向為最速下降方向[14],為了克服這一問題,改進牛頓迭代法選取牛頓方向d作為搜索方向,而用一維搜索確定最優(yōu)步長,采用自適應松弛因子

(17)

第j步采用迭代公式為

xj=xj-1+σjdj, j=1,2,…

(18)

3.4 基于Morris法的參數(shù)全局靈敏度分析

為了保證牛頓迭代法快速收斂,要求迭代設計變量x與終端等式約束緊密相關。本文基于Morris法對所有設計變量進行全局靈敏度分析,篩選出對終端狀態(tài)影響最大的3個變量作為牛頓迭代變量。

Morris法由Morris在1991年提出,能以較小的計算代價得到參數(shù)全局靈敏度的比較及參數(shù)相關性和非線性的定性描述。Morris法的基本思想是[15]:假定衡量參數(shù)xi靈敏性的“基本因素(EE)”服從某種分布均值為μi,標準差為σi的分布Fi,參數(shù)xi所對應的均值越大,則對模型輸出的影響程度就越大,而標準差表示參數(shù)之間的相互作用程度。

設系統(tǒng)模型為y=y(x1,…,xi,…xm),根據(jù)Morris法進行模型參數(shù)全局靈敏度分析的基本算法流程為:

1) 令m維對角矩陣D每個對角元素等概率取為+1或-1,矩陣B∈為一個元素為1的嚴格下三角陣,Jm+1,m是(m+1)×m維所有元素都為1的矩陣,取

J*=(2B-Jm+1,m)·D+Jm+1,m

(19)

X=(x1,…,xi,…xm)

(20)

3) 設P為m×m維隨機置換矩陣,即每行每列都只有一個值為1,其余為0。Jm+1,1為所有元素都為1的(m+1)×1維矩陣,則采樣矩陣的隨機化矩陣B*為

(21)

由于B*為隨機取值,且相鄰兩行只有一列的元素不同,假設為第j列,即

(22)

式中，xj1-xj2=Δ。因此選擇B(j)作為系統(tǒng)的輸入?yún)?shù)向量,則第j個參數(shù)的基本因素(EE)可由下式計算

(23)

取所有m組相鄰行作為模型輸入?yún)?shù)向量,可獲得m個參數(shù)的基本因素。

4) 進行N次采樣,重復步驟1)到3),獲得每個參數(shù)的N個基本因素樣本值。

5) 計算每個輸入?yún)?shù)xi(i=1,2,…,m)基本因素的樣本均值作為μi的估計值,并據(jù)此判斷輸入?yún)?shù)的全局靈敏性。

4 優(yōu)化算例與分析

根據(jù)本文建立的運載火箭軌跡/總體參數(shù)一體化優(yōu)化模型,研究三級液體運載火箭的一體化優(yōu)化設計問題。運載能力要求將60t有效載荷送入軌道傾角為68°的200 km近地圓軌道。

起飛推重比約束為1.2≤N0≤1.4,法向過載約束ny≤0.05,動壓約束q≤0.025 MPa。

遺傳算法種群規(guī)模取20,最大進化代數(shù)取100。牛頓迭代法終端高度誤差小于1 000 m,絕對速度誤差小于5 m/s,當?shù)亟^對速度傾角誤差小于0.05°。

4.1 參數(shù)靈敏度分析結(jié)果

本文優(yōu)化設計變量為

(24)

利用Morris法對參數(shù)進行靈敏度分析,分析結(jié)果見圖2～圖4。

圖2 終端高度的靈敏度 圖3 終端絕對速度的靈敏度圖4 終端當?shù)厮俣葍A角的靈敏度

4.2 迭代優(yōu)化結(jié)果與分析

基于參數(shù)靈敏度分析結(jié)果,對設計變量進行迭代優(yōu)化。圖5～圖7為一個種群下基于初值繼承方法的改進牛頓迭代法高度、速度、當?shù)厮俣葍A角的誤差變化曲線(高度、速度為歸一化標準量)。

圖5 高度誤差收斂曲線 圖6 速度誤差收斂曲線圖7 當?shù)厮俣葍A角誤差收斂曲線

由圖可知,初值繼承方法較好解決了牛頓迭代法對初值敏感的問題,對每一個個體,迭代誤差均能在25步以內(nèi)收斂。

軌跡/總體參數(shù)優(yōu)化結(jié)果如表1～表4所示。

表1 參數(shù)優(yōu)化結(jié)果

表2 參數(shù)迭代結(jié)果

表3 不等式約束優(yōu)化結(jié)果

表4 等式約束優(yōu)化結(jié)果

優(yōu)化計算結(jié)果表明,優(yōu)化后起飛質(zhì)量減輕了67 t(減少4.09%),相應的終端等式約束和過程不等式約束均得到很好滿足。

5 結(jié) 論

運載火箭總體參數(shù)和軌跡參數(shù)優(yōu)化設計是運載火箭總體優(yōu)化設計的關鍵階段。本文從工程實際出發(fā),提出了一種運載火箭軌跡/總體參數(shù)一體化優(yōu)化方法。

1) 建立了重型運載火箭軌跡/總體參數(shù)一體化優(yōu)化問題的數(shù)學模型;

2) 設計了一種雙環(huán)迭代優(yōu)化算法,外環(huán)通過遺傳算法對優(yōu)化設計變量尋優(yōu),內(nèi)環(huán)基于帶自適應松弛因子的改進牛頓迭代法對迭代設計變量進行迭代求解。

3) 提出了一種基于Morris法的軌跡/總體參數(shù)全局靈敏度分析和初值繼承的初值生成方法,較好解決了牛頓迭代法收斂過程對模型及初值敏感的問題,并通過迭代誤差監(jiān)控,保證了算法魯棒性。

4) 優(yōu)化結(jié)果表明,本文所提出的一體化優(yōu)化算法能有效提高重型運載火箭整體設計性能,過程約束和終端約束均能很好滿足,可為重型運載火箭軌跡/總體參數(shù)一體化優(yōu)化設計工作提供參考。

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An Integrated Optimization Method of Trajectory/System Parameters for Heavy Launch Vehicles

Sun Leyuan, Jia Ruyan, Yang Zhishan, Jiang Zhenyu

(College of Aerospace Science and Engineering, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

The integrated optimization of trajectory/system parameters for heavy launch vehicles was investigated. A model of integrated optimization was set up. An iterative optimization algorithm with double loops was designed. The genetic algorithm was used to optimize parameters in outer loop, and the improved Newton iteration method with an adaptive relaxation factor was used to iterate parameters in inner loop. Aiming at the susceptibility of Newton iteration method to the model and initial values, a method of model variable screening and initial iteration values generation were proposed. Based on the Morris method of global sensitivity analysis, the parameters with the biggest influence on the terminal equality constraints were taken as the Newton iteration variables. And the historic convergent iteration values were set as the current initial iteration values. And the robustness of the algorithm was ensured by monitoring of the iterative error. A liquid heavy launch vehicle with 3 levels was set as an example for integrated optimization simulation. The results showed that initial mass decreases by 4.09% and demonstrate that the iterative optimization algorithm with double loops can complete the integrated optimization of trajectory/system parameters for heavy launch vehicles with complex constraints.

Heavy launch vehicles, Integrated optimization, Improved Newton iteration method, Global sensitivity analysis; Initial iteration values

2016-04-14

孫樂園(1991—)，國防科學技術大學碩士研究生，主要從事飛行器總體設計與系統(tǒng)仿真研究。

V421.1

A

1000-2758(2016)06-1101-07