劉俊峰，胡志強

1上海交通大學海洋工程國家重點實驗室，上海200240

2高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海200240

船舶碰撞機理三維解析法實現(xiàn)及恢復系數(shù)研究

劉俊峰1，2，胡志強1，2

1上海交通大學海洋工程國家重點實驗室，上海200240

2高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海200240

［目的］采用解析方法分析船舶碰撞動力特性較為快速和準確，其中外部動力學分析十分重要。［方法］為此，運用MATLAB程序實現(xiàn)船舶碰撞外部機理三維簡化解析方法，計算兩艘船舶碰撞的動能損失，并與二維解析方法的計算結果進行比對。在實現(xiàn)船舶碰撞動能損失快速計算解析方法的基礎上，討論碰撞高度、角度和位置對動能損失的影響。此外，還研究碰撞場景對保守恢復系數(shù)的影響和保守恢復系數(shù)對動能損失的影響。［結果］結果表明：三維解析方法得到的動能損失小于二維解析方法，碰撞高度對于動能損失有明顯的影響；簡化解析方法中，對于碰撞角度大于90°的場景，恢復系數(shù)簡單地取0并不安全。［結論］在今后的外部動力學分析中，為了使動能損失的計算值更加準確，可以使用三維解析方法代替二維解析方法。

船舶碰撞；外部動力學；三維解析法；能量耗散；恢復系數(shù)

0 引 言

船舶碰撞是一個高度非線性過程，為分析其碰撞過程，碰撞機理常被分為外部動力學和內部動力學兩個獨立的過程來開展研究［1］。外部動力學主要利用剛體運動理論，分析撞擊船和被撞船的運動姿態(tài)，以及碰撞過程中的能量損耗。內部動力學主要利用彈塑性力學理論解決撞擊船和被撞船的結構變形阻力、變形能耗散和結構損傷等問題。

船舶碰撞會產生災難性的后果，因此很多學者開展了船舶碰撞研究。在外部動力學的研究中，Minorsky［2］開展了開創(chuàng)性研究，假設被撞船發(fā)生完全塑性變形，利用動量守恒定律，將周圍附連水的影響視為附加質量且碰撞過程中不變化，從而估計船舶碰撞中的動能損失。Pedersen等［3］提出了船舶碰撞的沖擊動力學模型，通過積分各方向上的接觸力和相對位移，獲得各方向上的能量耗散和沖量變化值。但是該模型僅適用于二維平面空間，并且由于方程建立在總體坐標系下，比較復雜，較難推廣到三維空間。Stronge［4］提出了三維碰撞解決方案，但是該模型僅涉及碰撞物體的速度和加速度求解。在Stronge［4］的研究基礎之上，Liu等［5］提出了船舶碰撞的三維動力學模型，求得各方向上的能量損耗和沖量變化值。該研究方法的主要特點是所有的方程都建立在局部坐標系中，并且可以得到該局部坐標系下沿著每個坐標軸能量耗散值的封閉解。另一方面，部分學者為了真實地模擬船舶碰撞過程，從時域上來研究碰撞能量的耗散過程。Petersen［6］提出了一種時域上解析二維船舶碰撞外部動力學的方法，基于船舶的水平面運動方程，將被撞船舷側簡化為4個非線性的彈簧，采用時間上數(shù)值積分，得到船舶碰撞中船舶的運動響應、動能損失和破損深度。Tabri等［7-9］針對船舶的碰撞過程，結合實船實驗和模型實驗數(shù)據(jù)，以船舶操縱模型為基礎，提出一種解析船舶碰撞中船舶運動的方法。Yu等［10］應用顯式非線性有限元軟件LS_DYNA的計算模塊，通過子程序添加水動力以及通過LS_DYNA計算碰撞力，提出了一種耦合外部動力學和內部動力學的方法。

在內部動力學的研究中，Lützen等［11］利用超單元法估算船舶碰撞中的變形阻力和能量耗散，考慮了舷側結構和船艏形狀的影響。Kitamura［12］利用FEM討論了很多簡化解析方法中忽略的問題，包括船體梁橫向彎曲、等效失效應變、被撞船的前進速度和碰撞角度。Haris等［13］提出一種簡化解析方法，能夠快速估算船舶碰撞中的損傷和能量耗散，并用LS_DYNA的數(shù)值結果進行了驗證。Sun等［14］提出的簡化方法則能夠分別估算舷側外板、骨材和桁材的變形阻力和能量耗散，從而得到整個舷側結構的變形阻力和能量耗散。

在外部動力學簡化解析方法中，恢復系數(shù)對碰撞能的大小有直接影響，但目前缺少詳細研究成果。Pedersen等［3］提出了快速估算二維船舶碰撞能量損失和碰撞沖量的方法，該方法有封閉解。在其研究中，恢復系數(shù) e取值范圍為0≤e≤1。對于完全塑性碰撞，恢復系數(shù)取0；對于完全彈性碰撞，恢復系數(shù)取1；但是，關于恢復系數(shù)的選取方法，并沒有給出詳細解釋。Liu等［5］提出了船舶碰撞外部動力學的三維模型，并將之用于計算船—冰碰撞的作用力，也沒有對恢復系數(shù)的選取進行深入討論，只是取0計算?；謴拖禂?shù)是外部動力學模型中很重要的參數(shù)，決定了兩船之間的相對速度在碰撞前后的大小關系。一般認為，如果恢復系數(shù)取為0，則撞擊船碰撞之后不會被被撞船舷側反彈，此時應變能最大，動能損失最多，偏于保守。如果取恢復系數(shù)為1，則撞擊船會被彈開，此時動能損失最少，偏于危險。在不了解恢復系數(shù)的情況下，可以簡單地取恢復系數(shù)為0。但實際上，取恢復系數(shù)為0并不是保守的，對于不同的碰撞場景，保守恢復系數(shù)（這里，定義為使動能損失最大的恢復系數(shù)，且取值范圍0≤e≤1）不同。

本文將用MATLAB程序實現(xiàn)船舶碰撞外部動力學三維簡化解析方法，討論碰撞高度、角度和位置對碰撞能的影響。此外，還將討論碰撞場景對于恢復系數(shù)的影響，并將用保守恢復系數(shù)計算得出的新的碰撞能（即碰撞過程中的動能損失）與恢復系數(shù)取0所對應的碰撞能進行比較。

1 外部動力學三維解析方法

1.1 坐標系統(tǒng)

總體坐標系（固定坐標系）與局部坐標系的定義如圖1所示，總體坐標系為慣性系，原點位于船舶重心，采用右手坐標系，X軸沿船艏方向，Z軸向上。局部坐標系原點位于碰撞點C處，其3個相互垂直的單位向量分別記為n1，n2和n3。向量n1和n2位于碰撞切平面處，向量n3垂直于該切平面。為了后面闡述的方便，還引入連體坐標系，初始時與總體坐標系重合。

1.2 船舶碰撞運動方程

船舶碰撞的過程中，船舶被視為剛體，因此，可以使用牛頓—歐拉方程來描述剛體的運動。剛體一般運動的牛頓—歐拉方程為：

式中：ω為剛體的在局部坐標系下的角速度向量；v為剛體在局部坐標系下重心處的速度向量；M為局部坐標系下的質量矩陣；F為局部坐標系下的力向量；J為局部坐標系下的轉動慣量矩陣；G為力矩向量。

在碰撞中，通過考慮質量矩陣和轉動慣量矩陣中的附加質量和附加慣量，來簡化水動力對碰撞過程的影響。

式（1）和式（2）具有非線性，不方便求解。假定碰撞時間很短，則 Mω×v和ω×Jω這兩項為小量，得到線性式（3）和式（4）：

式中，r表示從重心到碰撞點處的位置矢量。

使用符號′區(qū)分撞擊船和被撞船，帶′的物理量表示撞擊船的物理量，否則表示被撞船的物理量。碰撞過程中，假定碰撞點C處的碰撞力不變，兩船的沖量dPi和dP′i表達式為：

則船舶的運動方程張量形式為：

式（7）～式（10）中：重復出現(xiàn)的下標表示求和，εijk表示置換矩陣，當其下標為順時針排列時值為+1，逆時針排列值為-1，有重復下標時值為 0； Mij，M′ij，Iij，I′ij分別表示兩艘船局部坐標系下的質量矩陣和慣量矩陣；rj，r′j分別表示兩艘船從各自重心到碰撞點處的位置矢量；Vj，V′j表示重心處的速度。

上面得到的式（7）～式（10）與Stronge［4］提出的三維碰撞模型一致，可以采取與Liu等［5］同樣的求解過程。

2 算例分析

采用MATLAB軟件編制程序，實現(xiàn)船舶碰撞外部動力學的三維簡化解析方法，得到船舶碰撞中的動能損失。

2.1 碰撞場景

本文借用文獻［15］的算例。兩艘供應船向前的航行速度均為4.5 m/s，兩艘船的船長82.5 m，船寬18.8 m，吃水7.6 m，排水量4 000 t。X和Y方向上的附加質量系數(shù)分別取為0.05和0.85，艏搖的附加轉動慣量系數(shù)取為1。慣性半徑取為對應船長的0.25。為與算例的結果進行對比，兩艘船之間的摩擦力系數(shù) μ0取值與算例相同，取0.6。

為分析不同碰撞位置對碰撞結果的影響，選取被撞船從船艏到船艉的24個點為碰撞點，在XYZ總體坐標系下位置坐標如表1所示，其中α為水線角，表征被撞船水線的曲率。撞擊船的碰撞位置選取為撞擊船船艏，如圖2所示。并且，為考慮不同碰撞角θ對碰撞結果的影響，θ值分別取為30°，60°，90°，120°和150°。

在本文的算例中，選取上述的兩艘供應船為分析對象，附加質量、慣量系數(shù)和回轉半徑均通過經驗公式［16］求得。在二維碰撞中，忽略了垂向的影響，即假定被撞船A和撞擊船B碰撞點垂向坐標Zc和Z′c均為0，因此計算結果中只有垂蕩、橫蕩和艏搖運動。三維碰撞要考慮碰撞點垂向高度的影響，碰撞點在被撞船A處的垂向坐標Zc變化范圍為0～1Rxx，Rxx為被撞船A橫搖運動的回轉半徑，該范圍是根據(jù)船舶重心的垂向坐標為吃水的一半這一假定得到的。計算中，假定被撞船A上碰撞點的垂向坐標 Zc分別為0，0.25Rxx，0.5Rxx，0.75Rxx和1Rxx，撞擊船B上碰撞點的垂向坐標 Z′c為0.5R′xx。被撞船A上碰撞點在總體坐標系下的坐標 Xc和Yc及撞擊船B上碰撞點的坐標 X′c和Y′c和二維碰撞場景下相同。兩艘船舶碰撞角度分別為30°，60°，90°，120°和150°。因此，總共有120個碰撞點位置，600個碰撞場景。

2.2 結果分析

計算求得600個碰撞場景下的碰撞能量損耗率（動能損失和初始動能之比），并繪制指定碰撞角度θ和垂向碰撞位置場景下的碰撞能量損耗率隨碰撞點沿船長方向位置變化的曲線（圖3）。

由圖3（a）～圖3（e）可以看出，碰撞點高度對于碰撞能量損耗率有較大的影響。當碰撞點的Xc和Yc坐標確定，碰撞角度給定時，碰撞能量損耗率隨著碰撞點高度Zc的增大而減少，特別是發(fā)生船舯碰撞時，該現(xiàn)象更加明顯。這是由于Zc越大誘導產生的橫搖運動越大，從而動能損失越小，即碰撞能量損耗率越大。相同的碰撞高度，碰撞點靠近船艏或船艉時，會引起強烈的艏搖和橫搖運動；當碰撞點在船舯時，由碰撞高度導致的橫搖運動占主要部分，艏搖運動較小。因而，在船舯碰撞時，碰撞高度的影響較為明顯。圖3（a）～圖3（e）還給出了文獻［15］的二維計算結果?？梢钥闯觯S解析方法得到的碰撞能量小于二維解析方法。當碰撞高度等于0時，三維方法得到的結果與二維方法基本接近。

從圖3（f）中可以看出，碰撞角度和碰撞點位置對于碰撞能量損耗率的影響也較為明顯。當碰撞角度為0°～120°時，碰撞能量損耗率隨碰撞角度的增加而增加；當碰撞角度為120°～150°，碰撞能量隨碰撞角度增加而降低。因為，碰撞角度增加到一定數(shù)值時，兩艘船發(fā)生相對運動，使得動能損失減少。此外，碰撞角度為120°和150°時，被撞船A艏部碰撞時碰撞能量明顯大于船艉碰撞所對應的能量，并且碰撞角度越大，艏部碰撞時碰撞能量增加得越明顯。原因是被撞船A艏部的曲率不為0，使得碰撞接近于相向碰撞。

3 恢復系數(shù)的影響

恢復系數(shù)的大小可能與兩艘船各自的特性（舷側結構、船長、船寬、吃水和船型等）和碰撞場景參數(shù)（被撞船速度、撞擊船速度、碰撞角度和碰撞位置）有關。本節(jié)將討論碰撞場景和兩艘船各自的特性對保守恢復系數(shù)的影響，以及保守恢復系數(shù)對碰撞能的影響。

3.1 碰撞場景和兩艘船的特性對保守恢復系數(shù)的影響

為研究碰撞場景對保守恢復系數(shù)的影響，保持其他量不變，分別調整被撞船速度、撞擊船速度、碰撞角度和碰撞位置，得到不同的動能損失—恢復系數(shù)曲線，如圖4～圖7所示。圖中的標注“x”所在的點表示曲線的最高點，其橫坐標對應于保守恢復系數(shù)。圖的題目中，v_stru代表被撞船的速度，v_stri代表撞擊船的速度。

從圖4可以看出，對于碰撞角小于90°的情況，在恢復系數(shù)等于0時，動能損失最大。因為恢復系數(shù)越小，則被撞船的內能（即應變能）恢復為動能的部分就越小，動能損失越大。對于碰撞角大于90°的情況，如碰撞角為120°和150°，在恢復系數(shù)等于0處，卻沒有取得最大值。這是由于動能損失由摩擦能（切向力做功）和內能（法向力做功）構成。為驗證這一解釋，分別計算60°和120°時相應的摩擦能和內能。

從圖8和圖9可以看出，60°時，摩擦能明顯小于內能，因為碰撞角小于90°，撞擊船速度方向與被撞船速度方向成銳角，沿著接觸面的切向力的相對滑動距離短，摩擦力做功小，故動能損失的變化與內能的變化一致。120°時，摩擦能與內能大小相當，甚至大于內能，因為碰撞角大于90°，沿著接觸面的切向力的相對滑動距離大，摩擦力做功大，此時動能損失變化與內能變化不一致。由圖5～圖7可知，碰撞位置、被撞船速度和撞擊船速度對于保守恢復系數(shù)的選取也有影響。

除了碰撞場景，兩艘船各自的特性（船長、船寬、吃水、排水量和方形系數(shù)等）對于保守恢復系數(shù)的影響，可以采用類似的方法得到。經過研究發(fā)現(xiàn)，兩艘船各自的特性對于保守恢復系數(shù)影響很小，這是因為恢復系數(shù)的影響決定于摩擦能和內能的相對大小，摩擦能主要與相對滑動距離有關，而兩艘船各自的特性對滑動距離的影響可以忽略。

3.2 保守恢復系數(shù)對碰撞能的影響

為具體分析保守恢復系數(shù)對碰撞結果的影響，取Zxx=0.5Rxx，Z′c=0.5R′c，分別求得兩種航速情況下的碰撞能量損耗率。計算過程如圖10所示。計算程序分為主程序和子程序，主程序計算碰撞場景下的動能損失，子程序計算具體碰撞場景下的保守恢復系數(shù)。恢復系數(shù)取保守恢復系數(shù)時，需要調用子程序，子程序的計算過程如圖10所示，計算得到的結果見圖11和圖12。

從圖11和圖12可以看出，對于碰撞角大于90°的碰撞場景，恢復系數(shù)取0顯得并不保守，或者說并不安全，特別是碰撞角越大，保守恢復系數(shù)和恢復系數(shù)取0所對應的碰撞能損耗率差距越大。對于碰撞角小于90°的情況，兩種恢復系數(shù)下的碰撞能損耗率曲線基本接近。圖12中，60°對應的曲線在船艏出現(xiàn)上升，因為撞擊船相對于被撞船的相對速度矢量方向正好與船艏水線的切線方向形成小角度，從而有更大的相對滑動，導致摩擦能較大，碰撞能量損耗增加。

表2和表3分別給出了圖11和圖12中各個碰撞場景下對應的保守恢復系數(shù)?？梢钥闯?，當碰撞角度接近90°時，大多數(shù)保守恢復系數(shù)靠近0；150°左右時，大多數(shù)保守恢復系數(shù)靠近1。

4 結 論

本文給出了一套三維船舶碰撞解析計算方法和程序。相對于二維船舶碰撞解析方法，本文提出的三維船舶碰撞解析方法由于考慮了橫搖、縱搖及垂蕩運動，因此計算得到的碰撞能量小于二維船舶碰撞的結果。

通過具體分析不同碰撞場景下的計算結果，得出結論如下：

1）碰撞高度對于碰撞能量有較明顯的影響，發(fā)生船舯碰撞時，影響尤其明顯。

2）碰撞點位置和碰撞角度對碰撞結果有較明顯的影響，尤其是發(fā)生相向碰撞時，船艏碰撞會產生更大的動能損失。

3）對于碰撞角度大于90°的場景，恢復系數(shù)簡單地取0是不安全的。本文給出的程序，能夠針對每個具體的碰撞場景計算得到對應的保守恢復系數(shù)。

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3D analytical method for the external dynamics of ship collisions and investigation of the coefficient of restitution

LIU Junfeng1，2，HU Zhiqiang1，2
1 State Key Laboratory of Ocean Engineering，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240，China
2 Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration，Shanghai 200240，China

The analytical method for predicting the dynamic responses of a ship in a collision scenario features speed and accuracy，and the external dynamics constitute an important part.A 3D simplified analytical method is implemented by MATLAB and used to calculate the energy dissipation of ship-ship collisions.The results obtained by the proposed method are then compared with those of a 2D simplified analytical method.The total dissipated energy can be obtained through the proposed analytical method，and the influence of the collision heights，angles and locations on the dissipated energy is discussed on that basis.Furthermore，the effects of restitution on the conservative coefficients and the effects of conservative coefficients on energy dissipation are discussed.It is concluded that the proposed 3D analysis yields a lesser energy dissipation than that of the 2D analysis，and the collision height has a significant influence on the dissipated energy.In using the proposed simplified method，it is not safe to simplify the conservative coefficient as zero when the collision angle is greater than 90 degrees.In the future research, to get more accurate energy dissipation,it is a good way to adopt the 3D simplified analytical method instead of the 2D method.

ship collisions；external dynamics；3D analytical method；energy dissipation；restitution coefficient

U661.43

A

10.3969/j.issn.1673-3185.2017.02.011

http://kns.cnki.net/kcms/detail/42.1755.TJ.20170313.1604.018.html

劉俊峰，胡志強.船舶碰撞機理三維解析法實現(xiàn)及恢復系數(shù)研究［J］.中國艦船研究，2017，12（2）：84-91. LIU J F，HU Z Q.3D analytical method for the external dynamics of ship collisions and investigation of the coefficient of restitution［J］.Chinese Journal of Ship Research，2017，12（2）：84-91.

2016-07-28 < class="emphasis_bold"> 網絡出版時間：

時間：2017-3-13 16:04

國家自然科學基金重點項目資助（51239007）

劉俊峰，男，1993年生，碩士生。研究方向：船舶碰撞與擱淺。E-mail：liujunfeng@sjtu.edu.cn

胡志強（通信作者），男，1975年生，博士，副教授。研究方向：船舶碰撞與擱淺，海洋可再生能源，海洋工程結構物動力學性能。E-mail：zhqhu@sjtu.edu.cn

期刊網址：www.ship-research.com