摘 要：文章通過橢球變換方法和坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式與步驟探討了任意帶任意投影面的平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法，以通過平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法的應(yīng)用解決高速公路規(guī)劃路線坐標(biāo)和土地利用圖件套合的問題。通過此方法在某一高速公路實(shí)際應(yīng)用的數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，不同橢球變換方法在控制定位精度、長度變形上是一致的，且符合高速公路規(guī)劃路線坐標(biāo)和土地利用圖件套合的精度要求。

關(guān)鍵詞：橢球變換；獨(dú)立坐標(biāo)系；坐標(biāo)轉(zhuǎn)換；高速公路

高速公路在工程測(cè)量中為了減少投影長度變形，通常建立獨(dú)立工程坐標(biāo)系，此坐標(biāo)系仍采用高斯投影方法，但投影面不是標(biāo)準(zhǔn)的參考橢球面，而是選定的補(bǔ)償高程面，一般選擇區(qū)的平均高程面，投影帶不采用國家6°帶或3°帶，而采用任意帶，投影的中央子午線通常設(shè)在測(cè)區(qū)中央，這樣就形成了任意帶任意投影面的獨(dú)立工程坐標(biāo)系。因此實(shí)際高速公路用地紅線坐標(biāo)通常是獨(dú)立工程坐標(biāo)系下坐標(biāo)，這和國土資源管理部門的以標(biāo)準(zhǔn)橢球面和標(biāo)準(zhǔn)分帶為投影的土地利用現(xiàn)狀圖數(shù)據(jù)不一致，不能簡單套合，從而帶來了不能準(zhǔn)確計(jì)算和展示高速公路范圍內(nèi)土地利用規(guī)劃情況、占用土地利用現(xiàn)狀地類等一系列業(yè)務(wù)問題。兩者之間的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換問題實(shí)際就是任意帶任意投影面的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換計(jì)算問題，這必然涉及到坐標(biāo)換帶問題和橢球變換問題，文章探討了各種橢球變換方法，橢球變換后計(jì)算大地坐標(biāo)的不同方式及坐標(biāo)換帶計(jì)算，實(shí)現(xiàn)了任意帶任意投影面的坐標(biāo)換算，從而實(shí)現(xiàn)了高速公路用地紅線坐標(biāo)和土地利用圖件套合問題的解決。

1 問題模型

問題的實(shí)質(zhì)是不同橢球體上的大地坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，因此轉(zhuǎn)換主要分兩步進(jìn)行，首先是建立起轉(zhuǎn)換前后橢球體元素之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，即建立新橢球元素和舊橢球元素關(guān)系；其次是建立新舊橢球體之間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的具體公式。在新舊橢球體之間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換前，需要用高斯投影反算公式求出平面坐標(biāo)（新橢球體1上）在舊橢球（標(biāo)準(zhǔn)橢球）的大地坐標(biāo)，即（x，y，h）I到（B，L，H）I。大地坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后則需要用高斯投影正算公式求轉(zhuǎn)換出的大地坐標(biāo)（新橢球體2上）的平面坐標(biāo)，即（B，L，H）Ⅱ到（x，y，h）Ⅱ。

1.1 橢球變換方法

選定任意高程面投影會(huì)引起標(biāo)準(zhǔn)橢球參數(shù)的變化，實(shí)際上是建立起了新橢球體并在此橢球體上投影計(jì)算。在工程測(cè)量中，通常選擇實(shí)際觀測(cè)的某一點(diǎn)或者多個(gè)點(diǎn)歸算得到的一個(gè)等效虛擬點(diǎn)作為基準(zhǔn)進(jìn)行橢球變換，得到新橢球。常用的橢球變換方法會(huì)引起坐標(biāo)系原點(diǎn)、橢球長軸及扁率的變化，但一般不會(huì)引起坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)和尺度的變化。假設(shè)橢球變換的基準(zhǔn)點(diǎn)為P0（B0，L0，H0），此坐標(biāo)為基準(zhǔn)點(diǎn)在舊橢球上的大地坐標(biāo)，投影面大地高為△H，此投影面大地高是新橢球面相對(duì)于舊橢球的大地高差。為了使用舊橢球和新橢球之間的大地坐標(biāo)微分公式實(shí)現(xiàn)大地坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，通常需確定新舊橢球體元素之間的關(guān)系式，新舊橢球體元素之間的關(guān)系式由幾何關(guān)系導(dǎo)出，通常將此幾何關(guān)系概括為以下述幾種方式。

1.1.1 橢球膨脹法

橢球膨脹法僅橢球長軸變化，橢球扁率、平移、旋轉(zhuǎn)、尺度參數(shù)均不變。橢球膨脹方法有多種，一種以投影面大地高△H作為長半徑的變化量，即

1.1.2 橢球平移法

橢球平移法將橢球沿法線平移至補(bǔ)償高程面處， 因此僅橢球中心變動(dòng)，即 dX0≠0，dY0≠0，dZ0≠0，橢球長軸、扁率、旋轉(zhuǎn)、尺度參數(shù)均不變。其值為如下：

1.1.3 橢球變形法

橢球變形法使變換基準(zhǔn)點(diǎn)上法線不變，橢球擴(kuò)大變形至補(bǔ)償高程面處，這種方法橢球長軸及扁率均變化，平移、旋轉(zhuǎn)、尺度參數(shù)均不變，其變化量為：

1.2 大地坐標(biāo)轉(zhuǎn)換計(jì)算

在橢球變換的基礎(chǔ)上，再應(yīng)用新橢球面上大地坐標(biāo)和舊橢球大地坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換方式可計(jì)算出新橢球面上大地坐標(biāo)。轉(zhuǎn)換新舊大地坐標(biāo)有兩種途徑。一種是：原大地坐標(biāo)（B原，L原，H原）→空間直角坐標(biāo)1（X1，Y1，Z1）（對(duì)應(yīng)舊橢球）→空間直角坐標(biāo)2（X2，Y2，Z2）（對(duì)應(yīng)新橢球）→轉(zhuǎn)換后大地坐標(biāo)（B轉(zhuǎn)，L轉(zhuǎn)，H轉(zhuǎn)）；另一種是：原大地坐標(biāo)（B原，L原，H原）→大地坐標(biāo)微分量（dB，dL，dH）→轉(zhuǎn)換后大地坐標(biāo)（B轉(zhuǎn)，L轉(zhuǎn)，H轉(zhuǎn)）。由于前一種轉(zhuǎn)換方式涉及迭代計(jì)算，求解不甚方便，因此只討論以大地坐標(biāo)微分公式為主要工具進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

1.2.1 廣義大地坐標(biāo)微分公式

廣義大地坐標(biāo)微分公式是融入橢球中心位移、參數(shù)變化、歐拉角和尺度變化的大地坐標(biāo)微分公式，式如下：

式中A、B、C、D分為中心位移、歐拉角、尺度變化和參數(shù)變化的系數(shù)矩陣，詳見文獻(xiàn)[1]，代入（5）公式中的自變量向量的具體值，可以得到大地坐標(biāo)的變化量。以上是通用公式，具體在不同橢球變換方法中有區(qū)別（不同的自變量分量取0或者不為0）。如果采用橢球膨脹法，根據(jù)式（6）可計(jì)算出各點(diǎn)大地坐標(biāo)的改正量。

以上各式中變量意義如下：

α-舊橢球扁率；e-舊橢球第一偏心率；Mi-任意轉(zhuǎn)換點(diǎn)在舊橢球上子午圈曲率半徑；Ni-任意轉(zhuǎn)換點(diǎn)在舊橢球上卯酉圈曲率半徑；Hi-任意轉(zhuǎn)換點(diǎn)在舊橢球面上的大地高；Bi-任意轉(zhuǎn)換點(diǎn)在舊橢球面上的緯度；Li-任意轉(zhuǎn)換點(diǎn)在舊橢球面上的經(jīng)度；dX0，dY0，dZ0-橢球中心坐標(biāo)變化量（新橢球體相對(duì)舊橢球體）。

1.2.2 任意帶任意投影面的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換計(jì)算步驟

由于文章轉(zhuǎn)換過程步中都將標(biāo)準(zhǔn)橢球體視為舊橢球體，因此轉(zhuǎn)換步驟中以標(biāo)準(zhǔn)橢球體代替舊橢球體的表述。轉(zhuǎn)換分兩步，如下所述：

（1）將第一帶、指定高程投影面上的平面坐標(biāo)（x， y， h）Ⅰ換算為標(biāo)準(zhǔn)橢球面上的大地坐標(biāo)（B，L，H）Ⅰ

若根據(jù)廣義大地坐標(biāo)微分公式計(jì)算，其步驟為：a.根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)橢球參數(shù)和第一帶中央子午線，按高斯投影反算公式，將第一帶的平面坐標(biāo)換算為標(biāo)準(zhǔn)橢球上的大地坐標(biāo)，其目的是為了后面計(jì)算大地坐標(biāo)改正量；b.選擇一定的橢球變換方法，根據(jù)式（1）、式（2）、式（3）、式（4）計(jì)算橢球長軸或扁率或橢球中心的變化量；c.根據(jù)式（6）、式（7）、式（8）計(jì)算出dB，dL，dH；d.計(jì)算新橢球參數(shù)aI=a+da，αI=α+dα，并根據(jù)新橢球參數(shù)和第一帶中央子午線，按高斯投影反算公式，將第一帶的平面坐標(biāo)換算為新橢球上的大地坐標(biāo)（B2，L2，H2）；e.根據(jù)下式得到標(biāo)準(zhǔn)橢球上的大地坐標(biāo)結(jié)果B=B2-dB，L=L2-dL，H=H2-dH；

（2）將第一步得到的標(biāo)準(zhǔn)橢球面上的大地坐標(biāo)（B，L，H）I投影到第二帶指定補(bǔ)償高程面的平面坐標(biāo)（x，y，h）Ⅱ。

若根據(jù)廣義大地坐標(biāo)微分公式計(jì)算，其步驟為：a.選擇一定的橢球變換方法，根據(jù)式（1）、式（2）、式（3）、式（4）計(jì)算橢球長軸或扁率或橢球中心的變化量。b.根據(jù)式（6）、式（7）、式（8）計(jì)算出dB，dL，dH。c.計(jì)算新橢球參數(shù)aI=a+da，αI=α+dα，及新大地坐標(biāo)B2=B+dB，L2=L+dL，H2=H+dH。d.根據(jù)新橢球參數(shù)和第二帶中央子午線，用新橢球上的大地坐標(biāo)（B，L，H），按高斯投影正算公式計(jì)算第二帶指定投影面上的平面坐標(biāo)（x，y，h）Ⅱ。

2 應(yīng)用實(shí)例-高速公路坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

根據(jù)上述公式和計(jì)算步驟在EXCEL下編制相應(yīng)軟件，并選取了廣東省某在建高速公路某標(biāo)段的全部用地紅線坐標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算。該標(biāo)段的用地紅線平面坐標(biāo)中央子午線為114°16′，投影面大地高為160m，標(biāo)準(zhǔn)橢球體為西安80參考橢球體（IAG75），坐標(biāo)形式為高斯坐標(biāo)。根據(jù)土地部門的需求，要求將該標(biāo)段的用地紅線坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為中央子午線為114°、投影面大地高為0m，亦即西安80標(biāo)準(zhǔn)橢球體上的標(biāo)準(zhǔn)分帶高斯平面坐標(biāo)。由上分析知，本次轉(zhuǎn)換只需要轉(zhuǎn)換到第一步為止，是將各橢球變換后的坐標(biāo)還原（還原轉(zhuǎn)換）到標(biāo)準(zhǔn)橢球面上的坐標(biāo)，是實(shí)際任意帶任意投影面的平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中的比較特殊的情況。分別采用不同的橢球變換方法及不同的計(jì)算大地坐標(biāo)變化量的方式進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。計(jì)算對(duì)象為此高速公路用地紅線坐標(biāo)的全部807個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，基準(zhǔn)點(diǎn)選取全部點(diǎn)的幾何中心點(diǎn)作為等效虛擬點(diǎn)。表1是利用廣義大地坐標(biāo)微分公式，不同的橢球變換方法求解的平面坐標(biāo)結(jié)果（限于篇幅只列出了其中三個(gè)點(diǎn)）。

通過上表計(jì)算各點(diǎn)投影值的平面相對(duì)偏離值，可得橢球膨脹1與橢球膨脹法2的投影偏離最小，計(jì)算值達(dá)到了0.000008m，幾乎為0，說明兩種膨脹法坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的效果基本一致。橢球變形法和橢球膨脹法1的差距最大，點(diǎn)位偏離達(dá)到了0.030783m，但也屬于厘米級(jí)的誤差，由此可見，各種橢球變換的各個(gè)平面點(diǎn)的相對(duì)偏離值屬于厘米級(jí)誤差以下，因而對(duì)于1：10000土地利用圖件圖上2mm，實(shí)地2m以內(nèi)的精度要求，轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)誤差足夠達(dá)到精度要求，即坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后可以以厘米級(jí)的定位精度套合國土資源部門的土地利用圖件。

以807個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)中的1、2號(hào)點(diǎn)為基準(zhǔn)，分別在原投影面和變換橢球后的新投影面上求出各點(diǎn)至1、2號(hào)點(diǎn)的距離（為全面衡量全標(biāo)段誤差，增加跨度最大的4號(hào)點(diǎn)），將對(duì)應(yīng)的距離相減得到長度變形值，其中兩條邊的結(jié)果見下表2。長度距離值的對(duì)比結(jié)果表明，采用不同的橢球變換方法得到的距離變形值基本相等，差距都在毫米及毫米以下，說明采用不同的橢球變換方法所產(chǎn)生的距離變形是一致的。從限制長度變形的角度來說，各種橢球變換方法結(jié)果一致。

3 結(jié)束語

通過研究分析了任意帶任意投影面的平面坐標(biāo)換算方法及其在高速公路用地紅線坐標(biāo)中應(yīng)用，通過新舊橢球元素關(guān)系式和相應(yīng)的廣義大地坐標(biāo)微分公式并在EXCEL下編制相應(yīng)軟件，解決了此類問題的坐標(biāo)換算問題，并以某高速公路為實(shí)例，分析計(jì)算了高程補(bǔ)償面上的投影平面坐標(biāo)換算至西安80坐標(biāo)橢球和標(biāo)準(zhǔn)分帶投影平面坐標(biāo)，通過進(jìn)行點(diǎn)位精度和長度變形分析表明，各種橢球變換方法前提下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的結(jié)果基本一致，算例中定位誤差在厘米級(jí)，轉(zhuǎn)換后的高速公路用地紅線坐標(biāo)也符合相應(yīng)比例尺土地利用圖件套合后的點(diǎn)定位精度要求。

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作者簡介：羅可（1981-），男，助理工程師，碩士，從事環(huán)境地質(zhì)、土地生態(tài)工作。