摘 要：文章探討了計算機(jī)仿真模擬在《理論聲學(xué)》教學(xué)中的應(yīng)用。以缺陷態(tài)的分析為例，基于COMSOL Multiphysics有限元軟件的仿真模擬，我們提出了色散計算與本征模態(tài)分析相結(jié)合的教學(xué)模式。這種基于仿真模擬的教學(xué)模式有利于抽象概念的形象化，具有較好的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：計算機(jī)仿真教學(xué)；多物理有限元模擬；缺陷態(tài)

1 概述

聲子晶體是物理類專業(yè)研究生課程《理論聲學(xué)》中非常重要的一塊教學(xué)內(nèi)容。在聲子晶體中引入缺陷將導(dǎo)致缺陷態(tài)、波導(dǎo)態(tài)以及界面態(tài)等本征模態(tài)的出現(xiàn)。如何有效計算缺陷聲子晶體的色散關(guān)系并對這些模態(tài)進(jìn)行本征分析是教學(xué)中的一大難點(diǎn)。比如，學(xué)生通常很難從一般的色散計算結(jié)果中有效地區(qū)分波導(dǎo)態(tài)以及界面態(tài)。文章提出在教學(xué)中引入計算機(jī)仿真模擬[1-3]，利用基于COMSOL Multiphysics軟件的有限元方法數(shù)值計算缺陷聲子晶體的色散關(guān)系。在這種全矢量的色散計算方式中，學(xué)生能很方便的調(diào)取所有模態(tài)的本征信息，從而能全面而精準(zhǔn)地掌握缺陷聲子晶體豐富多彩的色散性質(zhì)，具有較好的教學(xué)效果。

2 有限元仿真教學(xué)模式的設(shè)計

以鐵柱四方排列在空氣中形成的二維聲子晶體為例。聲子晶體的填充率被設(shè)定為0.577。通過在晶體中沿著X方向移除一排鐵柱，從而引入一條沿X方向的線缺陷。利用基于COMSOL Multiphysics軟件的有限元方法，我們數(shù)值計算了該缺陷聲子晶體結(jié)構(gòu)的色散關(guān)系。

圖1給出了計算所得歸一化頻率介于0到1之間的帶結(jié)構(gòu)，其中陰影部分代表沒有缺陷的完美聲子晶體的X方向投影帶結(jié)構(gòu)。此處我們采用的是超胞算法，圖1中右下插圖給出了計算中所用的超胞結(jié)構(gòu)示意圖；在求解過程中選取的邊界條件為Floquet periodicity邊界條件。

計算中所用材料參數(shù)為：

鐵的密度=7.67×103kg/m3

縱波波速Cl=6.01×103m/s

橫波波速Ct=3.32×103m/s

空氣的密度=1.29×10-3kg/m3

縱波波速C=0.34×103m/s

從圖1中我們可以很清晰的看到，在聲子晶體的完全帶隙中（頻率大約介于0.4和0.7之間）出現(xiàn)了三條導(dǎo)帶，分別被標(biāo)記為帶1、帶2以及帶3。很明顯，這三條位導(dǎo)帶位于完整聲子晶體的帶隙頻率范圍內(nèi)，其產(chǎn)生的機(jī)理一定與晶體中線缺陷結(jié)構(gòu)的引入有關(guān)。根據(jù)作者多年教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，大多數(shù)學(xué)生此時很容易先入為主地做出判斷，認(rèn)為帶1、帶2以及帶3均為由缺陷引入的波導(dǎo)態(tài)。事實(shí)上，在這三條帶中，帶2和帶3是波導(dǎo)態(tài)，而帶1則是與缺陷結(jié)構(gòu)引入的表面所對應(yīng)的表面態(tài)。在傳統(tǒng)的教學(xué)中，聲子晶體的帶結(jié)構(gòu)通常由多重散射或者時域有限差分法計算得出，而這兩種方法一般很難在最終計算結(jié)果中保留所有模式的本征信息，于是進(jìn)一步向?qū)W生分析這三條導(dǎo)帶的本征性質(zhì)變得比較困難。

文章中圖1的色散關(guān)系由基于COMSOL Multiphysics軟件的有限元方法，這款軟件在計算中保留了所有模式的本征信息并且能夠非常方面的調(diào)出分析，從而進(jìn)一步確定每種模式對應(yīng)的物理圖像。

在此我們提出如下教學(xué)思路：首先，通過計算具有不同缺陷尺寸聲子晶體帶結(jié)構(gòu)的方式向?qū)W生展示圖1中帶1、帶2以及帶3隨缺陷尺寸的變化趨勢，所計算結(jié)果由圖2（a）表示。

圖2（a）中不同形狀的數(shù)據(jù)點(diǎn)代表具有不同缺陷尺寸的聲子晶體結(jié)構(gòu)，從該圖可以看出，隨著缺陷尺寸的改變，帶2和帶3的位置變化非常明顯，而帶1的位置幾乎不變。

這說明帶2和帶3與缺陷性質(zhì)密切相關(guān)（由此我們推斷帶2和帶3是線缺陷中的波導(dǎo)態(tài)），但帶1和缺陷的關(guān)系并不大；其次，通過在圖1中引入水線（此處即為空氣中的聲速線，由圖中直線表示）不難發(fā)現(xiàn)，帶1始終位于體系水線以外，這說明帶1中的模式在空氣中始終是衰逝的，考慮到這些模式同時也在晶體內(nèi)衰逝（因?yàn)閹?位于晶體的帶隙范圍內(nèi)），我們不難推斷出帶1其實(shí)是與缺陷兩側(cè)晶體表面所對應(yīng)的表面態(tài)。

根據(jù)作者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，通常分析到這一步時，學(xué)生已經(jīng)對這三條導(dǎo)帶的性質(zhì)有了一個較為清楚的認(rèn)識；接著，我們調(diào)出COMSOL Multiphysics中保存的本征模式形態(tài)以便于學(xué)生對以上分析結(jié)果形成感性認(rèn)識。

圖2（b）和（c）分別給出了帶3和帶2上任意一點(diǎn)在缺陷中的本征聲壓分布，至此我們不難看出，帶3和帶2分別對應(yīng)著波導(dǎo)模式中的對稱以及反對稱模式[4]；最后，為了進(jìn)一步形象化以上討論結(jié)果，我們從帶1、帶2以及帶3中各自選取一個頻率，將工作在這三個頻率下的點(diǎn)源分別放置在由圖3（a）、（b）、（c）所示的體系中，我們利用COMSOL Multiphysics仿真模擬了這些體系在點(diǎn)源激勵下的聲壓場圖。

圖3（a）給出的是帶1中的一個模式被點(diǎn)源激發(fā)出的表面波，圖中點(diǎn)源被放置在晶體上表面的中央位置，我們可以看到帶1上的模式只能沿著晶體表面?zhèn)鞑?，在垂直晶體表面方向聲場能量迅速衰減，表現(xiàn)出很明顯的表面波形態(tài)[5，6]。

圖3（b）給出的是帶2中一個模式被點(diǎn)源激勵的情形，圖中點(diǎn)源被放置在波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的左端口，由于帶2對應(yīng)的是反對稱模式無法被外部點(diǎn)源激發(fā)，我們看到波導(dǎo)內(nèi)部幾乎沒有激發(fā)出任何波動。

圖3（c）給出的是帶3中一個模式被點(diǎn)源激勵的情形，同樣圖中點(diǎn)源被放置在波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的左端口，由于帶3對應(yīng)的是對稱模式可以被外部點(diǎn)源很好的激發(fā)，我們看到波導(dǎo)內(nèi)部激發(fā)產(chǎn)生了非常好的傳播模式。

以上的數(shù)值模擬聲場分布和我們前面的分析完全吻合，能夠使學(xué)生對本節(jié)教學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生非常形象的認(rèn)識，從而加深他們對聲子晶體缺陷態(tài)這一知識難點(diǎn)的理解和掌握。

3 結(jié)束語

計算機(jī)仿真教學(xué)是一項(xiàng)面向未來的現(xiàn)代化教學(xué)方式，在培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)研究的興趣方面起著非常重要的作用。文章基于COMSOL Multiphysics有限元物理仿真軟件，以《理論聲學(xué)》課程中聲子晶體缺陷態(tài)這一教學(xué)難點(diǎn)為例，探討了仿真模擬教學(xué)在缺陷態(tài)色散關(guān)系計算以及本征態(tài)模式分析等方面的應(yīng)用。通過將原本難于理解的概念化為仿真結(jié)果生動形象的展現(xiàn)，得到了較好的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)

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作者簡介：鄧科（1978-），男，湖南湘潭人，博士，副教授，從事凝聚態(tài)物理研究工作。