馬艷麗，潘娟娟，褚正清，李海霞

（安徽新華學(xué)院 公共課教學(xué)部，安徽 合肥 230088）

關(guān)于分段函數(shù)相關(guān)問題的教學(xué)探討

馬艷麗，潘娟娟，褚正清，李海霞

（安徽新華學(xué)院 公共課教學(xué)部，安徽 合肥 230088）

函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的主要研究對象，其中分段函數(shù)是一類非常特殊且具有代表性的函數(shù)，它是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點，同時也是學(xué)生不易掌握的難點。通過具體實例分析了分段函數(shù)的極限、連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、積分和極值的求法以及容易出現(xiàn)的問題，指出理解分段函數(shù)有關(guān)內(nèi)容的關(guān)鍵是掌握其在分界點處的特殊變化。

分段函數(shù)；連續(xù)性；導(dǎo)數(shù)；積分；極值

函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的主要研究對象，它從始至終都占據(jù)著非常重要的地位，其中分段函數(shù)［1］是一類非常特殊且具有代表性的函數(shù)，它是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點，同時也是學(xué)生不易理解和掌握的難點。在高等數(shù)學(xué)中，有許多內(nèi)容都要涉及到分段函數(shù)，它的明顯特征就是“分段”，在討論分段函數(shù)的性質(zhì)，如連續(xù)性、可導(dǎo)性、積分和極值時學(xué)生往往容易出錯，尤其是對于分段函數(shù)在分界點處的性質(zhì)，學(xué)生更容易忽略，往往會感到無從下手。本文主要對分段函數(shù)的極限、連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、積分和極值等問題的求解思路和方法進行歸納總結(jié)并結(jié)合實例進行分析，旨在對學(xué)生的學(xué)習(xí)能夠起到一定的指導(dǎo)作用，使學(xué)生們對于分段函數(shù)性質(zhì)的分析有更深的理解和掌握。

1 分段函數(shù)的概念

分段函數(shù)是指對自變量的不同取值范圍，對應(yīng)法則用不同式子來表示的函數(shù)。它明確指出了分段函數(shù)是在自變量的不同取值范圍內(nèi)對應(yīng)著不同解析式的一個函數(shù)，并不是幾個函數(shù)［1］。因此，不要以為對于自變量的全部值由一個公式定義的函數(shù)與利用幾個公式定義的函數(shù)是相同的，這兩者之間有著原則上的區(qū)別。當然，通常情況下，由幾個公式給定的分段函數(shù)有時也可以用一個公式表示出來，例如：分段函數(shù)

初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的［2］。因為分段函數(shù)的分界點往往是間斷點，所以分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)。由于分段函數(shù)的表達形式比較特殊，學(xué)生不容易理解和掌握，教師在講授分段函數(shù)的概念和性質(zhì)時，應(yīng)注意以下3個方面：1）分段函數(shù)只有一個對應(yīng)法則，是一個函數(shù)，切不可把它看成是幾個函數(shù)。2）分段函數(shù)的定義域是自變量取值集合的并集，因為一個函數(shù)只有一個定義域，所以定義域只能寫成一個集合的形式，而不能分開寫成幾個集合。3）分段函數(shù)的值域是各個表達式函數(shù)值集合的并集，求分段函數(shù)的值域，要先求出各段函數(shù)在對應(yīng)自變量的取值范圍內(nèi)的函數(shù)值集合，再求出它們的并集。

解由絕對值的意義可知

函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，+∞），值域為（-∞，4）∪（-∞，4］=（-∞，4］。

2 分段函數(shù)的極限與連續(xù)性

如何解決分段函數(shù)在分界點處的極限和連續(xù)性情況，通常要討論分段函數(shù)在分界點處單側(cè)極限（左右極限）和單側(cè)連續(xù)（左右連續(xù)）的情況［3-4］。

定理1設(shè)分段函數(shù)

則

下面通過具體的例題來說明如何討論分段函數(shù)的極限與連續(xù)性。

例2討論函數(shù)

的連續(xù)性。

解函數(shù)f（x）的定義域被分界點0和2分成了3個區(qū)間段：（-∞，0），［0，2）和［2，+∞），由于函數(shù)f（x）在各個區(qū)間段的表達式都是初等函數(shù)，根據(jù)初等函數(shù)的連續(xù)性知：函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0），（0，2）和（2，+∞）內(nèi)都是連續(xù)的。

下面根據(jù)定理1來討論函數(shù)f（x）在分界點x=0，2處的連續(xù)情況。

由

得函數(shù)f（x）在分界點x=0處是連續(xù)的。

所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，2）和（2，+∞）內(nèi)連續(xù)，在點x=2處不連續(xù)。

例3設(shè)函數(shù)

討論當a，b取何值時函數(shù)f（x）在x=0處極限存在，并補充定義使得函數(shù)f（x）在x=0處連續(xù)。

所以

3 分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

例4求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)。

解因為，當x＞0時，有

當x≤0時，有

所以

此解題過程是學(xué)生的常見解法，也是錯誤的解法。因為學(xué)生忽略了分界點左右鄰域內(nèi)表達式不統(tǒng)一的情況，直接利用初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則對某一個解析式求導(dǎo)是不對的，必須對分界點進行單獨討論。

一般來說，求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分以下2個步驟：1）先求出函數(shù)在去掉分界點以后的各個區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)，此導(dǎo)數(shù)可以根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義、公式和求導(dǎo)法則等多種方法進行求解；2）再討論函數(shù)在分界點處的導(dǎo)數(shù)情況。而在分界點處的導(dǎo)數(shù)，可以通過以下方法進行分析：

（1）判斷函數(shù)在分界點處是否連續(xù)，如果不連續(xù)，則必不可導(dǎo)。但若函數(shù)f（x）在分界點處連續(xù)時，必須另尋其他方法進行判斷。

（2）求出函數(shù)在該點的單側(cè)導(dǎo)數(shù)（左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)），根據(jù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)的情況來判斷函數(shù)在分界點處可導(dǎo)的情況，具體來說，如果函數(shù)在該點的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等，則函數(shù)在該點可導(dǎo)，否則都不可導(dǎo)。

（3）求出函數(shù)在分界點左、右鄰域內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，討論導(dǎo)函數(shù)在分界點處的左極限和右極限，若不相等，則函數(shù)在該點處不可導(dǎo)；若相等，則函數(shù)在該點處可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)值即為導(dǎo)函數(shù)在該點處的極限。

例4的正確求解方法如下所示：

解當x＞0時，有

當x＜0時，有

當x=0時，可以通過以下方法進行求解：

解法1因為

解法2由

4 分段函數(shù)的不定積分

求分段函數(shù)的不定積分，關(guān)鍵在于解決不定積分（原函數(shù)）的連續(xù)性，也就是對各個子區(qū)間段上不定積分的積分常數(shù)取適當?shù)闹担沟迷瘮?shù)在分界點處是連續(xù)的。若被積函數(shù)在所有的分界點處都是連續(xù)的，則根據(jù)原函數(shù)的連續(xù)性，就可以求出這些積分常數(shù)之間的關(guān)系式，最后得到只含有一個積分常數(shù)的不定積分；若被積函數(shù)在某些分界點是不連續(xù)的，則最后的不定積分結(jié)果可能有多個相互獨立的積分常數(shù)。

例5若函數(shù)

求∫f（x）d x。

因為被積函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上連續(xù)，所以函數(shù)f（x）的原函數(shù)在區(qū)間（-∞，+∞）上也連續(xù)。由f（x）的原函數(shù)在x=0處連續(xù)可得

即C2=C1+2，令C1=C，于是

例6若函數(shù)

求∫f（x）d x。

解當x＜0時，有

當0≤x＜2時，有

當x≥2時，有

因為被積函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上連續(xù)，所以f（x）的原函數(shù)在區(qū)間（-∞，+∞）上也連續(xù)。由例2知f（x）的原函數(shù)在x=0處連續(xù)，可得

再由例2知f（x）的原函數(shù)在x=2處不連續(xù)，所以，函數(shù)的不定積分為

由該例題可知，求分段函數(shù)的不定積分時，若分界點是間斷點，則可能有多個積分常數(shù)。

5 分段函數(shù)的定積分

與分段函數(shù)的不定積分相比，分段函數(shù)的定積分相對來說比較簡單。由定積分的定義可知，只有有限個不連續(xù)點不影響定積分的結(jié)果。所以，由定積分的性質(zhì)可知，只要分段函數(shù)的定積分存在，就可以分界點為界點，利用積分區(qū)間可加性來進行求解，也就是：分段積分，然后相加。

解被積函數(shù)可寫成分段函數(shù)的形式，即

由定積分的積分區(qū)域可加性得

雖然學(xué)生根據(jù)積分區(qū)域可加性容易求出分段函數(shù)的定積分，但很多學(xué)生在求解分段函數(shù)的定積分時思路并不是很清晰，往往會忽略一些問題。

例8若函數(shù)

解由定積分的積分區(qū)域可加性得

幾乎所有的學(xué)生都是按照上述做法進行求解的，此解法是正確的。題目雖然解答完，但學(xué)生往往沒有弄清楚整個問題。首先，f（x）在區(qū)間［0，2］上是可積的，這點根據(jù)f（x）在［0，2］上有界，且只有有限個間斷點可以判定。其次，根據(jù)定積分的積分區(qū)域可加性得

定理2［4］設(shè)f（x）在區(qū)間［a，b］上有界，且僅在有限個點處f（x）≠g（x），則若f（x）在區(qū)間［a，b］上可積，有g(shù)（x）在區(qū)間［a，b］上也可積，且

教師在講授分段函數(shù)的定積分時有必要補充并證明這樣的一個結(jié)論，有了這個定理2，上面的矛盾就可以解釋了。

6 分段函數(shù)的二重積分

分段函數(shù)二重積分的計算問題［5］是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個難點，一直為廣大師生所關(guān)注，但在大部分教材中，并沒有明確指出分段函數(shù)二重積分的計算方法。此類問題的一般計算步驟是：1）畫出積分區(qū)域的草圖；2）由被積函數(shù)的分段點把積分區(qū)域分成如干部分區(qū)域，使得在每個部分區(qū)域中的被積函數(shù)表達式明確；3）利用二重積分的區(qū)域可加性，進行計算。

解畫出積分區(qū)域D草圖，以直線y=x為界將積分區(qū)域D分為D1和D2，如圖1所示。

圖1 積分區(qū)域D

7 分段函數(shù)的極值

通過上述關(guān)于分段函數(shù)幾個問題的分析，我們知道分段函數(shù)在分界點處的情況非常復(fù)雜，例如分界點是間斷點，在分界點處連續(xù)但不可導(dǎo)，或分界點是駐點等等。要判斷分段函數(shù)在分界點處是否取得極值時，若采用常規(guī)的方法去求解的話，計算量很大且繁瑣，本文在文獻［6-7］的基礎(chǔ)上給出了判斷分段函數(shù)在分界點處是否取得極值的方法。

例10判斷分段函數(shù)

在分界點x=0處是否取得極值？是極大值還是極小值？

解因為

由文獻［6］定理1知，函數(shù)f（x）在x=0處取得極小值，且極小值為f（0）=0。

例11討論分段函數(shù)

在分界點處的極值情況。

解在分界點x=1處，因為

所以f（1-）＞f（0）＞f（1+），由文獻［6］定理2知，函數(shù)f（x）在x=1處無極值。

在分界點x=-1處，因為

所以f（-1-）＜f（0），f（-1+）＜f（0），由文獻［6］定理1知函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值。

8 結(jié)語

通過上述對分段函數(shù)相關(guān)問題的歸納分析，相信學(xué)生們在討論分段函數(shù)極限、連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、積分和極值時會有更加清晰的思路和方法，會對分段函數(shù)的分界點特別留意和關(guān)注，這個過程也是對單側(cè)極限、單側(cè)導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)極限定理等性質(zhì)有更加深入地認識和掌握的過程。

［1］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析:上冊［M］.3版.北京:高等教育出版社,2003．

［2］同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué):上冊［M］.6版.北京:高等教育出版社,2013.

［3］任樹聯(lián).討論分段函數(shù)在分界點處極限、連續(xù)性及導(dǎo)數(shù)的定理［J］.宜賓學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2006,28（4）:15-17.

［4］李嘉.關(guān)于《高等數(shù)學(xué)》中分段函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)探討［J］.西南師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2014,39（10）:162-165.

［5］張鴻鷹.分段函數(shù)的二重積分［J］.高等數(shù)學(xué)研究,2006,24（2）:8-9.

［6］王利珍.分段函數(shù)的極值［J］.大學(xué)數(shù)學(xué),2007,23（6）:86-188.

［7］蔡瑾.淺談高等數(shù)學(xué)一元微積分中的分段函數(shù)［J］.長春理工大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2013,30（2）:121-122.

【責(zé)任編輯：王桂珍foshanwgzh@163.com】

Induction in teaching about related problems of segmented function

MA Yan-li,PAN Juan-juan,CHU Zheng-qing,LI Hai-xia
（Department of Public Curriculum,Anhui Xinhua University,Hefei 230088,China）

Function is the main research object in higher mathematics.Segmented function is a kind of very special and representative function.It is the key point in mathematics teaching,and also the difficulty point which is not easy for students to learn.The limit,the derivative,the integral and the extreme value of the segmented function at the boundary point are the more difficult contents for the students.This paper analyzed the method and problems of the limit,the continuity,the derivative,the integral and the extreme value of the segmented function by giving some examples,and pointed out that the key to understanding the segmentation function is to master the special changes in the boundary points,which helps the deep understanding and comprehension.

segmented function;continuity;derivative;integration;extreme value

O174

A

1008-0171（2016）06-0037-07

2016-05-13

馬艷麗（1983-），女，安徽合肥人，安徽新華學(xué)院講師。