荊州理工職業(yè)學(xué)院 馬 爍

高等數(shù)學(xué)在工程經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

荊州理工職業(yè)學(xué)院 馬 爍

本文側(cè)重研究高等數(shù)學(xué)在工程經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用，從高等數(shù)學(xué)的角度討論壽命期無(wú)限長(zhǎng)的互斥型方案的經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)、非線性盈虧平衡分析和靜態(tài)模式下設(shè)備經(jīng)濟(jì)壽命的確定等問(wèn)題，指出在工程經(jīng)濟(jì)學(xué)教學(xué)過(guò)程中善于運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的有關(guān)知識(shí)，既可以提高自己的教學(xué)水平和學(xué)術(shù)水平，又能加深學(xué)生對(duì)本門(mén)課程的理解。

高等數(shù)學(xué) 工程經(jīng)濟(jì)學(xué) 應(yīng)用

一、引言

工程經(jīng)濟(jì)學(xué)是工程經(jīng)濟(jì)的理論和方法在工程實(shí)踐中的具體應(yīng)用，它以建設(shè)工程項(xiàng)目為對(duì)象，研究工程技術(shù)方案的經(jīng)濟(jì)效益，通過(guò)計(jì)算、分析、比較和評(píng)價(jià)，以求最佳工程技術(shù)方案。數(shù)學(xué)在工程經(jīng)濟(jì)學(xué)中扮演著非常重要的角色，工程經(jīng)濟(jì)學(xué)離開(kāi)數(shù)學(xué)寸步難行。因此，教師應(yīng)苦鉆研高等數(shù)學(xué)知識(shí)，這樣才能把工程經(jīng)濟(jì)學(xué)這門(mén)課程講透徹，提高自己的教學(xué)水平和學(xué)術(shù)水平，幫助學(xué)生理解這門(mén)課程。

工程經(jīng)濟(jì)學(xué)中涉及大量計(jì)算公式，教師在教學(xué)過(guò)程中不應(yīng)滿足于課本上公式和關(guān)系不經(jīng)推導(dǎo)而直接給定這一現(xiàn)狀，應(yīng)該盡力做到運(yùn)用學(xué)生掌握的高等數(shù)學(xué)知識(shí)去分析并解決問(wèn)題，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)工程經(jīng)濟(jì)學(xué)的理解，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)本門(mén)課程的積極性，提高教學(xué)效果。

本文從高等數(shù)學(xué)的角度討論了壽命期無(wú)限長(zhǎng)的互斥型方案的評(píng)價(jià)、非線性盈虧平衡分析和靜態(tài)模式下設(shè)備經(jīng)濟(jì)壽命的確定等問(wèn)題，指出高等數(shù)學(xué)知識(shí)在工程經(jīng)濟(jì)學(xué)課程教學(xué)過(guò)程中的重要性。研究數(shù)學(xué)方法怎樣在經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中發(fā)揮作用，無(wú)疑對(duì)于從事經(jīng)濟(jì)學(xué)研究來(lái)說(shuō)具有重要意義。

二、壽命期無(wú)限長(zhǎng)的互斥型方案的經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)

互斥型方案是指在一組方案中選擇其中一個(gè)方案，排除接受其他方案的可能性，即方案之間具有互相排斥的性質(zhì)?；コ庑头桨甘枪こ虒?shí)踐中最常見(jiàn)的，如一棟樓房層數(shù)的選擇、一座水庫(kù)壩高的選擇、一座建筑物結(jié)構(gòu)類(lèi)型的選擇、一個(gè)工程主體結(jié)構(gòu)施工工藝的確定等。這類(lèi)決策問(wèn)題常常面對(duì)的互斥方案的選擇。

通常情況下，各備選方案的計(jì)算期都是有限的；但某些特殊工程項(xiàng)目的服務(wù)年限或工作狀態(tài)是無(wú)限的，如果維修的足夠好，可以認(rèn)為壽命期無(wú)限長(zhǎng)，如水壩灌溉、運(yùn)河及高速公路等工程。對(duì)于壽命期無(wú)限長(zhǎng)的方案，可以計(jì)算其資本化成本。所謂資本化成本是指項(xiàng)目在無(wú)限長(zhǎng)壽命期內(nèi)等額年費(fèi)用的折現(xiàn)值，可以用CC表示。設(shè)等額年費(fèi)用（或年凈收益）為A，利用高等數(shù)學(xué)中極限的思想得

例1：有兩個(gè)互斥型方案，有關(guān)數(shù)據(jù)見(jiàn)下表，設(shè)基準(zhǔn)收益率為10%.試求方案可以無(wú)限重復(fù)下去時(shí)的最優(yōu)方案。

方案 總投資（第0時(shí)點(diǎn)）使用壽命（年） 年凈收益方案1 7500 4 3800方案2 12000 6 4000

解：分別計(jì)算兩方案壽命期無(wú)限長(zhǎng)時(shí)的凈現(xiàn)值

NPV∞1＝[－7500（A/P，10%，4）＋3800]（P/A，10%，∞)＝14338（萬(wàn)元）

NPV∞1＝[－12000（A/P，10%，6）＋4000]（P/A，10%，∞）＝12448(萬(wàn)元)

因?yàn)镹PV∞1＞NPV∞2，故方案1為最優(yōu)方案。

三、非線性盈虧平衡分析

盈虧平衡分析又叫“量本利”分析，是根據(jù)項(xiàng)目正常生產(chǎn)年份的產(chǎn)量、成本、售價(jià)和稅金等因素，確定項(xiàng)目的盈虧平衡點(diǎn)BEP，即盈利為零時(shí)的臨界值，然后通過(guò)BEP（盈虧平衡點(diǎn)）分析項(xiàng)目的成本與收益的平衡關(guān)系及項(xiàng)目抗風(fēng)險(xiǎn)能力的一種方法。由于項(xiàng)目的收入與成本都是產(chǎn)量的函數(shù)，根據(jù)變量之間的函數(shù)關(guān)系，將盈虧平衡分析分為線性盈虧平衡分析和非線性盈虧平衡分析。現(xiàn)實(shí)生活中，生產(chǎn)成本往往與產(chǎn)量不呈線性關(guān)系，銷(xiāo)售收入和銷(xiāo)售價(jià)格也會(huì)隨市場(chǎng)情況而變，與產(chǎn)量不可能一直保持線性函數(shù)關(guān)系。這時(shí)就要進(jìn)行非線性盈虧平衡分析，一般用二次曲線表示。

設(shè)成本C＝a＋bQ＋cQ2，收入S＝dQ＋eQ2，其中a,b,c,d,e為常數(shù)，Q為產(chǎn)量。

盈虧平衡時(shí)S＝C，即a＋bQ＋cQ2＝dQ＋eQ2

整理得（c－e）Q2＋（b－d）Q＋a＝0

此方程是一元二次方程，可求得兩個(gè)盈虧平衡點(diǎn)的臨界值Q1和Q2，如圖所示。

（Q1，Q2）區(qū)間稱(chēng)為盈利區(qū)，Q＜Q1或Q＞Q2的區(qū)間稱(chēng)為虧損區(qū)，使S=C取最大值的Qmax就是企業(yè)的最優(yōu)產(chǎn)量。

求Qmax時(shí)可以用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)來(lái)解決，過(guò)程如下：

例2：某項(xiàng)目固定成本是28800元，單位產(chǎn)品變動(dòng)成本是400元/件，預(yù)計(jì)項(xiàng)目投產(chǎn)后其產(chǎn)品售價(jià)為2000元/件。根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，每多銷(xiāo)售一件產(chǎn)品其售價(jià)將降低3元，其單位產(chǎn)品的變動(dòng)將上升5元。求該項(xiàng)目的盈虧平衡點(diǎn)產(chǎn)量、最大利潤(rùn)點(diǎn)產(chǎn)量。

解：根據(jù)題意可知此項(xiàng)目方案是非線性盈虧平衡分析，其收入函數(shù)和總成本函數(shù)如下：

S＝Q（2000－3Q）

C＝28800＋Q（400－5Q）

盈虧平衡時(shí)，S＝C，即8Q2－1600Q＋28800＝0

解方程得，兩個(gè)盈虧平衡點(diǎn)產(chǎn)量分別為Q1＝20（件），Q2＝180（件）

項(xiàng)目的利潤(rùn)為R＝S－C＝－8Q2＋1600Q－28800

四、靜態(tài)模式下設(shè)備經(jīng)濟(jì)壽命的確定

設(shè)備的經(jīng)濟(jì)壽命是指設(shè)備從投入使用開(kāi)始，到因繼續(xù)使用在經(jīng)濟(jì)上不合理而被更新所經(jīng)歷的時(shí)間。它是由維護(hù)費(fèi)用的提高和使用價(jià)值的降低決定的。我們稱(chēng)設(shè)備從開(kāi)始使用到其凈年值最高（或等值年成本最小）的使用年限N0為設(shè)備的經(jīng)濟(jì)壽命。即設(shè)備的經(jīng)濟(jì)壽命就是從經(jīng)濟(jì)觀點(diǎn)（即收益觀點(diǎn)或成本觀點(diǎn)）確定的設(shè)備更新的最佳時(shí)刻。

靜態(tài)模式下設(shè)備經(jīng)濟(jì)壽命的確定方法，就是在不考慮資金時(shí)間價(jià)值的基礎(chǔ)上計(jì)算設(shè)備年平均成本，使設(shè)備年平均成本為最小的使用年份就是設(shè)備的經(jīng)濟(jì)壽命。靜態(tài)計(jì)算法介紹如下：

一般而言，隨著設(shè)備使用期限的增加，年運(yùn)營(yíng)成本每年以某種速度遞增，運(yùn)營(yíng)成本逐年遞增的現(xiàn)象稱(chēng)為設(shè)備的劣化。假設(shè)每年運(yùn)營(yíng)成本的增量均等，每年運(yùn)營(yíng)成本增加額為λ，設(shè)備使用期限為n年，則第n年時(shí)的運(yùn)營(yíng)成本為Cn＝C1＋（n－1）λ

式中：C1為運(yùn)營(yíng)成本的初始值，即第1年的運(yùn)營(yíng)成本；n為設(shè)備使用年限。

除運(yùn)營(yíng)成本外，在年等額總成本中還包括設(shè)備的年等額資產(chǎn)恢復(fù)成本，其金額為，則年等額總成本的計(jì)算公式為：

例3：設(shè)有一臺(tái)設(shè)備，購(gòu)置費(fèi)為8000元，預(yù)計(jì)凈殘值為800元，運(yùn)營(yíng)成本初始值為600元，年運(yùn)行成本每年增長(zhǎng)300元，求該設(shè)備的經(jīng)濟(jì)壽。

即該設(shè)備的經(jīng)濟(jì)壽命為7年。

剛開(kāi)始講授工程經(jīng)濟(jì)學(xué)課程時(shí)，由于對(duì)這門(mén)課的認(rèn)識(shí)不深，很多教師誤認(rèn)為只要將書(shū)本上的公式機(jī)械地介紹給學(xué)生即可。但隨著教學(xué)過(guò)程的展開(kāi)，發(fā)現(xiàn)運(yùn)用此種方法進(jìn)行授課，一方面，學(xué)生很難理解公式的來(lái)龍去脈，造成課程印象不深，很容易忘記，學(xué)習(xí)效果不明顯；另一方面，教師沒(méi)有深刻研究公式的由來(lái)，自己也會(huì)感到深深不安。而工程經(jīng)濟(jì)學(xué)中的許多公式都可以用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)推導(dǎo)證明，在后來(lái)的教學(xué)過(guò)程中，嘗試運(yùn)用學(xué)生掌握的高等教學(xué)知識(shí)對(duì)有關(guān)公式進(jìn)行推導(dǎo)證明，產(chǎn)生的效果比較明顯，學(xué)生對(duì)工程經(jīng)濟(jì)學(xué)的認(rèn)識(shí)更加深刻，同時(shí)也促進(jìn)教師教學(xué)水平的進(jìn)一步提高。

本文僅以壽命期無(wú)限長(zhǎng)的互斥型方案的評(píng)價(jià)、非線性盈虧平衡分析和靜態(tài)模式下設(shè)備經(jīng)濟(jì)壽命的確定等問(wèn)題為例，實(shí)際高等數(shù)學(xué)在工程經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用還有很多，限于篇幅，不再一一闡述。

[1]陸海曙.高等數(shù)學(xué)在技術(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)課程教學(xué)中的應(yīng)用[J].中國(guó)科技博覽，2009

[2]都沁軍.工程經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].大連：大連理工大學(xué)出版社，2012

[3]張加瑄.工程技術(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].北京：中國(guó)電力出版社，2009

ISSN2095-6711/Z01-2016-12-0238

馬爍（1981—），女，漢族，陜西藍(lán)田，碩士，荊州理工職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)課部講師