田宇澤 (合肥工業(yè)大學(xué)信息工程系，安徽 合肥 230009)霍秋娟 (中國(guó)石油集團(tuán)東方地球物理公司物探技術(shù)研究中心，河北 涿州 072751)易國(guó)華 (長(zhǎng)江大學(xué)期刊社，湖北 荊州 434023)

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時(shí)域有限長(zhǎng)信號(hào)的頻譜分析與信號(hào)還原

田宇澤 (合肥工業(yè)大學(xué)信息工程系，安徽 合肥 230009)霍秋娟 (中國(guó)石油集團(tuán)東方地球物理公司物探技術(shù)研究中心，河北 涿州 072751)易國(guó)華 (長(zhǎng)江大學(xué)期刊社，湖北 荊州 434023)

用數(shù)字的方法對(duì)時(shí)域有限長(zhǎng)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析就是對(duì)該信號(hào)的頻譜在頻率域進(jìn)行采樣，而采樣點(diǎn)數(shù)的多少對(duì)頻譜分析的準(zhǔn)確性將會(huì)產(chǎn)生一定的影響。同時(shí)，利用頻譜能否正確還原時(shí)間信號(hào)的必要條件是必須滿足頻率采樣定理。頻譜恢復(fù)時(shí)域信號(hào)是將序列的頻譜進(jìn)行IDFT變換(離散傅里葉逆變換)的過程，在實(shí)際的工程應(yīng)用中，進(jìn)行頻譜分析的原始信號(hào)在時(shí)間域是無限長(zhǎng)且連續(xù)的，而不是有限長(zhǎng)且離散的，因此利用數(shù)字的方法進(jìn)行頻譜分析一定會(huì)引起諸如頻譜泄露等誤差而影響最終的頻譜分析結(jié)果。從頻域采樣定理出發(fā)，分析了基于離散傅氏變換進(jìn)行有限長(zhǎng)信號(hào)時(shí)域恢復(fù)時(shí)可能產(chǎn)生失真的原因，指出了提高頻譜恢復(fù)原始信號(hào)的保真度的方法。理論分析和仿真結(jié)果表明，正確的選擇采樣頻率、譜分析的點(diǎn)數(shù)和頻率域的采樣點(diǎn)數(shù)是關(guān)鍵。

有限長(zhǎng);DFT(離散傅里葉逆變換);頻譜分析；信號(hào)還原

工程應(yīng)用中的信號(hào)一般為無限長(zhǎng)連續(xù)信號(hào)，為便于在計(jì)算機(jī)中進(jìn)行分析研究，需要將其截?cái)喑捎邢揲L(zhǎng)信號(hào)[1,2]。另一方面，計(jì)算機(jī)只能處理離散信號(hào)，需要對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行離散化，此時(shí)應(yīng)當(dāng)滿足時(shí)域采樣定理的[3]條件。時(shí)域采樣定理為連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)架起了一座橋梁，并為連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)的相互轉(zhuǎn)換提供了依據(jù)。對(duì)有限長(zhǎng)序列進(jìn)行離散傅里葉變換DFT[4,5]，得到其離散的譜線，在滿足頻域采樣定理的條件下能夠由這些譜線恢復(fù)出時(shí)域有限長(zhǎng)信號(hào)。對(duì)于有限長(zhǎng)信號(hào)而言，在同時(shí)滿足時(shí)域和頻域采樣定理的情況下，是否一定能夠得到正確的頻譜并恢復(fù)出原始時(shí)域信號(hào)呢？為提高有限長(zhǎng)信號(hào)頻譜分析和頻譜恢復(fù)原始信號(hào)的準(zhǔn)確性，筆者從理論上研究了時(shí)域采樣點(diǎn)數(shù)和頻域采樣點(diǎn)數(shù)之間的深層次聯(lián)系，指出了有限長(zhǎng)信號(hào)獲得正確的頻譜及準(zhǔn)確恢復(fù)原始信號(hào)的具體條件。

1 連續(xù)信號(hào)譜分析的基本原理

利用數(shù)字的方法對(duì)連續(xù)信號(hào)x(t)進(jìn)行譜分析時(shí)，信號(hào)在時(shí)間域和頻率域都是數(shù)字信號(hào)。對(duì)連續(xù)信號(hào)x(t)進(jìn)行等間隔采樣能夠得到時(shí)間域的數(shù)字信號(hào)x(n):

x(n)=x(t)|t=nT

(1)

其中，n=0,1,2,…,m-1;M表示信號(hào)的采樣點(diǎn)數(shù);T是采樣間隔，s;n表示第幾個(gè)采樣點(diǎn)。

對(duì)x(n)進(jìn)行傅里葉變換能夠得到信號(hào)的頻譜X(ejω) ：

(2)

式中，ω是數(shù)字頻率。

顯然，X(ejω) 是周期為2π的連續(xù)函數(shù)。

進(jìn)一步對(duì)X(ejω) 進(jìn)行離散化，得到頻域的數(shù)字信號(hào)X(k)：

(3)

式中，N表示頻域采樣的點(diǎn)數(shù)；k表示頻域采樣點(diǎn)序號(hào)。

在進(jìn)行連續(xù)信號(hào)的頻譜分析時(shí)，以X(k)來表示待分析連續(xù)信號(hào)x(t)的頻譜X(ejω) 。對(duì)X(k)進(jìn)行離散傅里葉逆變換IDFT得到xN(n)：

(4)

式中，RN(n)是長(zhǎng)度為N的矩形序列。

xN(n)即N點(diǎn)IDFT[X(k)]得到的序列，也就是原序列x(n)以N為周期進(jìn)行周期延拓后的主值序列。因此，xN(n)能夠與x(n)保持一致而在時(shí)域不發(fā)生混疊，則需要頻域采樣點(diǎn)數(shù)N必須大于等于時(shí)域離散信號(hào)的長(zhǎng)度M(即N≥M)，即滿足頻域采樣定理。此時(shí)xN(n)就是原序列x(n)。如果N>M，則xN(n)比原序列x(n)尾部多N-M個(gè)零點(diǎn)，反之，時(shí)域發(fā)生混疊，xN(n)與x(n)不等。

2 由頻譜恢復(fù)原始信號(hào)的參數(shù)選擇

通過前述分析，對(duì)于給定有限長(zhǎng)信號(hào)提高頻譜分析和頻譜恢復(fù)原始信號(hào)準(zhǔn)確性的前提是分析參數(shù)的準(zhǔn)確選取。設(shè)輸入有限長(zhǎng)信號(hào)x(t)，以采樣間隔T進(jìn)行采樣，分析參數(shù)涉及到時(shí)域采樣點(diǎn)數(shù)、時(shí)域信號(hào)記錄長(zhǎng)度、頻域采樣點(diǎn)數(shù)等。

2.1 時(shí)域采樣點(diǎn)數(shù)的選擇

首先根據(jù)要求確定采樣頻率，采樣頻率要滿足奈奎斯特采樣定理：采樣頻率fs≥2fmax，fmax為所要分辨的最高諧波頻率。并調(diào)整時(shí)域采樣點(diǎn)數(shù)L來觀察不同的情形。

2.2 信號(hào)的記錄時(shí)間

當(dāng)信號(hào)的采樣間隔確定時(shí)，信號(hào)的記錄時(shí)間將隨時(shí)域采樣點(diǎn)數(shù)的不同而不同。

2.3 頻域采樣點(diǎn)數(shù)的選擇

頻率采樣點(diǎn)數(shù)N的選取首要條件是滿足頻域采樣定理N≥M。當(dāng)N與M之間存在整數(shù)倍的關(guān)系時(shí)能夠觀察得到正確的頻譜，其頻譜能夠恢復(fù)出原始信號(hào)。當(dāng)N與M相等時(shí)得到的頻譜不是正確信號(hào)的真實(shí)頻譜，但是依然可以通過內(nèi)插公式由其頻譜恢復(fù)出原始信號(hào)。

3 試驗(yàn)分析

圖1 矩形序列RN(n)及其頻譜和還原信號(hào)

假設(shè)x(t)經(jīng)過采樣后是矩形序列RN(n)，長(zhǎng)度M=4，如圖1(a)所示。當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù)N滿足N=M時(shí)，對(duì)RN(n)作N=4的DFT和IDFT變換，結(jié)果分別如圖1(b)和圖1(c)所示。

從圖1(b)的頻譜圖可以發(fā)現(xiàn)，該條件下的頻譜只有X(0)=1，而其他值均為零，這與矩形序列的真實(shí)頻譜之前存在明顯的差異，可以認(rèn)為矩形序列離散頻譜無法體現(xiàn)其連續(xù)頻譜的特點(diǎn)；分析圖1(c)的結(jié)果，還原信號(hào)與圖1(a)完全相同。因此在滿足時(shí)域采樣定理和頻域采樣定理的前提條件下，取N=M時(shí)，得不到期望的矩形序列頻譜，但是由此頻譜利用內(nèi)插公式能夠正確恢復(fù)時(shí)間域矩形序列?？梢娪深l譜恢復(fù)正確的原始序列僅僅需要滿足頻域采樣定理就可以了。

當(dāng)N>M時(shí)，繼續(xù)對(duì)RN(n)進(jìn)行頻譜分析以及信號(hào)的還原分析。此時(shí)信號(hào)時(shí)間域長(zhǎng)度M選取4，作N點(diǎn)離散傅里葉變換，頻域采樣點(diǎn)數(shù)N分別取12和14，并進(jìn)行離散傅里葉反變換求取還原信號(hào)。

在滿足時(shí)域采樣定理和頻域采樣定理的前提條件下，取N>M時(shí)，得到矩形序列RN(n)的振幅譜和還原信號(hào)分別如圖2、圖3中的(a)和(b)所示，其中圖2的頻域采樣點(diǎn)數(shù)N=12(N=3M)，圖3的頻域采樣點(diǎn)數(shù)N=14。因?yàn)闈M足頻域采樣定理，因此頻率采樣點(diǎn)數(shù)為12和14時(shí)都正確恢復(fù)了原始信號(hào)，如圖2(b)和圖3(b)所示。

圖2 N=12時(shí)矩形序列振幅譜及還原信號(hào)

圖3 N=14時(shí)矩形序列振幅譜及還原信號(hào)

分析圖2(a)和圖3(a)所示的振幅譜，可以認(rèn)為，圖2(a)能夠正確反映振幅譜最大值最小值的分布，能夠反映頻譜的變化走勢(shì)，而圖3(a)中無法反映信號(hào)振幅譜的過零點(diǎn)及最小值的位置，不能精確反映頻譜的變化趨勢(shì)。對(duì)比分析頻譜差異以及頻率采樣點(diǎn)數(shù)與信號(hào)在時(shí)間域長(zhǎng)度的關(guān)系，認(rèn)為當(dāng)N為M的整數(shù)倍時(shí)，得到的頻譜更加的準(zhǔn)確。

4 結(jié)語

針對(duì)有限長(zhǎng)信號(hào)頻譜分析和信號(hào)復(fù)原中參數(shù)選取問題開展研究，重點(diǎn)分析了有限長(zhǎng)信號(hào)頻譜分析產(chǎn)生失真的原因并提出提高頻譜復(fù)原信號(hào)保真度的方法。理論分析和仿真試驗(yàn)結(jié)果表明，正確選取采樣頻率、譜分析及頻率域采樣點(diǎn)數(shù)可正確恢復(fù)原信號(hào)及其頻譜。有限長(zhǎng)信號(hào)在頻譜分析和頻譜恢復(fù)原始信號(hào)的過程中，要想能夠得到正確的頻譜且能夠由該頻譜恢復(fù)出原始信號(hào)，除了需要滿足頻域采樣定理N≥L之外，還要滿足N為L(zhǎng)的整數(shù)倍。

[1]胡廣書.數(shù)字信號(hào)處理(理論、算法與實(shí)現(xiàn))[M].北京:清華大學(xué)出版社，2003:115～117.

[2]李永全，楊順遼，孫祥娥.數(shù)字信號(hào)處理[M].武漢:華中科技大學(xué)出版社，2011:16～18.

[3] 趙霞，李蓉艷.采樣定理與確定系統(tǒng)采樣周期的教學(xué)方法研究[J].工業(yè)和信息化教育，2014 (5):24～29.

[4]馬令坤，吳波.基于DFT的周期信號(hào)諧波特性測(cè)試與仿真研究[J].計(jì)算機(jī)仿真，2015，32(11):207～211.

[5] 謝海霞，孫志雄.連續(xù)非周期信號(hào)頻譜分析及Matlab實(shí)現(xiàn)[J].現(xiàn)代電子技術(shù)，2013，36(11):53～56.

[編輯] 洪云飛

2016-09-28

易國(guó)華(1965-)，男，碩士，副教授，現(xiàn)主要從事信號(hào)處理、科技期刊編輯方面的研究工作；E-mail:229500441@qq.com。

TN911.6

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1673-1409(2016)34-0033-03

[引著格式]田宇澤，霍秋娟，易國(guó)華.時(shí)域有限長(zhǎng)信號(hào)的頻譜分析與信號(hào)還原[J].長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào)(自科版)，2016,13(34)：33～35.