王 玨，謝慕君，李元春

(長春工業(yè)大學電氣與電子工程學院，吉林 長春 130012)

柔性二級倒立擺的準滑動模態(tài)控制研究

王 玨，謝慕君，李元春

(長春工業(yè)大學電氣與電子工程學院，吉林 長春 130012)

柔性二級倒立擺是一個高階非線性強耦合的自然不穩(wěn)定系統(tǒng)，為了對其進行穩(wěn)擺控制，基于建模機理建立了柔性二級倒立擺數(shù)學模型，提出準滑動模態(tài)控制方法，設(shè)計了滑模變結(jié)構(gòu)控制器，使系統(tǒng)具有較好的穩(wěn)擺控制和魯棒性.仿真結(jié)果表明：基于準滑動模態(tài)控制的滑模變結(jié)構(gòu)控制方法能夠更好地實現(xiàn)倒立擺穩(wěn)定控制；比傳統(tǒng)指數(shù)趨近率的滑模控制器輸出更加平滑，削弱了抖振.

柔性二級倒立擺；滑模變結(jié)構(gòu)；準滑動模態(tài)

0 引言

倒立擺系統(tǒng)具有非線性、強耦合、多變量等不穩(wěn)定特性，從理論上涉及跟蹤、非線性、魯棒性、鎮(zhèn)定等控制系統(tǒng)研究的關(guān)鍵問題，因此成為檢驗各種新的控制理論和方法的典型模型.柔性二級倒立擺系統(tǒng)是在直線二級倒立擺系統(tǒng)的基礎(chǔ)上加入了自由彈簧系統(tǒng)，由于閉環(huán)系統(tǒng)受彈簧振蕩頻率的限制，對該系統(tǒng)進行穩(wěn)擺控制變得更加復雜和困難.目前，針對柔性二級倒立擺穩(wěn)擺控制主要有以下幾種方法：LQR控制方法實現(xiàn)了柔性二級倒立擺的穩(wěn)擺控制[1]，但擺桿存在抖動；傳統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)控制方法實現(xiàn)了柔性二級倒立擺的穩(wěn)擺控制[2]，但系統(tǒng)輸入存在抖振，魯棒性較差；基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模糊控制方法實現(xiàn)了柔性二級倒立擺的穩(wěn)擺控制[3]，但調(diào)節(jié)時間較長.上述控制方法均實現(xiàn)了柔性二級倒立擺的穩(wěn)擺控制，但均存在不足.本文針對柔性二級倒立擺的穩(wěn)擺控制，采用準滑動模態(tài)控制思想設(shè)計控制器，調(diào)節(jié)時間較短，降低控制器輸出的抖動程度，提高柔性二級倒立擺系統(tǒng)的魯棒性.

1 柔性二級倒立擺系統(tǒng)模型的建立

彈簧等不確定性因素的存在，使得柔性二級倒立擺的數(shù)學模型建立比較困難[4].但在忽略了摩擦、空氣阻力后，可以把其抽象成由勻質(zhì)擺桿、小車和彈簧組成的系統(tǒng)[5].本文采用機理建模法建立柔性二級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型，系統(tǒng)參數(shù)取自固高科技有限公司柔性倒立擺實驗裝置GLIP2013.該系統(tǒng)抽象的物理模型見圖1.

圖1 柔性二級倒立擺抽象物理模型

對一級擺桿水平方向的受力進行分析可得

(1)

對一級擺桿垂直方向的受力進行分析可得

(2)

一級擺桿力矩平衡方程為

(3)

對質(zhì)量塊水平方向的受力進行分析可得

(4)

對質(zhì)量塊垂直方向的受力進行分析可得

(5)

對二級擺桿水平方向的受力進行分析可得

(6)

對二級擺桿垂直方向的受力進行分析可得

(7)

二級擺桿力矩平衡方程為

(8)

其中

設(shè)θ1=π+φ1，θ2=π+φ2(φ1與φ2分別是一級擺桿、二級擺桿與垂直向上方向的夾角)，并假設(shè)

φ1?1 rad，φ2?1 rad.

(9)

(10)

代入?yún)?shù)后得:

(11)

(12)

將從動小車、擺桿和質(zhì)量塊看做一個整體進行受力分析，可得

(13)

令

則傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化為

(14)

則系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為

(15)

其中：

由系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程可看出，柔性二級倒立擺系統(tǒng)是強耦合、高階不穩(wěn)定系統(tǒng).針對該復雜系統(tǒng)的穩(wěn)擺控制，設(shè)計如下控制器，使其不僅達到較好的穩(wěn)擺控制效果且控制器輸出抖動較小.

2 準滑動模態(tài)控制器的設(shè)計

在實際工程中，由于存在時間的延遲和空間上的滯后使得在滑?？刂葡到y(tǒng)中滑動模態(tài)呈抖振形式[6].因此，本文采用準滑動模態(tài)控制系統(tǒng).

所謂準滑動模態(tài)是指系統(tǒng)的運動軌跡被限制在理想滑動模態(tài)的某一Δ鄰域內(nèi)的模態(tài).從相軌跡方面來說，就是使一定范圍內(nèi)的運動狀態(tài)點均吸引至切換面的某一Δ鄰域內(nèi)，通常稱該Δ鄰域為滑動模態(tài)切換面的邊界層[7].在邊界層內(nèi)，準滑動模態(tài)是不要求滿足滑動模態(tài)的存在條件的.

該控制器設(shè)計的基本步驟包括切換函數(shù)s(x) 的設(shè)計和準滑動模態(tài)控制率u(x)的設(shè)計2個相對獨立的部分.

2.1 切換函數(shù)的設(shè)計

切換函數(shù)[8]為

s=Zx.

(16)

采用Ackermann公式設(shè)計Z值為

Z=eTP(λ).

(17)

Ackermann公式為：

eT=[0，…，0，1][b，Ab，…，An-1b]-1；

(18)

P(λ)=(λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λn-1).

(19)

在二級柔性倒立擺系統(tǒng)中，當n=8，取λ1=-5，λ2，3=-50±0.7i，λ4，5=-25±2.7i，λ6，7=-35±2.7i，根據(jù)Ackermann公式設(shè)計Z值，可得Z=[225，1，-188.28，13.47，-4.61，-2.23，-32.15，-5.94].

2.2 準滑動模態(tài)控制率的設(shè)計

準滑動模態(tài)控制率為

(20)

其中

(20)式中Δ稱為邊界層.該控制率的實質(zhì)是在邊界層外，采用基于指數(shù)趨近率的切換控制，在邊界層之內(nèi)，采用線性反饋控制[9].

(21)

把(20)式帶入(21)式得系統(tǒng)控制率

u=(ZB)-1(-ZAx-εs2sat(s)-ks).

(22)

3 仿真分析

圖2 傳統(tǒng)指數(shù)趨近率滑?？刂浦鳌膭有≤嚨奈灰?/p>

圖3 傳統(tǒng)指數(shù)趨近率滑?？刂埔患墧[桿、二級擺桿的角度

圖4 傳統(tǒng)指數(shù)趨近率滑?？刂瓶刂破鞯妮敵?/p>

從圖2和3可以看出，基于傳統(tǒng)指數(shù)趨近率的柔性二級倒立擺滑?？刂莆恢酶櫵俣缺容^快，圖4的控制器的輸出具有較強的抖振，因此增加了控制器的負擔.

圖5 準滑動模態(tài)控制主、從動小車的位移

圖6 準滑動模態(tài)控制一級擺桿、二級擺桿的角度

圖7 準滑動模態(tài)控制控制器的輸出

從圖5和6可以看出，準滑動模態(tài)控制的柔性二級倒立擺保證了位置跟蹤速度，圖7的控制器輸出趨于平滑，因此有效地減弱了柔性二級倒立擺系統(tǒng)的抖動.由于基于傳統(tǒng)指數(shù)趨近率的控制使一定范圍內(nèi)的狀態(tài)點被吸引至切換面，準滑動模態(tài)控制使一定范圍內(nèi)的狀態(tài)點被吸引至切換面的某一Δ鄰域內(nèi)，因此，在使用MATLAB進行仿真的過程中，從開始運行到得到仿真結(jié)果，準滑動模態(tài)控制使用時間在1 s左右，傳統(tǒng)指數(shù)趨近率的滑?？刂剖褂脮r間在10 s左右，提高了運行效率.

4 結(jié)束語

本文針對柔性二級倒立擺的穩(wěn)擺控制，設(shè)計了準滑動模態(tài)滑模控制器，通過MATLAB仿真實驗驗證了此控制器對于該系統(tǒng)的有效性.從仿真曲線可以看出，系統(tǒng)在0.9 s內(nèi)迅速達到穩(wěn)定，相對比基于傳統(tǒng)指數(shù)趨近率的滑?？刂疲瑴驶瑒幽B(tài)滑?？刂埔种屏丝刂破鞯妮敵龆秳樱敯粜愿鼉?yōu).

[1] 吳昊，秦志強，朱學峰，等.直線柔性連接兩級倒立擺控制器設(shè)計[J].控制工程，2003，10(6):497-499.

[2] 姜峰.直線二級柔性倒立擺的滑模變結(jié)構(gòu)控制仿真研究[J].科技向?qū)В?013(3):81-82.

[3] YU JIMIN，HUANG LINYAN. Fuzzy control of linear flexible double inverted pendulum sustem [C]// 2012 International Conference on Control Engineering and Communication Technology，Washington：IEEE Computer Society，2012:342-345.

[4] ANIRBAN BANREJEE，NIGAM M J. Designing of proportional sliding mode controller for linear one stage inverted pendulum [J].Power Engineering and Electrical Engineering，2011(9):84-89.

[5] PUNITKUMAR BHAVSAR，VIJAY KUMAR. Trajectory tracking of linear inverted pendulum using integral sliding mode control [J]. Intelligent Systems and Applications，2012(6)：31-38.

[6] 劉金琨.滑模變結(jié)構(gòu)控制MATLAB仿真[M].北京：清華大學出版社，2005：32-79.

[7] 高為炳.離散時間系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)控制[J].自動化學報，1995，21(2):154-161.

[8] 謝慕君，王輝.模糊趨近率的滑?？刂圃诘沽[系統(tǒng)中的應(yīng)用研究[J].自動化技術(shù)與應(yīng)用，2008，27(10):8-11.

[9] 章仁華，馬靜.航空發(fā)動機準滑動模態(tài)變結(jié)構(gòu)控制[J].計算機仿真，2011，28(1):103-106.

[10] 劉金琨，孫富春.滑模變結(jié)構(gòu)控制理論及其算法研究與進展[J].控制理論與應(yīng)用，2007，24(3):407-418.

(責任編輯：石紹慶)

Research on the control of flexible double inverted pendulum system based on quasi-sliding-mode control

WANG Jue，XIE Mu-jun，LI Yuan-chun

(Institute of Electrical and Electronic Engineering，Changchun University of Technology，Changchun 130012，China)

Flexible double inverted pendulum system is a higher order，nonlinear and strong coupling unstable system. In order to steady the pendulum，a mathematical model based on mechanism modeling method is established，and quasi sliding mode control method is put forward，then the sliding mode controller is designed. And then the system has good stability control and robustness. The simulation results show that，the quasi sliding mode control can realize stable control of inverted pendulum，and it is more smooth than general sliding mode control based on exponent trending law in system input，and reducing the shake of the system.

flexible double inverted pendulum system；sliding mode control；quasi sliding mode

1000-1832(2016)04-0083-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.04.018

2015-06-09

國家自然科學基金資助項目(61374051).

王玨(1990—)，女，碩士研究生；通訊作者：謝慕君(1969—)，女，博士，教授，主要從事智能機械與機器人技術(shù)和現(xiàn)代節(jié)能技術(shù)研究.

TP 273 [學科代碼] 510·80

A