王姍姍，喬 雙，孫佳寧

(1.東北師范大學(xué)物理學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024；2.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024)

用于脈沖噪音干擾下圖像去模糊的L0極小化復(fù)原方法

王姍姍1，喬 雙1，孫佳寧2

(1.東北師范大學(xué)物理學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024；2.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024)

針對(duì)數(shù)字圖像由于失焦模糊和脈沖噪音所帶來(lái)的降質(zhì)問(wèn)題，提出了一種全新的圖像復(fù)原方法.該方法將Tikhonov正則項(xiàng)引入到L0極小化模型，并借助交替方向法和變量分離法，給出了模型局部極小值點(diǎn)的快速數(shù)值求解算法.為了說(shuō)明新方法的有效性，對(duì)后來(lái)的數(shù)值進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，通過(guò)結(jié)合不同降質(zhì)條件對(duì)新方法與其他已有方法的復(fù)原效果進(jìn)行了比較.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，新方法不僅在常規(guī)降質(zhì)條件下提供了較好的復(fù)原效果，而且在面對(duì)高強(qiáng)度的脈沖噪音降質(zhì)時(shí)，其他方法已經(jīng)失效，新方法仍能提供穩(wěn)健的復(fù)原結(jié)果.

圖像降質(zhì)；脈沖噪音；模糊；圖像復(fù)原；L0極小化

0 引言

由于數(shù)字圖像在成像過(guò)程以及后期數(shù)據(jù)傳輸過(guò)程中必然受到一些物理?xiàng)l件的限制，這使得真實(shí)環(huán)境下獲得的數(shù)字圖像信號(hào)通常都會(huì)受到包括噪音、模糊等降質(zhì)現(xiàn)象的干擾，從而使得圖像的視覺質(zhì)量變差，在圖像可分辨的內(nèi)容上缺少一些必要的細(xì)節(jié)，所以有效地實(shí)現(xiàn)數(shù)字圖像自身內(nèi)容的復(fù)原，降低乃至去除降質(zhì)現(xiàn)象的干擾，對(duì)于諸多基于數(shù)字圖像的應(yīng)用領(lǐng)域[1-2]的研究顯得十分重要.

作為最常出現(xiàn)的一種圖像噪音形式，脈沖噪音的產(chǎn)生與數(shù)模轉(zhuǎn)換過(guò)程中的AD轉(zhuǎn)換錯(cuò)誤、比特位錯(cuò)誤以及強(qiáng)電磁場(chǎng)干擾有關(guān).區(qū)別于其他噪音形式，遭受脈沖噪音干擾的像素位置的灰度值被徹底重置修改，嚴(yán)重時(shí)會(huì)導(dǎo)致圖像上無(wú)規(guī)則的分布黑白亮暗點(diǎn)，導(dǎo)致圖像失去原有的內(nèi)容信息，使得圖像質(zhì)量下降.通常，脈沖噪音又可以被具體劃分為椒鹽脈沖噪音(salt-and-pepper impulse noise)和隨機(jī)值脈沖噪音(random-value impulse noise).為更好地刻畫這2種脈沖噪音形式，設(shè)gi，j和fi，j分別表示真實(shí)圖像g與受脈沖噪音干擾的降質(zhì)圖像f在位置 (i，j) 處的灰度值，令數(shù)字圖像g的真實(shí)灰度范圍為 [dmin，dmax]，即gi，j∈ [dmin，dmax]，于是真實(shí)圖像g與降質(zhì)圖像f在位置 (i，j) 處的灰度值關(guān)系可以表示為

(1)

式中：ni，j表示被脈沖噪音干擾時(shí)降質(zhì)的像素灰度值，r為脈沖噪音發(fā)生的概率，也就是脈沖噪音的噪音強(qiáng)度.其中若對(duì)于所有的位置(i，j)有ni，j∈ {dmin，dmax}，則脈沖噪音為椒鹽脈沖噪音；若ni，j∈ [dmin，dmax]符合一致分布的隨機(jī)數(shù)時(shí)，則脈沖噪音為隨機(jī)值脈沖噪音.

結(jié)合前面描述的脈沖噪音和公式(1)，可以給出如下完整的數(shù)學(xué)描述：設(shè)u= [ui，j]∈Rm×n為真實(shí)源圖像，H是大小為r×r的模糊核，f= [fi，j]∈Rm×n為觀測(cè)得到的降質(zhì)圖像，于是遭到模糊和脈沖噪音干擾的圖像的降質(zhì)過(guò)程可以表示為

f=Nr(g)，g=H?u.

(2)

式中?代表二維卷積算子，于是根據(jù)(2)式，遭到模糊和脈沖噪音降質(zhì)的圖像復(fù)原，就是要利用降質(zhì)圖像f和已知的H，復(fù)原出圖像u.

目前，有關(guān)圖像模糊和脈沖噪音降質(zhì)的圖像復(fù)原方法主要包括直接復(fù)原方法[3-5]和二相復(fù)原法(Two-Phase Method，TPM)[6-9].直接復(fù)原法操作依賴于數(shù)學(xué)模型對(duì)圖像內(nèi)容的先驗(yàn)假設(shè)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)脈沖噪音降質(zhì)位置的辨識(shí)和逐步復(fù)原；TPM則是通過(guò)對(duì)脈沖噪音降質(zhì)位置進(jìn)行識(shí)別并認(rèn)定為信息缺失位置，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖像修補(bǔ)問(wèn)題.然而，無(wú)論是哪種方法都依賴于模型自身在區(qū)別脈沖噪音與圖像內(nèi)容時(shí)的有效性，一旦喪失有效性，特別是當(dāng)對(duì)于脈沖噪音降質(zhì)像素位置的誤識(shí)率過(guò)高時(shí)就會(huì)導(dǎo)致復(fù)原失敗.因此目前多數(shù)方法無(wú)法有效應(yīng)付高強(qiáng)度隨機(jī)值脈沖噪音下的圖像去模糊復(fù)原，本文則具體針對(duì)遭到模糊和脈沖噪音降質(zhì)的圖像復(fù)原問(wèn)題提出了一種新的方法，可以實(shí)現(xiàn)更高強(qiáng)度隨機(jī)值脈沖噪音下的圖像去模糊復(fù)原.

1 基于L0極小化的復(fù)原模型

作為一類典型的復(fù)原問(wèn)題，噪音環(huán)境下的圖像去模糊復(fù)原問(wèn)題無(wú)法采用直接的逆變換手段，相關(guān)的方法研究通常采用正則化模型為

(3)

式中：Φreg(u)為正則項(xiàng)，在復(fù)原操作中用于保持圖像的稀疏結(jié)構(gòu)，本文采用了Tikhonov正則化項(xiàng)；Φfit(u) 為數(shù)據(jù)擬合項(xiàng)；μ>0為調(diào)節(jié)參數(shù)，可以調(diào)整Φreg(u)和Φfit(u)之間的平衡.為了方便討論，記圖像u中所有的位置(i，j)的集合為Ω，設(shè)?xu和?yu分別表示沿水平方向和垂直方向的差分，即對(duì)于(i，j)∈Ω，定義：

結(jié)合最近有關(guān)L0極小化模型的研究，本文提出了一種結(jié)合Tikhonov型變分正則化項(xiàng)的L0極小化復(fù)原模型為

(4)

關(guān)于(4)式的極小值求解可以通過(guò)交替方向法(ADM)，即給定變量u求解v，給定變量v求解u，如此反復(fù)迭代計(jì)算，直到滿足計(jì)算終止條件.于是對(duì)于第k步迭代已有uk和vk，我們可以將(4)式轉(zhuǎn)化為：

(5)

(6)

眾所周知，關(guān)于L0范數(shù)的極值求解是一個(gè)N-P困難的問(wèn)題，然而關(guān)于子問(wèn)題(5)的求解，由于其中‖v‖0的定義形式是變量可分離的，于是將(5)式的求解轉(zhuǎn)換成

(7)

(8)

(9)

(10)

式中：F表示2D Fourier變換；F*表示F的共軛；F-1是Fourier逆變換；變量之間均是點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的乘法、除法和加法.

綜合以上推導(dǎo)過(guò)程給出如下的迭代步驟：

輸入：圖像f，參數(shù)μ，β，k，迭代上限kmax；

初始化：u0←f，k=0；

重復(fù)；

已知uk，利用公式(10)求解vk+1；

已知vk+1，利用公式(10)求解uk+1；

k=k+1；

直到k=kmax；

輸出：復(fù)原圖像u.

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

在以下的數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，選擇了2種比較典型的脈沖噪音環(huán)境下的圖像去模糊復(fù)原方法，即TVL1[3]和TPM[7]2種方法與本文方法進(jìn)行了比較，以說(shuō)明本文方法的可行性與有效性.而就數(shù)值實(shí)驗(yàn)的復(fù)原結(jié)果對(duì)比，采用通用的客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)——峰值信噪比(PSNR)進(jìn)行了評(píng)估，即

(11)

式中：u表示復(fù)原圖像，u0表示真實(shí)圖像，圖像的大小為mn.為了保證實(shí)驗(yàn)的公平性，選用3幅通用的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試圖像Lena，Mandrill和Barbara(見圖1)，測(cè)試圖像大小為256像素×256像素，所有的數(shù)值實(shí)驗(yàn)都是在Windows 7 32-Bit 環(huán)境下的MATLAB 7.14(R2012a)平臺(tái)上完成的，在測(cè)試中，統(tǒng)一采用由MATLAB軟件原有的fspecial(‘a(chǎn)verage’，7)作為圖像模糊核.圖2給出椒鹽脈沖噪音強(qiáng)度為90%的圖像復(fù)原結(jié)果，對(duì)比原始圖像可以看出，在高強(qiáng)度脈沖噪音干擾下，本文方法在復(fù)原效果上更接近原始圖像，同時(shí)還給出了在椒鹽脈沖噪音強(qiáng)度分別為30%，50%，70%和90%不同情況下的PSNR對(duì)比(見表1)，最優(yōu)值見表1 黑體字，這樣可以從更加客觀的角度更加直觀證明本文方法的有效性.圖3給出隨機(jī)值脈沖噪音為80%的圖像復(fù)原結(jié)果，再次驗(yàn)證了對(duì)于較難去除的隨機(jī)值脈沖噪音污染下本文方法的適用性，同時(shí)噪音強(qiáng)度為40%，55%，65%和80%的復(fù)原結(jié)果的PSNR見表2.

圖1 原始圖像

圖2 椒鹽脈沖噪音為90%時(shí)本文方法的復(fù)原結(jié)果

方法Lena30%50%70%90%Mandrill30%50%70%90%Barbara30%50%70%90%TVL128.8627.1324.5018.2421.4920.5319.2815.4823.5723.0321.6916.26TPM35.0832.5630.0926.6724.2722.8921.6320.2326.4625.5124.0122.65本文方法36.4332.9629.9626.6330.9328.0625.6023.3534.1831.5729.0025.76

圖3 隨機(jī)值脈沖噪音為80%時(shí)本文方法的復(fù)原結(jié)果

方法Lena30%50%70%90%Mandrill30%50%70%90%Barbara30%50%70%90%TVL127.8224.8422.4316.6421.0120.0319.4018.0523.2921.6519.6716.40TPM31.5227.8424.5518.1122.6420.5920.1518.8824.4123.2121.9718.11本文方法32.6529.7128.1924.8428.0925.7724.6222.4631.3128.6727.4324.00

3 結(jié)論

針對(duì)數(shù)字圖像中受脈沖噪音污染的圖像降質(zhì)問(wèn)題提出了一種結(jié)合Tikhonov正則項(xiàng)和L0極小化模型的復(fù)原方法.MATLAB仿真軟件的多次實(shí)驗(yàn)表明：新方法比現(xiàn)有的復(fù)原方法在PSNR數(shù)值評(píng)判上有較為明顯的提升，不僅針對(duì)椒鹽脈沖噪音達(dá)到現(xiàn)有復(fù)原方法的較高水平，對(duì)于較難去除的隨機(jī)值脈沖噪音的復(fù)原也有了新的突破；復(fù)原結(jié)果保留了圖像的邊界紋理特征，使得圖像的有用信息能夠?qū)崿F(xiàn)不失真復(fù)原.

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(責(zé)任編輯：石紹慶)

L0 minimization based restoration method for deblurring images corrupted by impulse noise

WANG Shan-shan1，QIAO Shuang1，SUN Jia-ning2

(1.School of Physics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China；2.School of Mathematics & Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China)

This paper studies the problem of image restoration of blurred image corrupted by impulse noise.We propose a novel L0 minimization restoration method combined with Tikhonov regularization and solve it by utilizing alternating direction method and variable-spliting method.With a derived iteratively upgrading algorithm，a local optimal solution can be obtained.To illustrate effectiveness of the new method，plenty of numerical experiments are presented，which shows that the proposed method is not only superior to the existing models in PSNR performance，but it can be still efficient even under high intensity impulse noise while others fail.

image degradation；impulse noise；blurring；image restoration；L0 minimization

1000-1832(2016)04-0073-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.04.016

2015-09-10

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11275046，11305034)；國(guó)家重大科學(xué)儀器設(shè)備專項(xiàng)基金資助項(xiàng)目(2013YQ040861).

王姍姍(1991—)，女，碩士研究生；通信作者：?jiǎn)屉p(1963—)，男，博士，教授，主要從事核電子學(xué)、嵌入式應(yīng)用、圖像處理與模式識(shí)別研究.

TP 391 [學(xué)科代碼] 520·60

A