高憶先，徐 飛

(東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024)

利用待定系數(shù)法構(gòu)造分?jǐn)?shù)階MKdV方程級(jí)數(shù)解

高憶先，徐 飛

(東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024)

考慮了一維分?jǐn)?shù)階MKdV方程的初值問題：

分?jǐn)?shù)階微積分；分?jǐn)?shù)階MKdV方程；待定系數(shù)法；級(jí)數(shù)近似解

0 引言

1834年，英國(guó)科學(xué)家Russel觀察到孤立波現(xiàn)象，并于1844年在《英國(guó)科學(xué)促進(jìn)協(xié)會(huì)第14屆會(huì)議報(bào)告》上發(fā)表的“論波動(dòng)”一文中首次提出“孤立波”的概念，這是淺水波運(yùn)動(dòng)的一種穩(wěn)定解.但其當(dāng)時(shí)未能對(duì)此做出論證并使物理學(xué)家們信服他的論斷.隨后，有關(guān)孤立波的問題在物理學(xué)家中引起長(zhǎng)期而廣泛的爭(zhēng)論.直到1895年，Korteweg和de Vries研究淺水波運(yùn)動(dòng)，在長(zhǎng)波近似及小振幅的假設(shè)下，建立了一維數(shù)學(xué)模型，才成功地解釋了孤立波現(xiàn)象.他們所建立的方程為

(1)

其中g(shù)為重力加速度，l為水深，η為水波相對(duì)于平衡位置的高度，而α和σ是常數(shù).將上述方程作一個(gè)適當(dāng)?shù)淖宰償?shù)和未知函數(shù)的變換，就可得到

ut+6uux+uxxx=0.

(2)

方程(2)是一個(gè)三階非線性發(fā)展方程，被稱為Korteweg-de Vries方程，簡(jiǎn)稱KdV方程.[1]本文研究的MKdV方程

vt+6v2vx+vxxx=0

(3)

是修正的KdV方程，它在描述非調(diào)和晶格中的等離子和聲子方面具有非常最重要的作用.[2]

1 分?jǐn)?shù)階微積分的基本理論[3-5]

定義1.2 設(shè)函數(shù)f∈Cμ，μ≥-1，f的α(α>0)階Riemann-Liouville積分定義為

定義1.4 設(shè)有二元函數(shù)u=u(x，t)，其中x是空間變量，t是時(shí)間變量.關(guān)于時(shí)間t的α(n-1<α≤n)階Caputo導(dǎo)數(shù)定義為

關(guān)于空間x的β(m-1<α≤m)階Caputo導(dǎo)數(shù)定義為

注1.1 當(dāng)f(t)=u(x，t)時(shí)，有

2 分?jǐn)?shù)階MKdV方程初值問題的級(jí)數(shù)解

考慮方程

(4)

假設(shè)v關(guān)于t是解析的，則有解形如

(5)

顯然，根據(jù)初值有

c0(x)=a0(x).

(6)

為了后文方便，給出以下記號(hào)：

(7)

容易驗(yàn)證以下結(jié)果：

(8)

為了得到c1(x)，考慮v1(x，t)=a0(x)+c1(x)tα，根據(jù)(8)式有

(9)

于是

(10)

為了得到c2(x)，考慮v2(x，t)=a0(x)+a1(x)tα+c2(x)t2α，根據(jù)(8)式有

(11)

從而

(12)

同理，存在a3(x)，a4(x)，…，an(x)，使得c3(x)=a3(x)，…，cn(x)=an(x).

綜上，方程(4)的n階近似級(jí)數(shù)解為

(13)

在實(shí)際應(yīng)用中，可以根據(jù)精度的需求選取適當(dāng)?shù)膎以達(dá)到目的.

[1] 谷超豪，李大潛，沈瑋熙.應(yīng)用偏微分方程[M].北京：高等教育出版社，2014：60-280.

[2] ABDULAZIZ O，HASHIM I，ISMAIL E S.Approximate analytical solution to fractional modified KdV equations [J].Math Comput Modelling，2009，49 (1)：136-145.

[3] KILBAS A A，SRIVASTAVA H M，TRUJILLO J J.Theory and applications of fractional differential equations [M].New York：Elsevier，2006：300-510.

[4] EI-AJOU A，ARQUB O A，ZHOURH Z A，et al.New results on fractional power series：theories and applications [J].Entropy，2013，15(12)：5305-5323.

[5] XU FEI，GAO YIXIAN，ZHANG WEIPENG.Construction of analytic solution for time-fractional Boussinesq equation using iterative method[J/OL].Adv Math Phys，2015 [2015-09-14].http：//dx.doi.org/10.1155/2015/506140.

(責(zé)任編輯：李亞軍)

Construction of series solutions to the fractional MKdV equations using undetermined coefficients method

GAO Yi-xian，XU Fei

(School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China)

Consider the fractional MKdV equation with initial value problemwherev=v(x，t)，x∈R，t>0，a0(x)∈C∞.Using the undetermined coefficients method，the fractional power series solutions to the fractional MKdV equations are constructed.

fractional calculus；fractional MKdV equation；undetermined coefficients method；fractional power series solution

1000-1832(2016)04-0045-03

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.04.010

2015-09-14

吉林省科技發(fā)展計(jì)劃資助項(xiàng)目(20160520094JH)；國(guó)家級(jí)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目(201610200032).

高憶先(1981—)，男，副教授，主要從事動(dòng)力系統(tǒng)研究.

其中v=v(x，t)，x∈R，t>0，a0(x)∈C∞.利用待定系數(shù)法構(gòu)造了分?jǐn)?shù)階MKdV方程的級(jí)數(shù)近似解.

O 242.2 [學(xué)科代碼] 110·61

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