(1.長(zhǎng)春大學(xué)理學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130022；2.延邊大學(xué)數(shù)學(xué)系，吉林 延吉 133002)

Levy噪聲下的隨機(jī)食餌有限模型

張秋梅1，文香丹2

(1.長(zhǎng)春大學(xué)理學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130022；2.延邊大學(xué)數(shù)學(xué)系，吉林 延吉 133002)

研究了Levy噪聲下的隨機(jī)食餌有限模型，在系數(shù)滿足一定條件下得到該模型正解的存在唯一性，并分析了該模型解的漸近行為，最后用數(shù)值模擬驗(yàn)證了得到的結(jié)論.

食餌有限；Levy噪聲；漸近穩(wěn)定

0 引言

Smith[1]在1963年研究水蚤增長(zhǎng)時(shí)提出了著名的食餌有限模型

(1)

其中x(t)代表種群的密度，常數(shù)r和K分別代表種群的增長(zhǎng)率和環(huán)境容納量.近年來(lái)，許多學(xué)者對(duì)隨機(jī)生物模型的研究產(chǎn)生了濃厚興趣，[2-4]其中文獻(xiàn)[4]考慮環(huán)境白噪聲對(duì)系統(tǒng)(1)的影響，討論了擾動(dòng)模型正解的存在唯一性和全局穩(wěn)定性.顯然種群可能遭受突發(fā)性的環(huán)境擾動(dòng)，如地震、颶風(fēng)、傳染病等，然而以前研究的隨機(jī)種群模型不能解釋這種現(xiàn)象.為此，Levy跳躍過(guò)程的引入為研究種群動(dòng)力學(xué)提供了一個(gè)可行的、更逼真的模型，Bao等[5-6]在這方面做了開(kāi)創(chuàng)性的工作.在給出的帶跳躍的隨機(jī)種群模型中，得到的結(jié)論顯示Levy跳躍過(guò)程可能對(duì)系統(tǒng)的性質(zhì)有顯著影響.

基于以上想法，本文研究Levy噪聲下的隨機(jī)食餌有限模型

(2)

1 正解的存在唯一性

定理1 假設(shè)(A)成立，則對(duì)任意給定的初值x0∈(0，K)，系統(tǒng)(2)存在唯一正解x(t)，t≥0， 并且該解以概率1位于R+.

證明 考慮具有初值v(0)=logx(0)的方程

(3)

顯然方程(3)的系數(shù)滿足局部Lipschitz條件，故系統(tǒng)存在唯一局部解v(t)，t∈[0，τe)，其中τe表示爆破時(shí)間.由It公式容易驗(yàn)證x(t)=ev(t)是系統(tǒng)(2)具有初值x0的正解.下面要證明解是全局存在的，只需證明τe=∞ a.s.定義函數(shù)，由It公式得

由Taylor公式和假設(shè)(A)可知存在θ1∈(0，1)和θ2∈(0，1)，使得

用與文獻(xiàn)[7]類似的方法可證結(jié)果成立.

2 正解的漸近行為

定理2 令x(t)為系統(tǒng)(2)滿足初始條件x(0)=x0∈(0，K) 的解，假設(shè)(A)成立.

由不等式 logx≤x-1(?x>0)和假設(shè)(A)可得

則有

計(jì)算得

則有

3 數(shù)值模擬

利用文獻(xiàn)[10]中平穩(wěn)泊松點(diǎn)過(guò)程的方法進(jìn)行數(shù)值模擬驗(yàn)證上面結(jié)論.選擇參數(shù)K=3，C=0.5，Y=(0，∞)，λ(Y)=1.

當(dāng)選取r=-0.2，α=0.3，δ=0.1時(shí)，系統(tǒng)(2)的數(shù)值模擬見(jiàn)圖1.易驗(yàn)證

若選取r=0.2，α=0.3，δ=0.1，則系統(tǒng)(2)的數(shù)值模擬見(jiàn)圖2.計(jì)算得

圖1 當(dāng)r=-0.2時(shí)系統(tǒng)(2)的數(shù)值模擬

圖2 當(dāng)r=0.2時(shí)系統(tǒng)(2)的數(shù)值模擬

從圖1和圖2中可以看出噪聲可以使系統(tǒng)(2)穩(wěn)定.

[1] SMITH F.Population dynamics in Daphnia magna [J].Ecology，1963，44：651-663.

[2] JIANG D，SHI N，ZHAO Y.Existence uniqueness and global stability of positive solutions to the food-limited population model with random perturbation [J].Mathematical and Computer Modeling，2005，42：651-658.

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[4] 張秋梅，文香丹，李映紅.具有飽和接觸率的隨機(jī)SIR模型的正解存在唯一性及滅絕性[J].東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016，48(1)：26-28.

[5] BAO J，MAO X，YIN G，et al.Competitive Lotka-Volterra population dynamics with jumps [J].Nonlinear Anal，2011，74：6601-6616.

[6] BAO J，YUAN C.Stochastic population dynamics driven by Levy noise [J].J Math Anal Appl，2012，391：363-375.

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[10] ZOU X，WANG K.Numerical simulations and modeling for stochastic biological systems with jumps [J].Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2014，19：1557-1568.

(責(zé)任編輯：李亞軍)

Stochastic food-limited population model by Levy noise

ZHANG Qiu-mei1，WEN Xiang-dan2

(1.School of Science，Changchun University，Changchun 130022，China；2.Department of Mathematics，Yanbian University，Yanji 133002，China)

The present paper deals with the problem of a stochastic food-limited population model by Levy noise.The existence and uniqueness of solutions are established under appropriate conditions on the coefficients.Then the asymptotic behaviors of this model are analyzed.Numerical simulations for a set of parameter values are presented to illustrate the analytical findings.

food-limited；Levy noise；asymptotic stability

1000-1832(2016)04-0040-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.04.009

2015-07-13

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11601038)；教育部“春暉計(jì)劃”資助項(xiàng)目(Z2015014)；吉林省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題項(xiàng)目(GH150104)；吉林省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題項(xiàng)目(GH16103)；吉林省教育廳“十二五”科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(吉教科合字[2015]第10號(hào)，2014LY508L40)；吉林省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(20140101005JC).

張秋梅(1980—)，女，博士，講師，主要從事隨機(jī)微分方程研究；通信作者：文香丹(1965—)，女，碩士，教授，主要從事應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)和優(yōu)化理論研究.

O 211.63 [學(xué)科代碼] 110·6460

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