李承耕，許紹元，劉 波

(韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系，廣東 潮州 521041)

偏序度量空間中混合單調(diào)隨機(jī)算子的耦合重合點(diǎn)定理

李承耕，許紹元，劉 波

(韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系，廣東 潮州 521041)

研究了偏序度量空間中的隨機(jī)混合單調(diào)算子，并將一般混合單調(diào)算子的重合點(diǎn)定理擴(kuò)展到隨機(jī)混合單調(diào)算子的耦合重合點(diǎn)定理，推廣了已有文獻(xiàn)的一些結(jié)論.

偏序；耦合重合點(diǎn)：混合單調(diào)算子；隨機(jī)算子

1 預(yù)備知識

混合單調(diào)算子是一類非常重要的算子，它于1987年由郭大鈞和Lakshmikantham[1-2]提出后，眾多學(xué)者對其做了大量研究，得到一批很好的結(jié)果.[2-9]它的很多理論已被應(yīng)用于非線性微分方程與非線性積分方程解的存在性問題的研究中.本文在文獻(xiàn)[1-3]的基礎(chǔ)上，討論了兩類混合單調(diào)算子隨機(jī)耦合重合點(diǎn)問題，修改了文獻(xiàn)[3]給出的壓縮條件，并在新的壓縮條件下討論了隨機(jī)耦合重合點(diǎn)的存在性與唯一性問題，得到了與文獻(xiàn)[3]相區(qū)別的一些結(jié)論.

定義1[5]設(shè)(X，d)是一個偏序集，映射F:X×X→X和g:X→X滿足：(1) 若g(x1)≤g(x2)，則F(x1，y)≤F(x2，y)；(2) 若g(y1)≤g(y2)，則F(x，y2)≤F(x，y1).則稱算子F(x，y)具有混合g-單調(diào)性，即F(x，y)對x具有g(shù)-單調(diào)非減性，F(xiàn)(x，y) 對y具有g(shù)-單調(diào)非增性.

定義2[5]對于算子F:X×X→X和g:X→X，如果F(x，y)=g(x)，且F(y，x)=g(y)，則稱元素(x，y)為F對g的一個耦合重合點(diǎn).

定義3[3]對于隨機(jī)算子F:Ω×(X×X)→X，若滿足：(1)?ω∈Ω，F(xiàn)(ω，·)連續(xù)；(2)?v∈X×X，F(xiàn)(·，v)可測.則稱F是連續(xù)隨機(jī)算子.

2 主要結(jié)果

設(shè)(X，≤)是一個偏序集，(X，d)是完備可分度量空間，(Ω，Σ)為可測空間，F(xiàn):Ω×(X×X)→X和g:Ω×X→X為混合單調(diào)算子.本文做如下假設(shè)：

(A1)F(ω，·)和g(ω，·)是連續(xù)的，?ω∈Ω.

(A2)F(·，v)和g(·，x)是可測的，?v∈X×X，?x∈X.

(A3)F(ω×(X×X))?X，對每個ω∈Ω.

(A4)g是連續(xù)的，對F是可交換的.

(A5)F是連續(xù)的.

(A6)X滿足:如果一個非減序列xn→x，則xn≤x對任意的n成立；如果一個非增序列xn→x，則x≤xn對任意的n成立.

定理1 設(shè)(X，≤)是一個偏序集，(X，d)是完備可分度量空間，(Ω，Σ)為可測空間，F(xiàn):Ω×(X×X)→X和g:Ω×X→X為混合單調(diào)算子.對任意α+β<1，α>0，β>0，ω∈Ω，不等式

對所有滿足g(ω，x)≤g(ω，u)，g(ω，y)≥g(ω，v)的x，y，u，v∈X成立，且假設(shè)(A1)—(A6)成立.如果存在可測映射ξ0，η0∈X，使得g(ω，ξ0(ω))≤F(ω×(ξ0(ω)，η0(ω)))，F(xiàn)(ω×(η0(ω)，ξ0(ω)))≤g(ω，η0(ω))，則也存在可測映射ξ，θ:Ω→X，使得F(ω×(ξ(ω)，θ(ω)))=g(ω，ξ(ω))，F(xiàn)(ω×(θ(ω)，ξ(ω)))=g(ω，θ(ω))， ?ω∈Ω.即F和g存在耦合隨機(jī)重合點(diǎn).

證明 設(shè)Θ={ξ|Ω→X}是一個可測映射類.定義函數(shù)h:Ω×X→R+，h(ω，x)=d(x，g(ω，x))，則由已知條件，h(ω，·)連續(xù)，h(·，x)可測，從而h(ω，x)是Caratheodory函數(shù).故當(dāng)ξ:Ω→X可測時，ω→h(ω，ξ(ω)) 也是可測的.?ξ∈Θ，定義η(ω)=g(ω，ξ(ω))，則η:Ω→X也是可測的，η∈Θ.

g(ω，ξ1(ω))=F(ω，(ξ0(ω)，η0(ω)))，g(ω，η1(ω))=F(ω，(η0(ω)，ξ0(ω)))，

這樣確定了ξ1，η1；再由F(ω，(ξ1(ω)，η1(ω)))∈X=g(ω×X)，F(xiàn)(ω，(η1(ω)，ξ1(ω)))∈X=g(ω×X)，存在ξ2，η2∈Θ使得

g(ω，ξ2(ω))=F(ω，(ξ1(ω)，η1(ω)))，g(ω，η2(ω))=F(ω，(η1(ω)，ξ1(ω)))，

g(ω，ξn+1(ω))=F(ω，(ξn(ω)，ηn(ω)))，g(ω，ηn+1(ω))=F(ω，(ηn(ω)，ξn(ω))).

(1)

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明

g(ω，ξn(ω))≤g(ω，ξn+1(ω))，g(ω，ηn(ω))≥g(ω，ηn+1(ω))，n≥0.

(2)

當(dāng)n=0時，g(ω，ξ0(ω))≤F(ω，(ξ0(ω)，η0(ω)))，g(ω，η0(ω))≥F(ω，(η0(ω)，ξ0(ω)))，即g(ω，ξ0(ω))≤g(ω，ξ1(ω))，g(ω，η0(ω))≥g(ω，η1(ω))，從而當(dāng)n=0時，結(jié)論成立.假設(shè)對任意的n≥0，結(jié)論成立，即

g(ω，ξn(ω))≤g(ω，ξn+1(ω))，g(ω，ηn(ω))≥g(ω，ηn+1(ω)).

下證對n+1時結(jié)論成立.事實(shí)上，由F對于第一個變量具有單調(diào)g-非減性，

F(ω，(ξn(ω)，ηn(ω)))≤F(ω，(ξn+1(ω)，ηn(ω)))，

F(ω，(ηn+1(ω)，ξn(ω)))≤F(ω，(ηn(ω)，ξn(ω))).

(3)

由F對于第二個變量具有單調(diào)g-非增性，

F(ω，(ξn+1(ω)，ηn+1(ω)))≥F(ω，(ξn+1(ω)，ηn(ω)))，

F(ω，(ηn+1(ω)，ξn(ω)))≥F(ω，(ηn+1(ω)，ξn+1(ω))).

(4)

由(3)—(4)式及不等式的傳遞性有

F(ω，(ξn+1(ω)，ηn+1(ω)))≥F(ω，(ξn(ω)，ηn(ω)))，

F(ω，(ηn(ω)，ξn(ω)))≥F(ω，(ηn+1(ω)，ξn+1(ω)))，

從而g(ω，ξn+1(ω))≤g(ω，ξn+2(ω))，g(ω，ηn+1(ω))≥g(ω，ηn+2(ω))，即結(jié)論在n+1時成立.

定義δn=d(g(ω，ξn(ω))，g(ω，ξn+1))+d(g(ω，ηn(ω))，g(ω，ηn+1(ω))).注意到

d(g(ω，ξn(ω))，g(ω，ξn+1))=

d(F(ω，(ξn-1(ω)，ηn-1(ω)))，F(xiàn)(ω，(ξn(ω)，ηn(ω))))≤

αd(g(ω，ξn-1(ω))，g(ω，ξn))+βd(g(ω，ηn-1(ω))，g(ω，ηn(ω)))，

(5)

d(g(ω，ηn(ω))，g(ω，ηn+1))=

d(F(ω，(ηn-1(ω)，ξn-1(ω)))，F(xiàn)(ω，(ηn(ω)，ξn(ω))))≤

αd(g(ω，ηn-1(ω))，g(ω，ηn))+βd(g(ω，ξn-1(ω))，g(ω，ξn(ω)))，

(6)

現(xiàn)在證明{g(ω，ξn(ω))}和{g(ω，ηn(ω))}是柯西列，用反證法.若{g(ω，ξn(ω))}和{g(ω，ηn(ω))}至少有一個不是柯西列，則存在ε>0，和兩個正整數(shù)序列{m(k)}，{l(k)}，m(k)>l(k)>k，滿足：

(7)

(8)

實(shí)際上可以選擇使得(7)式成立的最小m(k)，此時必然可以使得(8)式成立.由(7)—(8)式與三角不等式有

(9)

而

(10)

(11)

(10)和(11)式相加得

將之代入(9)式得rk≤δl(k)+δm(k)+(α+β)rk，令k→∞有ε≤0+0+(α+β)ε<ε，矛盾.故假設(shè)不成立，{g(ω，ξn(ω))}和{g(ω，ηn(ω))}是柯西列.

由g(X×X)=X的完備性，存在θ0，ξ0∈Θ，使得

由g(ω，ξ0(ω))，g(ω，θ0(ω))是可測的，故可定義ξ(ω)=g(ω，ξ0(ω))，θ(ω)=g(ω，θ0(ω))，即有

(12)

由(12)及g的連續(xù)性，

(13)

由F和g的可交換性有

(14)

(15)

故F(ω×(ξ(ω)，θ(ω)))=g(ω，ξ(ω))，F(xiàn)(ω×(θ(ω)，ξ(ω)))=g(ω，θ(ω))，即(ξ(ω)，θ(ω))∈X×X是F和g的耦合隨機(jī)重合點(diǎn).

以下說明在(A6)的條件下，結(jié)論也成立.事實(shí)上，假設(shè)(A6)成立，由(A2)可知{g(ω，ξn(ω))}是非減的，且當(dāng)g(ω，ξn(ω))→g(ω，ξ(ω))時，g(ω，ξn(ω))≤g(ω，ξ(ω))，n∈N.同時，由(A2)可知{g(ω，ηn(ω))}是非增的，且當(dāng)g(ω，ηn(ω))→g(ω，θ(ω))時，有g(shù)(ω，ηn(ω))≥g(ω，θ(ω))，n∈N.由三角不等式，

類似可證F(ω×(θ(ω)，ξ(ω)))=g(ω，θ(ω))，故(ξ(ω)，θ(ω))∈X×X是F和g耦合隨機(jī)重合點(diǎn).

定理2 設(shè)(X，≤)是一個偏序集，(X，d)是完備可分的度量空間，(Ω，Σ)是一個可測空間，F(xiàn):Ω×(X×X)→X和g:Ω×X→X為混合單調(diào)算子.假設(shè)(A1)—(A6)成立，且對k∈(0，1)及所有滿足x≤u，y≥v的x，y，u，v∈X，有

如果存在可測映射ξ0，η0∈X，使得ξ0(ω)≤F(ω，(ξ0(ω)，η0(ω)))，F(xiàn)(ω×(η0(ω)，ξ0(ω)))≤η0(ω)，則也存在可測映射ξ，θ:Ω→X，使得F(ω×(ξ(ω)，θ(ω)))=ξ(ω)，F(xiàn)(ω×(θ(ω)，ξ(ω)))=θ(ω)，?ω∈Ω.即F和g存在耦合隨機(jī)不動點(diǎn)點(diǎn).

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[2] GUO D J，LAKSHMIKANTHAM V. Coupled fixed points of nonlinear operators with application[J]. Nonlinear Analysis，1987，11(5):623-637.

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[5] 郭大鈞.非線性泛函分析[M].濟(jì)南:山東科技出版社，1985:235-241.

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(責(zé)任編輯：李亞軍)

Couple coincidence points for mixed monotone random operators in partially ordered metric space

LI Cheng-geng，XU Shao-yuan，LIU Bo

(Department of Mathematics and Applied Mathematics，Hanshan Normal University，Chaozhou 521041，China)

Random mixed monotone operators in partially ordered metric spaces are considered. The results improve the problem of coincidence points for general monotone operators to mixed monotone random operators.

partially ordered;coupled coincidence points;mixed monotone operators； random operator

1000-1832(2016)04-0015-04

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.04.004

2014-12-12

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10961003).

李承耕(1969—)，男，碩士，講師，主要從事統(tǒng)計與非線性泛函研究；許紹元(1964—)，男，博士，教授，主要從事分行幾何與非線性泛函研究；劉波(1977—)，男，碩士，講師，主要從事統(tǒng)計與非線性泛函研究.

O 177.91 [學(xué)科代碼] 110·67

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