周 穎， 王秀蓮

(天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 天津 300387)

一類Omega模型的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)

周 穎， 王秀蓮

(天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 天津 300387)

在經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的基礎(chǔ)上，根據(jù)公司盈余的正負(fù)不同收取不同的保費(fèi)，考慮期望貼現(xiàn)罰金函數(shù)。首先，通過(guò)全概率公式得到了實(shí)質(zhì)性破產(chǎn)時(shí)間的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)滿足的積分微分方程。在索賠分布函數(shù)為指數(shù)函數(shù)時(shí)導(dǎo)出了期望折現(xiàn)罰金函數(shù)滿足的微分方程。最后，在罰金函數(shù)為指數(shù)函數(shù)時(shí)選取常見的三種破產(chǎn)率函數(shù)，將微分方程變化為庫(kù)默爾方程，得出期望折現(xiàn)罰金函數(shù)具體的表達(dá)式。

Omega模型； 破產(chǎn)率函數(shù)； 期望折現(xiàn)罰金函數(shù)； 庫(kù)默爾方程

在經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中保險(xiǎn)公司的盈余過(guò)程可表示為[1]：

(1)

其中x=C(0)≥0是初始盈余；c是一個(gè)大于零的常數(shù)，表示保險(xiǎn)公司單位時(shí)間內(nèi)收取的保費(fèi)率；{N(t)}t≥0表示t時(shí)刻累計(jì)發(fā)生索賠的次數(shù)是一個(gè)強(qiáng)度為λ的齊次泊松過(guò)程；Yi表示保險(xiǎn)公司的第i次索賠，{Yi,i=1,2,…} 為獨(dú)立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量序列，其分布函數(shù)為FY(x)，密度函數(shù)為fY(x)；{N(t)}t≥0與{Yi,i=1,2,…} 相互獨(dú)立。對(duì)應(yīng)期望折現(xiàn)罰金函數(shù)為：

mδ(x)=E[e-δτw(C(T-),|C(T)|)I{T<+∞}|C(0)=x],x≥0,

(2)

其中δ≥0是折現(xiàn)因子；T是破產(chǎn)發(fā)生的時(shí)間(盈余首次為負(fù)的時(shí)間)；C(T-)是破產(chǎn)時(shí)刻之前的盈余，|C(T)|是破產(chǎn)時(shí)的赤字；I{·}表示示性函數(shù)；w(C(T-),|C(T)|)是一個(gè)罰金函數(shù),依賴于破產(chǎn)時(shí)的立即盈余和赤字，一般設(shè)為連續(xù)函數(shù)。罰金函數(shù)w(C(T-),|C(T)|)在不同情況下可以表現(xiàn)為不同的表達(dá)形式，如：Albrecher等[2]在保費(fèi)率恒定且破產(chǎn)率函數(shù)ω(x)=1的情況下研究了罰金函數(shù)w(x1,x2)=e-γ2x2時(shí)的期望罰金函數(shù)；Albrecher等[3]在保費(fèi)率不變且破產(chǎn)率函數(shù)ω(x)=1的情況下研究了罰金函數(shù)w(x1,x2)=1時(shí)的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)(即實(shí)質(zhì)性破產(chǎn)的概率)；Gerber等[4]研究了罰金函數(shù)為w(U(t))時(shí)的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)。

對(duì)于經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型，通常學(xué)者們研究的一個(gè)主要任務(wù)是計(jì)算期望折現(xiàn)罰金函數(shù)，即Gerber-shiu函數(shù)如(2)式；其中保險(xiǎn)公司破產(chǎn)是指盈余首次為負(fù)值時(shí)，即破產(chǎn)時(shí)間T=inf{t>0|C(t)<0} 。但是實(shí)際生活中，有時(shí)保險(xiǎn)公司的資金為負(fù)值時(shí)，公司可能會(huì)采取一些措施，比如：保險(xiǎn)公司向銀行貸款、提高保費(fèi)率、延遲支付索賠等，使得公司即使出現(xiàn)赤字也能度過(guò)難關(guān)繼續(xù)運(yùn)營(yíng)，直到發(fā)生實(shí)質(zhì)性破產(chǎn)。針對(duì)實(shí)質(zhì)性破產(chǎn)，風(fēng)險(xiǎn)理論的研究中出現(xiàn)了新的破產(chǎn)模型——Omega模型(Albrecher等[5])，在這個(gè)模型中實(shí)質(zhì)性破產(chǎn)發(fā)生的概率依賴于一個(gè)破產(chǎn)率函數(shù)ω(x)(x≤0表示公司負(fù)盈余值)，ω(x)dt表示在dt時(shí)間內(nèi)公司資金為x時(shí)發(fā)生實(shí)質(zhì)性破產(chǎn)的概率；一般情況下，假設(shè)ω(x)≥0，且當(dāng)xω(y)，即當(dāng)盈余越小時(shí)，保險(xiǎn)公司發(fā)生破產(chǎn)的概率越大。針對(duì)此類模型有許多的研究，如：Albrecher等[2]研究了復(fù)合泊松模型隨機(jī)觀察時(shí)期ω(x)=1時(shí)期望折現(xiàn)罰金函數(shù)；Albrecher等[3]研究了復(fù)合泊松盈余過(guò)程下破產(chǎn)率函數(shù)分別為常數(shù)、線性函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和分段常數(shù)時(shí)破產(chǎn)概率問(wèn)題； WANG Xiu-lian等[6]研究了Ornstein-Uhlenbac類Omega模型下破產(chǎn)率函數(shù)為常數(shù)和線性函數(shù)時(shí)期望折現(xiàn)罰金函數(shù)。但這些研究成果中都沒有考慮保費(fèi)率變化的情形。

保費(fèi)在保險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)中也是至關(guān)重要的一部分。保險(xiǎn)的目的是針對(duì)可能出現(xiàn)的意外風(fēng)險(xiǎn)從經(jīng)濟(jì)上緩解損失,保險(xiǎn)公司一般通過(guò)收取保費(fèi)來(lái)增加收入,因理賠及常規(guī)管理造成支出。在經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中，保險(xiǎn)公司收取的保費(fèi)一般是關(guān)于時(shí)間的線性函數(shù)，即保費(fèi)率視為固定的常數(shù)。實(shí)際上，保險(xiǎn)公司的保費(fèi)率可能會(huì)受一些因素影響而發(fā)生變換，比如：保險(xiǎn)公司的盈余、保險(xiǎn)公司索賠的次數(shù)、國(guó)家經(jīng)濟(jì)狀況等。如：鄭燦亮[7]和Jasiulewicz[8]研究了保費(fèi)率受盈余大小影響時(shí)的破產(chǎn)概率；LU Yi等[9]研究了馬氏調(diào)制風(fēng)險(xiǎn)模型中保費(fèi)受環(huán)境影響時(shí)的破產(chǎn)概率。

本文考慮罰金函數(shù)僅與赤字有關(guān)的條件下，討論Omega模型中保費(fèi)值與公司盈余正負(fù)相關(guān)時(shí)的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)。假設(shè)當(dāng)盈余為正值時(shí)，保險(xiǎn)公司收取一定的保費(fèi)率；一旦盈余為負(fù)值時(shí)，公司通過(guò)提高保費(fèi)率來(lái)降低破產(chǎn)發(fā)生的概率。

1 期望折現(xiàn)罰金函數(shù)

在Omega模型中，因?yàn)楣镜挠嗫梢詾樨?fù)值，且本文考慮罰金函數(shù)僅與赤字有關(guān)，所以定義期望折現(xiàn)罰金函數(shù)為：

mδ(x)=E[e-δτw(|C(τ)|)I{τ<+∞}|C(0)=x],x∈R,

其中τ表示實(shí)質(zhì)性破產(chǎn)發(fā)生的時(shí)間(實(shí)際生活中即為保險(xiǎn)公司倒閉的時(shí)間)。

定理 假設(shè)x≥0時(shí)保費(fèi)率為c1，x<0時(shí)保費(fèi)率為c2，則期望折現(xiàn)罰金函數(shù)滿足下面的積分微分方程:

證明 考慮在很小的時(shí)間區(qū)間(0,h)內(nèi)，以是否有索賠到達(dá)或發(fā)生實(shí)質(zhì)性破產(chǎn)為條件，由全概率公式有：當(dāng)x≥0時(shí)，

mδ(x)=e-δhe-λhmδ(x+c1h)+∫0he-δtλe-λt∫0+∞mδ(x+c1t-y)dFY(y)dt，

(3)

mδ(x)=e-δhe-λh-∫0hω(x+c2y)dymδ(x+c2h)+∫0he-δtw(-(x+c2t))e-λtω(x+

c2t)e-∫0tω(x+c2y)dydt+∫0he-δte-∫0tω(x+c2y)dyλe-λt∫0+∞mδ(x+c2t-y)dFY(y)dt。

(4)

考慮(3)，(4)式,當(dāng)x→0且令h→0可以得到：

mδ(0+)=mδ(0-)，

(5)

故mδ(x)在x=0處連續(xù)。

(3)，(4)式先關(guān)于h求導(dǎo)再令h→0得到：

(6)

(6)，(7)式對(duì)x→0，再由(5) 式的連續(xù)性得：

(8)

故mδ(x)在x=0處不可導(dǎo)。

且滿足：

mδ,u(0+)=mδ,l(0-)。

(11)

求解微分方程(10)和(11)時(shí)，需確定索賠分布FY、折現(xiàn)罰金函數(shù)w(-x)和破產(chǎn)率函數(shù)ω(x)；以下將針對(duì)索賠分布和罰金函數(shù)為指數(shù)函數(shù)時(shí)，選取3種常見的破產(chǎn)率函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。

2 指數(shù)索賠情況下期望折現(xiàn)罰金函數(shù)

2.1 期望折現(xiàn)罰金函數(shù)滿足的積分微分方程

(12)

(w(-x)ω′(x)-w′(-x)ω(x)+vw(-x)ω(x))=0,x<0。

(13)

(12)式是一個(gè)二階齊次線性微分方程，其特征方程為：

(14)

故可設(shè)方程的解為：

mδ,u(x)=A1e-Rux+B1eρux,x≥0,

(15)

其中A1,B1∈R，且-Ru<0,ρu>0是特征方程(14)的兩個(gè)根。

mδ,u(x)=A1e-Rux,x≥0。

(16)

對(duì)于(13)式，它是一個(gè)變系數(shù)微分方程，其對(duì)應(yīng)齊次方程的系數(shù)中包含ω(x)，故其解是不容易得到的。下面對(duì)給定的ω(x),w(-x)函數(shù)對(duì)方程(13)的解進(jìn)行討論。

2.2 特殊破產(chǎn)率函數(shù)的具體計(jì)算

2.2.1 常數(shù)破產(chǎn)率函數(shù)時(shí)的情況

當(dāng)ω(x)=ωc,w(-x)=eqx,q>0時(shí)，方程(13)變?yōu)椋?/p>

(17)

方程(17)對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為：

(18)

則方程(17)的解可設(shè)為：

mδ,l(x)=A2e-Rlx+B2eρlx+D2eqx，x<0,

mδ,l(x)=B2eρlx+D2eqx，x<0。

(19)

把(19)式代入方程(10)，通過(guò)eqx項(xiàng)的系數(shù)關(guān)系可得：

另一方面把(16)，(19)式代入方程(9)，通過(guò)e-vx項(xiàng)的系數(shù)關(guān)系得：

(20)

(16)，(19)式由連續(xù)條件(11)得：

A1=B2+D2,

(21)

由(20)，(21)式可解出A1、B2為：

期望折現(xiàn)罰金函數(shù)為：

2.2.2 線性破產(chǎn)率函數(shù)時(shí)的情況

當(dāng)ω(x)=-ax,w(-x)=eqx,q>0時(shí)，方程(13)變?yōu)椋?/p>

(a-v(δ-ax))mδ,l(x)-(ax(q+v)+a)eqx=0,x<0,

(22)

方程(22)對(duì)應(yīng)的齊次方程為：

(23)

該方程是一個(gè)變系數(shù)微分方程，將其進(jìn)行化簡(jiǎn)：

解庫(kù)默爾方程可得解為：

則方程(23)的解為：

(24)

令

,

則由常數(shù)變易法，我們可以求出方程(22)的一個(gè)特解：

方程(22)的解為：

當(dāng)x→-∞時(shí)，(24)式是無(wú)界的，(25)式趨于0；而x→-∞時(shí)，mδ,l(x)函數(shù)是有界的，故A3=0，則

(26)

把(16)和(26)式帶入方程(9)中，并取x=0得：

(27)

(16),(26)式再由連續(xù)條件(11)可得：

(28)

期望折現(xiàn)罰金函數(shù)的表達(dá)式為：

mδ(x)=

2.2.3 指數(shù)破產(chǎn)率函數(shù)時(shí)的情況

當(dāng)ω(x)=e-ax,w(-x)=eqx,a,q>0時(shí)，方程(13)變?yōu)椋?/p>

方程(29)對(duì)應(yīng)的齊次方程為：

方程(30)的解法與方程(23)的解法相似，

庫(kù)默爾方程的解為：

其中A4、B4∈R。則方程(30)的解為：

且有

(31)

(32)

令

同樣由常數(shù)變易法，我們可以求出方程(29)的一個(gè)特解：

方程(29)的解為：

當(dāng)x→-∞時(shí)，(31)式是無(wú)界的，(32)式趨于0；而x→-∞時(shí)，mδ,l(x)函數(shù)是有界的，故A4=0，則

(33)

(16)，(33)式再由條件(8)和連續(xù)條件(11)可得：

解得：

期望折現(xiàn)罰金函數(shù)的表達(dá)式為：

3 結(jié) 論

本文研究了Omega模型下保費(fèi)大小與盈余正負(fù)有關(guān)時(shí)期望折現(xiàn)罰金函數(shù)問(wèn)題，利用相關(guān)風(fēng)險(xiǎn)理論和概率知識(shí)，得到了期望折現(xiàn)罰金函數(shù)滿足的積分微分方程，再通過(guò)給出索賠密度函數(shù)、罰金函數(shù)和破產(chǎn)率函數(shù),最終得到了期望折現(xiàn)罰金函數(shù)的明確表達(dá)式，為進(jìn)一步研究期望折現(xiàn)罰金函數(shù)問(wèn)題奠定了一定的基礎(chǔ)。

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[責(zé)任編輯：張存鳳]

Expected discounted penalty function for a class of Omega models

ZHOU Ying, WANG Xiu-lian

(College of Mathematical Science, Tianjin Normal University, Tianjin 300387, China)

On the basis of the classical risk model, this paper considers the expected discounted penalty function according to the company’s surplus plus or minus charge the premium. Firstly, we obtain the integral differential equation for the expected discounted penalty function of bankruptcy by the law of total probability. Secondly, the differential equation for the expected discounted penalty function in the case of exponential claim is given. Finally, choosing three common bankruptcy rate functions in the penalty function as exponential function, we have derived the explicit expressions of the expected discounted penalty function by changing differential equation to Kummer function.

Omega model; bankruptcy rate function; discounted penalty function; Kummer equation

1673-2944(2016)06-0072-08

2016-07-06

2016-09-27

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11401436)；天津師范大學(xué)博士基金資助項(xiàng)目(52XB1204)

周穎(1991—)，女，安徽省無(wú)為縣人，天津師范大學(xué)碩士研究生，主要研究方向?yàn)殡S機(jī)過(guò)程在金融保險(xiǎn)中的應(yīng)用;[通信作者]王秀蓮(1965—)，女，山西省呂梁市人，天津師范大學(xué)副教授，碩士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)殡S機(jī)過(guò)程在金融保險(xiǎn)中的應(yīng)用。

O211.67

A