喬丹·艾倫伯格

彩票的吸引力由來已久。這種博彩活動(dòng)可以追溯至17世紀(jì)的熱那亞，當(dāng)時(shí)，熱那亞的博彩活動(dòng)已經(jīng)在采用現(xiàn)代“強(qiáng)力球”玩家十分熟悉的玩法了。賭徒們努力地猜測隨機(jī)抽取的5個(gè)數(shù)字，猜中的數(shù)字越多，獎(jiǎng)金越高。

大多數(shù)彩票玩家認(rèn)為，與購買一組號碼相比，把寶押在兩組號碼上，損失的可能性更小。沒錯(cuò)，對于獎(jiǎng)勵(lì)機(jī)制簡單的彩票，我們可以很容易地進(jìn)行分析。

假定彩票一共有1000萬種號碼組合，其中只有一種會(huì)中獎(jiǎng)。每張彩票售價(jià)1美元，獎(jiǎng)池累積獎(jiǎng)金為600萬美元。

如果購買所有號碼組合需要付出1000萬美元，則損失金額為400萬美元。相較之下，僅購買一張彩票的玩家更有優(yōu)勢，至少他有千萬分之一的機(jī)會(huì)中大獎(jiǎng)。

如果購買兩張彩票呢？損失的概率會(huì)降低，但幅度不大，只有千萬分之一。不停地買，損失的可能性也會(huì)不斷降低，直到購買600萬張彩票。此時(shí)，把獎(jiǎng)池掏空的概率是60%，而虧本的概率為40%。但如果再多買一張彩票，就肯定會(huì)虧錢。至于是虧1美元還是6000001美元，取決于你之前是否已經(jīng)買到了大獎(jiǎng)號碼。購買600萬張彩票的做法可以將虧錢的概率降至最低，但這并不代表它就是正確玩法。

假如有個(gè)家伙愿意付1.20美元收購你手中的彩票，那么，聰明的做法是接受這筆利潤為0.20美元的交易，還是繼續(xù)持有彩票呢？這取決于你設(shè)定的彩票價(jià)值是高于還是低于1.20美元。在此，我要引入“期望值”這個(gè)因素。

我們可以運(yùn)用下述方法計(jì)算彩票價(jià)值的期望值：對于每一種可能的結(jié)果，將出現(xiàn)該結(jié)果的概率與該結(jié)果所對應(yīng)的彩票價(jià)值相乘。在我們這個(gè)簡化的例子中，只存在兩種結(jié)果：要么虧錢，要么獲利。因此，我們得到：

9999999/10000000×0美元=0美元

1/10000000×6000000美元=0.60美元

然后，將兩個(gè)結(jié)果相加：

0美元+0.60美元=0.60美元

因此，彩票價(jià)值的期望值是0.60美元。如果有人上門以1.20美元的價(jià)格收購彩票，根據(jù)期望值，我們應(yīng)該接受這筆交易。實(shí)際上，根據(jù)期望值，當(dāng)初我們就不應(yīng)該以1美元的價(jià)格購買彩票。

目前，強(qiáng)力球風(fēng)靡美國，有時(shí)單次開獎(jiǎng)就可以賣出多達(dá)1億張彩票。那么，玩這種彩票游戲是否明智呢？

2013年12月6日，就在我寫這篇文章的時(shí)候，累計(jì)獎(jiǎng)金已經(jīng)高達(dá)1億美元了，而且贏取累積獎(jiǎng)金不是贏錢的唯一途徑。與很多彩票一樣，強(qiáng)力球也設(shè)置了多個(gè)等級的獎(jiǎng)金，正是那些容易中的小額獎(jiǎng)金讓人們覺得這種游戲值得一玩。

下面我向大家介紹如何計(jì)算一張售價(jià)為2美元的彩票的期望值，如果你購買了一張彩票，你就有：

1/175000000的概率贏取1億美元的累積獎(jiǎng)金；

1/5000000的概率贏取100萬美元獎(jiǎng)金；

1/650000的概率贏取1萬美元獎(jiǎng)金；

1/19000的概率贏取100美元獎(jiǎng)金；

1/12000的概率贏取另外一個(gè)100美元獎(jiǎng)金；

1/700的概率贏取7美元獎(jiǎng)金；

1/360的概率贏取另外一個(gè)7美元獎(jiǎng)金；

1/110的概率贏取4美元獎(jiǎng)金；

1/55的概率贏取另外一個(gè)4美元獎(jiǎng)金。

你可以從強(qiáng)力球網(wǎng)站上找到這些內(nèi)容。因此，強(qiáng)力球彩票價(jià)值的期望值為：

1億/1.75億+100萬/500萬+1萬/65萬+100/19000+100/12000+7/700+7/360+4/110+4/55，得數(shù)略小于0.94美元。換言之，根據(jù)期望值理論，這張彩票根本不值2美元。分析到這里并沒有結(jié)束，因?yàn)椴势钡那闆r還會(huì)有所變化。當(dāng)累積獎(jiǎng)金為1億美元時(shí)，彩票的期望值較低。但是，只要累積獎(jiǎng)金不被人領(lǐng)走，就會(huì)有更多的錢進(jìn)入獎(jiǎng)池。累積獎(jiǎng)金越多，買彩票的人越多，就越有可能讓某個(gè)家伙中大獎(jiǎng)。2012年8月，密歇根鐵路工人唐納德·勞森中了3.37億美元的大獎(jiǎng)。

大獎(jiǎng)如此豐厚，彩票價(jià)值的期望值也會(huì)隨之增加。那么期望值達(dá)到多少，彩票價(jià)值的期望值才會(huì)超出2美元的成本價(jià)呢？我們把累積獎(jiǎng)金的值記作J，那么：

J/1.75億+100萬/500萬+1萬/65萬+100/19000+100/12000+7/700+7/360+4/110+4/55>2

要使期望值超過我們投入的2美元，我們需要使累積獎(jiǎng)金J的臨界值略大于2.85億美元。這個(gè)金額并不是多么難得一見，2012年的累積獎(jiǎng)金就有3次達(dá)到了這個(gè)規(guī)模。這樣看來買彩票似乎是不錯(cuò)的買賣，只要我們等到累積獎(jiǎng)金足夠高時(shí)再出手就可以了。

分析到這里仍然沒有結(jié)束。隨著累積獎(jiǎng)金越多，參與的人就越多；參與的人越多，中獎(jiǎng)的人就越多。在唐納德·勞森贏取3.37億美元的時(shí)候，他面對的競爭對手多達(dá)7.5億人。但是，大獎(jiǎng)只有一個(gè)。如果有兩個(gè)人同時(shí)中了大獎(jiǎng)號碼，他們就要平分這筆獎(jiǎng)金。那么，一個(gè)人獨(dú)得累積獎(jiǎng)金的可能性有多大呢？這個(gè)概率為1/175000000，而且要滿足兩個(gè)條件：第一，必須猜中全部6個(gè)號碼；第二，其他人都沒猜中。而單個(gè)玩家中不了累積獎(jiǎng)金的概率卻非常高，為174999999/17500000。但是，如果有數(shù)量龐大的人群，比如7.5億名玩家參與彩票游戲，其中每個(gè)人中大獎(jiǎng)的概率就會(huì)非常大。這個(gè)中獎(jiǎng)概率到底有多大呢？如果我們知道甲事件發(fā)生的概率和乙事件發(fā)生的概率，且兩件事各自獨(dú)立（一件事的發(fā)生不會(huì)對另一件事產(chǎn)生影響），那么它們同時(shí)發(fā)生的概率為各自發(fā)生概率的乘積。由此，我們可以知道，7.5億人中不了大獎(jiǎng)的概率為：

[（174 999 999175 000 000）750 000 000≈0.651]

也就是說，其他玩家中不了大獎(jiǎng)的概率約為65%，其中至少有一個(gè)人中獎(jiǎng)的概率為35%。如果真的有另外一個(gè)人也中獎(jiǎng)了，勞森的獎(jiǎng)金就會(huì)從3.37億美元減少到1.68億美元。此時(shí)累積獎(jiǎng)金的期望值將會(huì)降至：

65%×337000000美元+35%×168000000美元=278000000美元

這個(gè)期望值略低于保證累積獎(jiǎng)金物有所值的臨界值，即2.85億美元。而且，上述分析還沒有考慮有兩個(gè)以上的人中大獎(jiǎng)并均分累積獎(jiǎng)金的概率。即使累積獎(jiǎng)金超過3億美元，也可能因多人平分大獎(jiǎng)而使彩票價(jià)值的期望值低于我們的投入。此外，我們還沒有考慮中大獎(jiǎng)之后應(yīng)繳納的稅費(fèi)。

如果你希望在強(qiáng)力球上有所斬獲，下面是經(jīng)過數(shù)學(xué)驗(yàn)證的3個(gè)策略：

1.別玩強(qiáng)力球。

2.如果要玩，也要等累積獎(jiǎng)金非常高的時(shí)候再買。

3.如果累積獎(jiǎng)金非常高而且你準(zhǔn)備購買強(qiáng)力球，那么盡可能降低與其他人分享大獎(jiǎng)的概率——不要選擇你的生日數(shù)字；不要選擇以前中過獎(jiǎng)的號碼組合；不要選擇可以在彩票上構(gòu)成美麗圖案的那些號碼。

（貝 爾摘自中信出版集團(tuán)《魔鬼數(shù)學(xué)》一書，辛 剛圖）