楊志安，卞雅媛

（1.唐山學(xué)院 唐山市結(jié)構(gòu)與振動工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 唐山 063000；2.華北理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 唐山 063000）

有界窄帶激勵(lì)柴油機(jī)軸系扭振系統(tǒng)主參數(shù)共振

楊志安1，卞雅媛2

（1.唐山學(xué)院 唐山市結(jié)構(gòu)與振動工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 唐山 063000；2.華北理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 唐山 063000）

研究柴油機(jī)軸系扭振強(qiáng)非線性系統(tǒng)在有界窄帶激勵(lì)下的主參數(shù)共振響應(yīng)和穩(wěn)定性問題。應(yīng)用改進(jìn)多尺度法得到在有界窄帶隨機(jī)激勵(lì)下柴油機(jī)軸系扭振系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)方程，導(dǎo)出系統(tǒng)的Ito隨機(jī)微分方程。通過矩法得到系統(tǒng)隨機(jī)均方響應(yīng)的近似表達(dá)式，分析各個(gè)參數(shù)對柴油機(jī)軸系扭振系統(tǒng)主參數(shù)共振均方值的影響。結(jié)果表明，主參數(shù)共振穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)定的充分必要條件與系統(tǒng)二階矩穩(wěn)定的充分必要條件是一樣的；隨著阻尼值的增大，系統(tǒng)主參數(shù)共振振幅的均方值減?。浑S著曲軸扭轉(zhuǎn)剛度的減小，系統(tǒng)主參數(shù)共振的均方響應(yīng)曲線的斜率增大；隨著隨機(jī)擾動強(qiáng)度的增大，系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)曲線和相圖變化微小。

振動與波；柴油機(jī)軸系扭振系統(tǒng)；窄帶激勵(lì)；改進(jìn)多尺度法；主參數(shù)共振；均方響應(yīng)

船用柴油機(jī)軸系扭轉(zhuǎn)振動是影響船舶安全運(yùn)行和舒適運(yùn)行的重要因素。嚴(yán)重的扭轉(zhuǎn)振動會造成曲軸、中間軸、螺旋槳軸斷裂，齒輪磨損，噪聲過大等危害，這些危害將影響船舶的安全航行。隨著大功率船用柴油機(jī)在大型船舶的應(yīng)用，軸系扭振狀態(tài)也更加復(fù)雜，因此船用柴油機(jī)軸系扭振的研究變得更加重要[1]。

文獻(xiàn)[2]研究了柴油機(jī)扭振機(jī)理和傳動軸系扭振機(jī)理，并提出了針對船舶軸系的扭振測量方法。文獻(xiàn)[3]研究了柴油機(jī)軸系受氣體沖擊力與水沖擊動力作用的非線性扭轉(zhuǎn)振動問題，通過多尺度法得到了在飛輪勻速運(yùn)轉(zhuǎn)條件下柴油機(jī)軸系受水沖擊動力引起的主參數(shù)共振的幅頻響應(yīng)方程。文獻(xiàn)[4]應(yīng)用拉格朗日方程，得到柴油機(jī)軸系受膨脹氣體沖擊力作用的非線性扭轉(zhuǎn)振動微分方程。根據(jù)多尺度法，得到主參數(shù)共振的幅頻響應(yīng)曲線。文獻(xiàn)[5]研究了Duffing振子在窄帶隨機(jī)噪聲激勵(lì)下的主共振響應(yīng)和穩(wěn)定性問題。應(yīng)用多尺度法得出了系統(tǒng)的阻尼項(xiàng)、隨機(jī)項(xiàng)等對系統(tǒng)響應(yīng)的影響，文獻(xiàn)[6]研究環(huán)形極板機(jī)電耦合系統(tǒng)的強(qiáng)非線性問題，建立環(huán)形極板機(jī)電耦合系統(tǒng)的動力學(xué)方程，應(yīng)用改進(jìn)多尺度法求得系統(tǒng)的主共振的幅頻響應(yīng)曲線，分析了不同的系統(tǒng)參數(shù)對共振的影響。

在以上柴油機(jī)軸系扭振系統(tǒng)的研究中，對確定激勵(lì)下的弱非線性振動問題進(jìn)行了分析，但沒有考慮隨機(jī)激勵(lì)對柴油機(jī)軸系扭振強(qiáng)非線性系統(tǒng)的影響，而實(shí)際上外激勵(lì)存在相位、幅值的微小隨機(jī)變化。采用有界噪聲模型化窄帶隨機(jī)激勵(lì)特征，運(yùn)用改進(jìn)多尺度法分析窄帶隨機(jī)激勵(lì)作用下的主參數(shù)共振，得到系統(tǒng)隨機(jī)均方響應(yīng)的近似表達(dá)式，分析比較其中各元素對均方值與共振區(qū)間的影響，對柴油機(jī)軸系扭振系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與優(yōu)化具有一定的參考價(jià)值。

1 柴油機(jī)軸系扭振系統(tǒng)非線性動力學(xué)方程

柴油機(jī)軸系單自由度系統(tǒng)由飛輪、氣缸及曲軸三部分組成，如圖1所示。

圖1 柴油機(jī)軸系簡圖

其中A為飛輪；M表示往復(fù)部分總質(zhì)量，I為氣缸連桿旋轉(zhuǎn)部分總轉(zhuǎn)動慣量，ρ為阻尼，扭轉(zhuǎn)角為θ；飛輪轉(zhuǎn)動慣量為I1，曲柄半徑為R；氣缸直徑為D；飛輪的角速度為ω,角位移為θ1=ωt，曲軸角位移為θ=ωt+γ；曲軸扭轉(zhuǎn)剛度為μ；柴油機(jī)軸系扭振系統(tǒng)所受干擾力為膨脹氣體對活塞的沖擊力矩Ksin(nθ1+φ)，其中φ為沖擊力矩相位角[7]，K為簡諧力矩幅值，n為簡諧次數(shù)（即簡諧力矩在曲軸一轉(zhuǎn)時(shí)間里的變化周期數(shù)）；柴油機(jī)的轉(zhuǎn)速為N。

柴油機(jī)軸系模型如圖1所示，根據(jù)拉格朗日方程可以建立其非線性動力學(xué)方程[8-9]，但分析系統(tǒng)的主參數(shù)共振時(shí)，不考慮外激勵(lì)項(xiàng)影響，因此系統(tǒng)主參數(shù)共振的非線性動力學(xué)方程為[10]

2 主參數(shù)共振分析

應(yīng)用改進(jìn)的多尺度法研究V≥0且遠(yuǎn)小于1時(shí)的情形。多尺度法已廣泛應(yīng)用于確定激勵(lì)振動問題的研究中，近幾年在隨機(jī)振動問題中也有一定的應(yīng)用[11-13]。故式（1）變?yōu)?/p>

式中W(τ)為標(biāo)準(zhǔn)的Winner過程，V為隨機(jī)的擾動強(qiáng)度。

在式（2）中各參數(shù)激勵(lì)項(xiàng)和非線性項(xiàng)前引入非小量參數(shù)ε，方程變?yōu)?/p>

設(shè)Ω=2

令

引入?yún)?shù)變換

則有

把小參數(shù)α引入到多尺度方法中，設(shè)式（3）的一次近似解為

將式（6）、式（7）代入式（3）后，比較α同次冪系數(shù)，可得到消除永年項(xiàng)的條件，并根據(jù)歐拉公式分離實(shí)虛部可得

式（8）的精確解可以采用攝動法求得，但V很小，這里假設(shè)V=0，則式（8）變?yōu)?/p>

對于穩(wěn)態(tài)振動a=a0，φ=φ0，有D1a=D1φ=0?？傻孟到y(tǒng)表達(dá)式（9）的幅頻響應(yīng)方程

式中ω1為調(diào)諧值。

3 V≠0時(shí)穩(wěn)定性條件

當(dāng)V≠0時(shí)，由于V很小，可設(shè)方程式（8）的解為

把D1a=D1φ=0代入式（9）可得a0和φ0，其中a1和φ1是攝動項(xiàng)，把式（11）代入式（8）中，不計(jì)關(guān)于a1和φ1的高階項(xiàng)，便得方程式（8）在定常解（a0，φ0）的線性方程為

式中Δa為振幅擾動量；Δφ為相位擾動量；Wiener過程的導(dǎo)數(shù)W′是白噪聲的另一種表示方式，所以此方程組相當(dāng)于線性系統(tǒng)在白噪聲外激勵(lì)下的響應(yīng)問題。

依據(jù)Hurwitz定理可知[14]，該線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為

式（12）可寫成對應(yīng)的Ito微分方程

可用矩法求出式（14）的1階矩為

式（14）可寫成如下形式

式中

以下各式中M、N和Q同上。

由Ito微分法則可得

整理式（17）得

式（18）兩邊分別取期望，根據(jù)Ito微分法則可知

則式（18）可轉(zhuǎn)化為

根據(jù)式（20）可知其系數(shù)矩陣為

則

式（22）的特征方程為

由式（23）可知

式（24）即為2階矩存在的充分必要條件，并與前面確定性系統(tǒng)（13）周期解的穩(wěn)定性條件一致。a0的值與Ea2的值是相互對應(yīng)的。

由式（20）可一次求得Ea12、，Ea1φ1、Eφ12的值

結(jié)合式（11）、式（15）和式（25）可得

4 數(shù)值模擬

S195型柴油機(jī)數(shù)值模擬采用的參數(shù)取值如下：M=1.995 kg，I=0.088 kg·m2，D=95 mm，R=57.5 mm，得出系統(tǒng)的響應(yīng)。

圖2為V=0系統(tǒng)主參數(shù)共振的幅頻響應(yīng)曲線，由于式（2）中的項(xiàng)系數(shù)相同，屬于強(qiáng)非線性問題，該曲線有兩個(gè)分支解。

圖2 幅頻響應(yīng)解析解和數(shù)值解的對比

一般龍格庫塔只能求時(shí)域信息，通過捕捉不同頻率下時(shí)域信息穩(wěn)態(tài)解的振幅可以得到幅頻響應(yīng)解，數(shù)值解與解析解進(jìn)行對比，由圖2可得，數(shù)值解與解析解基本吻合。

圖3為柴油機(jī)軸系扭振系統(tǒng)主參數(shù)共振的均方響應(yīng)曲線。由圖3可知，窄帶隨機(jī)激勵(lì)下主參數(shù)共振系統(tǒng)均方響應(yīng)曲線與系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解時(shí)幅頻響應(yīng)曲線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相同，圖中粗實(shí)線部分為穩(wěn)定解，細(xì)實(shí)線部分為不穩(wěn)定解。

圖3 均方響應(yīng)曲線

圖4為柴油機(jī)軸系扭振系統(tǒng)主參數(shù)共振在不同ρ值時(shí)的均方響應(yīng)曲線。由圖4可知，隨著系統(tǒng)阻尼值的增大，系統(tǒng)主參數(shù)共振的均方值減小。

圖4 不同ρ值情況下均方響應(yīng)曲線

圖5為柴油機(jī)軸系扭振系統(tǒng)主參數(shù)共振在不同μ值時(shí)的均方響應(yīng)曲線。由圖5可知，隨著系統(tǒng)剛度值的減小，系統(tǒng)主參數(shù)共振的均方響應(yīng)曲線的斜率增大。

圖5 不同μ值情況下均方響應(yīng)曲線

5 主參數(shù)共振時(shí)間歷程分析

根據(jù)4階龍格-庫塔法用編寫程序得到系統(tǒng)表達(dá)式（3）的時(shí)間歷程曲線和相圖。

圖6為V=0時(shí)系統(tǒng)的時(shí)間歷程圖，由圖可知，隨著時(shí)間的增加，振動的最大位移逐漸趨于穩(wěn)定。圖7為V=0時(shí)系統(tǒng)的相圖。

圖6 V=0時(shí)的歷程

圖8和圖9為V=0.01、V=0.1時(shí)系統(tǒng)主參數(shù)共振的時(shí)間響應(yīng)曲線，對比圖8和圖9，可見得當(dāng)V增大時(shí)柴油機(jī)軸系扭振系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)曲線變化不大。

圖10和圖11為V=0.01、V=0.1時(shí)系統(tǒng)主參數(shù)共振的相圖。對比圖10和圖11可得當(dāng)V增大時(shí)柴油機(jī)軸系扭振系統(tǒng)的相圖極限環(huán)的厚度變化不大。

圖7 V=0時(shí)的相圖

圖8 V=0.01時(shí)的時(shí)間歷程

圖9 V=0.1時(shí)的時(shí)間歷程

圖10 V=0.01時(shí)的相圖

圖11 V=0.1時(shí)的相圖

6 結(jié)語

根據(jù)拉格朗日函數(shù)建立柴油機(jī)軸系扭振系統(tǒng)的動力學(xué)方程。應(yīng)用改進(jìn)多尺度法得到在有界窄帶隨機(jī)激勵(lì)下柴油機(jī)軸系扭振強(qiáng)非線性系統(tǒng)的響應(yīng)，得到主參數(shù)共振的幅頻響應(yīng)方程和系統(tǒng)均方響應(yīng)的近似表達(dá)式，考慮了隨機(jī)項(xiàng)對響應(yīng)的影響。理論分析與數(shù)值計(jì)算表明改變柴油機(jī)軸系扭振系統(tǒng)的參數(shù)，響應(yīng)的均方值也隨之改變。結(jié)果表明，隨著阻尼值的增大，系統(tǒng)主參數(shù)共振振幅的均方值減??；隨著曲軸扭轉(zhuǎn)剛度的減小，系統(tǒng)主參數(shù)共振的均方響應(yīng)曲線的斜率增大；隨著隨機(jī)擾動強(qiáng)度的增大，系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)曲線和相圖變化不大；主參數(shù)共振穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)定的充分必要條件與二階矩穩(wěn)定的充分必要條件是一樣的。

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Primary Parametric Resonance of Shafting Torsional Vibration System of the Diesel Engine Subjected to Narrow-band Random Excitation

YANG Zhi-an1,BIAN Ya-yuan2
(1.Key Laboratory of Structure and Vibration Engineering of Tangshan,Tangshan College, Tangshan 063000,Hebai China; 2.College of Mechanical Engineering,North China University of Technology, Tangshan 063000,Hebai China)

The primary parameters resonance and stability problems of strong nonlinear torsional vibration of the diesel engine shafting system under narrow-band excitation are investigated.The frequency response equation of the system is obtained based on the modified multi-scale method and the corresponding Ito stochastic differential equation is derived.By means of the moment method,the approximate expression of the mean-square response of the system is obtained and the influence of the system parameters on the mean square value of the primary parametric resonance is analyzed.The results show that the sufficient and necessary conditions for the stability of primary parametric resonance are the same as those of the second order moment stability.With the increase of the damping,the mean square value of the resonant amplitude of the primary parameters of the system decreases;With the decrease of the torsional stiffness of the crankshaft,the slope of the mean square response curve of the system increases;Along with the increase of the random disturbance intensity,the time response curve and the phase diagram of the system only have small changes.

vibration and wave;shaftin torsional vibration system of diesel engineg;narrow-band random excitation; modified multi-scale method;primary parametric resonance;mean square response

0324

：ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.06.015

1006-1355(2016)06-0077-05

2016-05-05

河北省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（A200900097）

楊志安（1963-），男，河北省秦皇島市人，博士，教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)闄C(jī)構(gòu)學(xué)與機(jī)械動力學(xué)。E-mail:yangzhi_an@163.com

卞雅媛（1989-），女，河北省廊坊市人，碩士研究生，研究方向?yàn)闄C(jī)構(gòu)學(xué)與機(jī)械動力學(xué)。E-mail:1198606508@qq.com