徐 輝，侯建明

(上海理工大學管理學院，上海 200093)

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需求不確定條件下的制造商訂單分配模型

徐 輝1，侯建明2

(上海理工大學管理學院，上海 200093)

制造商的訂單分配作為供應鏈模型微觀層面的重要組成部分，對提升整個供應鏈效率有很大影響，但需求層面的不確定因素加大了訂單分配的難度。以按比例分配為原則，討論在需求不確定條件下完全信息與不完全信息兩類多供應商-單制造商的訂單分配模型。重點研究完全信息條件下各方的分散決策和集中決策，由于后者能避免各參與方對其他決策方的邊際影響，所以能夠實現供應鏈總利潤的最大化；其次又將不完全信息引入模型，討論制造商如何通過折算因子結合已有信息對供應商的私人信息進行估計，進而做出決策。最后以需求服從正態(tài)分布為例對兩類模型進行驗證。

需求不確定；訂單分配；不完全信息；供應鏈模型

1 引言

在全球經濟一體化的今天，供應鏈管理作為一種高效的管理方法，在很多企業(yè)得到廣泛應用。隨著ERP系統在企業(yè)中的普及，準時制和均衡化生產越來越普遍地應用到實際生產中，從最初僅對庫存進行管理，發(fā)展到現在強調從計劃、采購、制造等各個環(huán)節(jié)都予以配合，大大降低了供應鏈管理中供給端的不確定性。與此同時，全球經濟聯系日趨緊密、政策變化周期越來越短、消費者需求轉變開始加速，受此影響，需求方面的不確定性在實際中變得愈發(fā)突出，因此近年來從需求不確定角度對供應鏈的研究逐漸增多[1-3]。此外，已有文獻對供應鏈模型的研究多集中在宏觀的供應鏈管理以及如何選擇最合適的供應商上，而微觀層面的訂單分配等問題還未得到足球重視。實際生產中，訂單分配的低效率一直制約著供應鏈利潤的提高。因此，對需求不確定條件下的訂單分配模型進行研究，對完善供應鏈模型理論有著非常重要的實際意義。

Clark,Kawtummacha,Sodenkamp等[4-6]將考察庫存分配、挑選供應商的層次分析等方法移植到訂單分配上，驗證了此類優(yōu)化組合的算法可以降低制造商的成本、提高供應商的準時交貨率[4-6]。Guo Zhaoxia等[7]學者在此基礎上對多目標的訂單分配問題進行了優(yōu)化。Amin等[8]引入了之前文獻中被忽視的一些定性因素，建立了同時兼顧定性和定量的模糊SWOT分析和模糊線性規(guī)劃。不過此類研究只考慮了單個制造商的最優(yōu)，未能結合整個供應鏈來考察，忽視了制造商的收益增加可能是建立在供應商收益減少的基礎之上。Lee等[9]最先注意到處于供應鏈下游的企業(yè)為了獲得更大利潤，通常會上報比實際需求更高的數量，這種不真實的需求信息會沿著供應鏈向上逐級放大，并最終導致供應和庫存的高風險，從而降低整個供應鏈的利潤。此外，在分配機制方面，張旭梅等[10]設計了一個以誘導供應商說實話為目的的激勵約束機制，根據歷史數據分析供應商上報訂單信息的真?zhèn)?，并對上報虛假訂單的供應商進行處罰。不過 Cachon等[11]在研究容量選擇和分配機制時發(fā)現，在價格固定的時候，一個允許下游企業(yè)夸大訂購量的機制優(yōu)于一個揭示下游企業(yè)私人信息的“實報”機制，即實報機制未必是一個好的目標。徐賢浩等[12]在研究短生命周期產品的時候也發(fā)現，通過對市場開發(fā)和提高促銷的努力水平，可以提高市場的最終需求，實際決策中設計一個合理的激勵機制而不是誘導供應商實報，對提高整個供應鏈的利潤更重要。

以上文獻主要討論的是確定性問題，其中徐賢浩等將不確定性引入實際問題，不過未進一步展開討論。Gurnani[13]通過研究半導體制造行業(yè)考察產出方面的不確定性。楊文勝等[14]建立了制造商、供應商分別以獎金激勵、交貨時間為決策變量的Stackelberg模型，并分析了供應商完成訂單的響應函數服從指數分布時制造商和供應商的決策。李果等[15]系統地分析了不確定交貨條件下的供應鏈模型，建立了一個考慮缺貨成本、庫存成本、殘值收益等的兩供應商-單制造商的協同供貨模型，并用算例說明了如何通過調節(jié)訂貨批量和單位處罰成本來達到供應鏈利潤的最大化。目前此類文章只引入了供給方面的不確定性，并且其模型僅考查了完全信息條件下博弈各方所做的決策，未對不完全信息進行分析。

鑒于需求方面的不確定性成為問題的主要方面，本文擬對制造商需求不確定條件下的訂單分配問題做一些探索。由于供應鏈存在私人信息時線性的按比例分配機制有很好效果[16]，因此本文選擇這種生產中也很常見的按比例分配規(guī)則，借鑒吳忠和等[17]對不確定問題的處理，建立基于完全信息和不完全信息兩種條件下的多供應商-單制造商的供應鏈模型。重點研究了完全信息條件下模型各方的分散決策和集中決策；其次又在不完全信息條件下做了一些探索：受文獻[11]啟發(fā)，模型假設制造商不設法去了解各供應商的私人信息，同時借用在刻畫熱傳導、金融風險等不確定情況時常用的折算因子法，分析制造商如何通過折算因子并結合已有信息對供應商的私人信息進行估計。最后通過一個算例來驗證模型，并得出結論。

2 模型建立

2.1 問題的描述

制造商的訂單分配一直是實際生產中的難題：訂單分配效率過低，一方面供應商的產能得不到有效利用，不利于制造商和供應商的合作；另一方面為滿足市場需求，制造商不得不開發(fā)更多供應商，從而造成不必要的浪費。實際生產中訂單分配的具體流程通常是：首先，制造商確定一種分配規(guī)則；其次，制造商和供應商根據自身實際情況結合分配規(guī)則做出決策；最后，制造商根據決策結果并按照分配規(guī)則對訂單進行分配。其中，制造商和供應商的決策是訂單分配的核心與難點。當制造商面臨的市場需求不確定時，訂單分配問題更加復雜。本文討論制造商和供應商在特定的分配規(guī)則下，應做出何種決策才能達到各自利潤或者供應鏈總利潤的最大化。

2.2 模型假設與變量說明

本文考察由n個供應商Si(i=1,2,…,n)和一個制造商M構成的供應鏈模型。首先制造商根據市場對產品的需求得出自身對部件的需求；其次制造商把對部件的需求按照一定的分配規(guī)則拆分成若干訂單，并分配給n個供應商；然后供應商根據被分配的訂單安排部件生產，并銷售給制造商；最后制造商組裝成產品銷售給市場。并對模型作如下假設：

(1)各參與者是理性的：以利潤最大化為目標。

(2)制造商M對部件的需求Q是隨機的：記Q的概率密度函數為f(q)，分布函數為F(q)。

(4)成本假設：供應商Si生產部件的可變成本為Ci，固定成本為FCi。對于供應商不能按時完成的部件，制造商可以從其他市場高價購買該部件，記此價格為調貨成本Ch。

本文涉及的符號標記見表1：

表1 符號標記

2.3 基本模型

2.3.1 供應商模型

根據2.2中各參數的定義，當市場需求Q=q時，供應商Si的利潤函數為：

(1)

2.3.2 制造商模型

同理：制造商的決策變量為單位處罰Cu，當市場需求Q=q時，制造商的利潤函數為：

(2)

其中，第一項為供應商按時交貨部分對應的制造商毛利潤，第二項為供應商未能按時交貨部分對應的制造商毛利潤，第三項為制造商固定支出。

最后，當制造商面臨的市場需求Q是隨機變量時，以上兩模型的決策目標應為最大化相應利潤函數的期望值。下文分完全信息和不完全信息兩種情況對模型進行具體討論。

3 完全信息條件下的模型分析

根據供應鏈管理理論，供應鏈各節(jié)點企業(yè)進行深度合作，建立戰(zhàn)略合作關系，可提高溝通效率，降低供應鏈總成本，最終增加整體收益。同時現代信息技術的快速發(fā)展，也為戰(zhàn)略合作企業(yè)進行信息共享創(chuàng)造了客觀條件。當影響決策的相關信息為所有企業(yè)掌握，此時認為企業(yè)占有完全信息。因此完全信息條件下的模型適用于進行戰(zhàn)略合作企業(yè)間的決策分析。

3.1 分散決策下的模型分析

3.1.1 供應商決策分析

市場需求Q的概率密度函數為f(q)，由(1)得到供應商Si的期望利潤函數：

(3)

(4)

(5)

3.1.2 制造商決策分析

所以，由(2)得到制造商的期望利潤函數，并化簡得：

(6)

對(6)式進行一階求導：

(7)

3.1.3 分散決策下的模型分析

上述兩種情況，都是由于孤立地進行自身決策，而忽略了對其他參與方的邊際影響，導致個體理性和集體理性間的沖突，即個體之間進行分散決策達不到供應鏈整體利潤的最大化。在下面的集中決策下，可以看到該問題得到了很好的解決。

3.2 集中決策下的模型分析

在完全信息條件下，作為模型主方的制造商擁有決策所需的所有信息，所以其可以進行集中決策以實現供應鏈的最大利潤，最后各方再進行供應鏈總利潤的分配。

首先考慮集中決策模型必須滿足的兩個前提條件，即參與約束IR和激勵相容約束IC。其中，參與約束IR：各供應商和制造商都可以選擇不加入供應鏈，即保留利潤為0。激勵相容約束IC：各供應商和制造商組成的供應鏈總利潤之和達到最大化，此時亦大于分散決策下供應鏈的總利潤。即：

(8)

其中：

因此，集中決策下的模型可以轉化為：

(9)

其中：βi=βi(β1,β2,…,βi-1,βi+1,…,βn,Cu),i=1,2,…,n

對(9)構造拉格朗日函數求得(β*,Cu*)是方程(9)的最優(yōu)解后，即實現了供應鏈利潤的最大化，博弈各方可以通過談判實現供應鏈內部利潤的轉移，這取決于各方談判力度的大小。

由完全信息條件下的模型分析可知，當各方都不存在私人信息時，作為模型主方的制造商不僅可以對最優(yōu)處罰進行決策以實現制造商的最優(yōu)期望利潤，還可以對處罰和訂單分配都進行決策，從而實現整個供應鏈的最大期望利潤。即進行深度戰(zhàn)略合作的企業(yè)之間，應該多進行集中決策，處于核心地位的企業(yè)應該站在整個供應鏈層面發(fā)揮更大的決策作用。

4 不完全信息條件下的模型分析

實際生產中，雖然組成供應鏈會讓制造商對供應商的情況有更多了解，但決策各方依然很難占有所需要的全部信息。這可能是由于信任機制不健全，相關方不愿意進行信息共享；或信息化建設不健全，信息獲取的成本過高；甚至是法律法規(guī)設置的壁壘等。當決策需要的信息不能為企業(yè)完全掌握時，即為不完全信息條件，此時模型分析適用于未能進行戰(zhàn)略合作企業(yè)間的決策。

此時制造商M依然為主方，在第一階段確定處罰Cu；供應商Si為從方，在第二階段選擇自己的最優(yōu)份額βi。由于制造商缺少各供應商具體的實際最高產量信息，因此不能再確定一個使供應鏈總利潤達到最大的最優(yōu)處罰Cu*。即在這種情況下，博弈各方只能進行分散決策。此時供應商的決策分析同3.1.1，但制造商的決策分析有了新的特點。

4.1 制造商決策分析

所以，制造商的決策是最大化如下期望利潤函數：

化簡得：

(10)

對(10)式進行一階求導：

(11)

因為(11)恒大于0，所以制造商的期望利潤函數沒有最大值，E[∏M(Cu)]隨著Cu的增加而增加，但制造商增加Cu的意愿受制于其在行業(yè)內的壟斷程度：其在行業(yè)中市場份額越大，增加Cu的意愿和能力越強。制造商確定處罰Cu之后，各供應商再上報自身的最優(yōu)份額。

由不完全信息下的模型分析可知，在僅進行一般合作的企業(yè)之間，處于供應鏈核心地位的企業(yè)會有更大動力增加處罰以提高其利潤。同時由于效率損失的存在，不完全信息下供應鏈總利潤低于完全信息下總利潤，因此核心企業(yè)利潤的增加以非核心企業(yè)利潤的減少為前提。因此，若非核心企業(yè)能加強與核心企業(yè)合作，進行更多的信息共享，可提高供應鏈效率，增加自身利潤。

現實生活中商品的需求大都服從正態(tài)分布，因此在如下算例中以正態(tài)分布為例對上述模型進行實證分析。

5 算例

因為制造商M對部件的需求Q服從正態(tài)分布，其中E(Q)=10000：

(1)在完全信息條件下

將算例中數據代入(9)，并將其對βi和Cu求導得到：

當制造商選擇的單位處罰為Cu=5，供應商S1和S2的最優(yōu)比例分別為：β1=0.6695，β2=0.3305，此時供應鏈的總利潤最大為118573。

圖1 完全信息下博弈各方利潤與總利潤

圖2 供應商S1在不同成本下的最優(yōu)比例

由圖1可以看出，在題設條件下，隨著處罰Cu從0開始增加時，最初整個供應鏈的利潤增加很快，這主要是由于增加處罰，修正了分配給供應商S1的過多訂單。由于S1的可變成本較小，所以去除可變成本之后的剩余利潤更大；當處罰很小進而S1面臨的缺貨成本很小時，S1會要求更多的訂單。從圖2的最上一條曲線可以看出，S1在處罰較小的情況下，獲得了遠超其實際最高產量份額的訂單，造成訂

表2 懲罰D=10時，各供應商最優(yōu)比例與實際分配比例情況(C1=2,C2=3)

單分配不合理：可能出現S2有閑置產能，同時S1未完成的訂單數量較大，從而制造商不得不從其他市場高價調貨，最終使整個供應鏈的利潤外流。

隨著處罰Cu從5繼續(xù)增加，供應鏈總利潤又開始下降，這主要是由于繼續(xù)增加處罰，供應商S1要求并分配到的訂單低于其最優(yōu)比例。因為處罰很大進而供應商面臨的缺貨成本很大時，供應商愿意分配到的比例趨于實際最高產量的比例，從而造成S1可變成本較低的優(yōu)勢并未體現。

其中供應商S1在整個供應鏈的利潤占比隨處罰Cu的增大逐漸下降，可以看出處罰對較低可變成本的供應商影響更大。供應商S1的可變成本較供應商S2低，可認為S1的生產效率更高，最終其最優(yōu)的分配比例高于其實際最高產量占總最高產量的比例，這一結論也和經驗相符。在圖2中，對兩供應商可能的不同成本做了分析，得出結論：較低可變成本的供應商，其最優(yōu)分配比例高于其最高產量占總最高產量的比例；反之反是。具體的差別和單位處罰Cu有關，單位處罰越高，最優(yōu)分配比例越接近其最高產量的占比。

(2)在不完全信息條件下

由(11)知，制造商的期望利潤E[∏M(Cu)]隨著Cu的增加而增加。考慮Cu在[0,Ch]內，各供應商不會中止合作的情況，此時制造商選擇Cu=Ch=10，各供應商的最優(yōu)選擇和實際分配情況見表2。

從表2可以看出：不完全信息條件下，各供應商的最優(yōu)比例均高于完全信息條件下集中決策的最優(yōu)比例，這表明在分散決策下，各供應商都有增加自身份額的動力；在實際分配中，由于各供應商都傾向于多報自身份額，最后虛報的份額有部分抵消，使實際分配的值趨于使整個供應鏈利潤最大的最優(yōu)比例，即最終雖然各供應商的利潤未能達到最大值，但實現的供應鏈總利潤大于按照各供應商期望分配比例時的總利潤。

折算因子δ取不同值時，制造商做決策時預期的利潤與實際利潤的比較如表3所示。

當δ=1時，制造商完全相信供應商上報的數據，可以看到此時預期利潤和實際利潤有較大誤差；當δ=0.9454時，此時δ為各供應商最優(yōu)比例和的倒數，但兩利潤之間仍有一些誤差；δ=0.9432時，此時的預期較準確。實際生產中，制造商可以根據預期利潤與實際利潤的差值來調整折算因子使預期利潤更接近實際值，從而達到理想的分配狀態(tài)。

表3 制造商的實際利潤以及折算因子δ取

6 結語

本文討論了制造商面臨的市場需求為不確定時，在按比例分配規(guī)則下供應鏈各方在完全信息和不完全信息兩種情況下如何進行決策并按照規(guī)則分配訂單，最終實現各自利潤或供應鏈總利潤的最大值。主要得出以下結論：(1)供應商的風險承受能力主要取決于各自的產能和可變成本，同時供應商要求訂單的意愿與自身的風險承受能力成正比，與制造商選擇的單位處罰成反比。(2)在一定范圍內，制造商有增加單位處罰的動力；但從整個供應鏈角度考察，單位處罰的增加可能會導致供應鏈總利潤的減少；在處罰一定的情況下，各供應商都有多報自身份額的傾向。(3)在完全信息條件下，分散決策由于未考慮自身決策對其他參與方的邊際影響而導致供應鏈有效率損失，此時集中決策可實現整個供應鏈總利潤的最大值。(4)在不完全信息條件下，由于決策方缺少進行最優(yōu)決策的完整信息，供應鏈總利潤達不到最大值；不過由于各供應商都有多報自身份額的傾向，導致最終按比例分配的供應鏈總利潤，雖然不如完全信息條件下，但優(yōu)于各供應商獨自決策的結果。

最后，本文模型的建立以供應商按照訂單進行均衡化生產為前提，未考慮供應商的實際最大產量可能存在一定彈性，后續(xù)討論可以放寬這一限制；其次，本文對不完全信息模型僅做了一些初步的探討，用供應商上報的總最大產量通過折算因子對其實際總最大產量進行估算，后續(xù)的分析可以從更多角度對此做更深入的研究。

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Manufacturer's Order Allocation Model under Demand Uncertainty

XU Hui1， HOU Jian-ming2

(School of Management, University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

As an important part of the supply chain model at the micro level, manufacturer’s order allocation has a great influence on improving the efficiency of the supply chain. In the meanwhile, demand uncertainty ,such as the policy cycle shortening and consumption patterns changing, increases the difficulty of the manufacturer’s order allocation. However, supply chain management disruption caused by demand uncertainty has not been generally studied in the current literature. In order to maximize their profits or total supply chain profits under certain allocation rule, how supply chain participants should make decisions, which is discussed especially in this paper. Some positive explorations are made in order allocation models, which demand uncertainty is considered and incomplete information is introduced into the supply chain participants. Two kinds of the multi-suppliers and one-manufacturer models are analyzed within the method of proportional distribution under demand uncertainty. A supply chain model is emphasized on the study of decentralized decision and centralized decision based on complete information, which concludes that the latter can maximize the interest of supply chain because of the avoidance of marginal effect caused by one participant to another when making decisions. And then, another model is established upon incomplete information, which pays emphasis on the decision-making mechanism of manufacture based on its estimate of suppliers’ private information with discounting factor and existing information. In addition, the risk tolerance of suppliers depends mainly on their production capacities and variable costs, and the intention of supplier getting order is proportional to the risk tolerance, inversely to the unit punishment. Finally, the aforementioned two models are validated by an example of demand obeying normal distribution, given that the demand of most goods is normal distribution in real life.

demand uncertainty; order allocation; incomplete information; supply chain model

1003-207(2016)03-0080-09

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.03.010

2014-01-09；

2015-01-26

簡介：徐輝(1986-)，男(漢族)，安徽阜陽人，上海理工大學管理學院碩士研究生，研究方向：博弈論、工業(yè)經濟、供應鏈管理,E-mail:xuhui050505@163.com.

F273.1

A