鄭金華
“走進(jìn)圖形世界”是同學(xué)們進(jìn)入初中后第一個(gè)接觸到的幾何章節(jié),從我們生活的現(xiàn)實(shí)世界出發(fā),認(rèn)識(shí)各種各樣基本的幾何圖形、幾何體,無論多么復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)世界其實(shí)都是由簡單的幾何圖形、幾何體組成的.在探索圖形世界時(shí),遇到難題,如果能夠正確把握數(shù)學(xué)中的思想方法,則能開闊思路,達(dá)到事半功倍的效果,接下來講一講幾種數(shù)學(xué)思想方法在解決本章重難點(diǎn)問題中的作用.
例1 如圖所示,大圓的半徑是2厘米,以大圓半徑為直徑在上下兩側(cè)畫了兩個(gè)半圓,求圖中陰影部分的面積.
【分析】將圖中右下方位置的半個(gè)小圓旋轉(zhuǎn)到左上方位置的半個(gè)小圓處,所以圖中陰影部分的面積等于大圓面積的一半,大圓的半徑是2厘米.
解:S陰影=[12]S半圓=[12]π×22=2π(平方厘米).
故答案為:2π(平方厘米).
【點(diǎn)評(píng)】此題陰影部分的面積是一個(gè)不規(guī)則圖形,仔細(xì)觀察兩個(gè)小半圓,它們的直徑相等,所以面積也相等,于是我們想到把右下方位置的半個(gè)小圓(陰影部分)繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180° 到左上方位置的半個(gè)小圓(空白部分)處,從而陰影部分就變成了半個(gè)大圓.在求解圖形面積時(shí),經(jīng)常會(huì)遇到此類不能直接求或圖形不規(guī)則的問題,我們需要換個(gè)角度去解決問題,通過分割(添輔助線)、變動(dòng)(平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等)其中某部分圖形的位置把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成幾個(gè)規(guī)則圖形面積和、差的形式來進(jìn)行計(jì)算.此題還利用了圖形三種運(yùn)動(dòng)變換:平移、旋轉(zhuǎn)、翻折,其基本性質(zhì):不改變運(yùn)動(dòng)前后圖形的大小和形狀.因此,圖形的運(yùn)動(dòng)變換不改變圖形面積的大小.
例2 探究學(xué)習(xí):正方體切一刀(用平面去截),剩下的部分有幾個(gè)面?幾條棱?幾個(gè)頂點(diǎn)?
【分析】截后剩余的幾何體形狀有多種情況,關(guān)鍵看這一刀是如何切的,切面可能是三角形、四邊形、五邊形或六邊形,在分類討論時(shí)要找準(zhǔn)這一分類依據(jù),再逐層探究,并力求最簡化.
① 7個(gè)面,15條棱,10個(gè)頂點(diǎn);
② 7個(gè)面,13條棱,8個(gè)頂點(diǎn);
③ 7個(gè)面,14條棱,9個(gè)頂點(diǎn);
④ 7個(gè)面,12條棱,7個(gè)頂點(diǎn);
⑤ 7個(gè)面,15條棱,10個(gè)頂點(diǎn);
⑥ 6個(gè)面,12條棱,8個(gè)頂點(diǎn);
⑦ 6個(gè)面,12條棱,8個(gè)頂點(diǎn);
⑧ 5個(gè)面,9條棱,6個(gè)頂點(diǎn);
⑨ 7個(gè)面,13條棱,8個(gè)頂點(diǎn);
⑩ 7個(gè)面,14條棱,9個(gè)頂點(diǎn);
11 6個(gè)面,12條棱,8個(gè)頂點(diǎn);
12 7個(gè)面,15條棱,10個(gè)頂點(diǎn);
13 4個(gè)面,6條棱,4個(gè)頂點(diǎn).
綜上所述:(1)當(dāng)有7個(gè)面時(shí),有12條棱,7個(gè)頂點(diǎn);或13條棱,8個(gè)頂點(diǎn);或14條棱,9個(gè)頂點(diǎn);或15條棱,10個(gè)頂點(diǎn).(2)當(dāng)有6個(gè)面時(shí),有12條棱,8個(gè)頂點(diǎn).(3)當(dāng)有5個(gè)面時(shí),有9條棱,6個(gè)頂點(diǎn).(4)當(dāng)有4個(gè)面時(shí),有6條棱,4個(gè)頂點(diǎn).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查用一個(gè)平面去截幾何體,需要同學(xué)們有很強(qiáng)的空間想象能力,很具有挑戰(zhàn)性,截面的形狀是分類討論的關(guān)鍵. 截面是三角形的有:①②③④13;截面是四邊形的有:⑤⑥⑦⑧⑨;截面是五邊形的有:⑩11;截面是六邊形的是:12.在以邊數(shù)不同的多邊形截面作為分類依據(jù)時(shí),還要結(jié)合截面頂點(diǎn)恰好是多少正方體頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)再分級(jí)深入進(jìn)行更細(xì)致的討論. 此題的歸納部分是解題的重中之重,雖然分類討論有很多種情況,但其中有一些是重復(fù)出現(xiàn)的,歸納時(shí)我們要科學(xué)羅列.
對(duì)于這類有較大難度的題型,大家在完成思考后最好再用蘿卜、橡皮泥之類的模擬正方體切一切,真實(shí)的操作不僅能讓你體會(huì)到切面必須是一個(gè)平面,還能讓你驗(yàn)證自己的猜想是否正確,分類討論是否全面.
例3 如圖,一只蜘蛛在油桶的點(diǎn)A處,點(diǎn)B處有一只蒼蠅,蜘蛛想要過去把蒼蠅吃掉,那么蜘蛛應(yīng)走怎樣的路線才能在最短時(shí)間捕獲蒼蠅呢?
【分析】首先將圓柱側(cè)面展開成矩形,再在矩形的長上找到點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′,也就是矩形長的中點(diǎn),最后連接AB′,線段AB′的長度即為所求最短距離.
解:
【點(diǎn)評(píng)】這個(gè)問題的本質(zhì)是在圓柱的側(cè)面上尋找路線,而圓柱的側(cè)面是一個(gè)曲面,在曲面上找到的路線就是曲線,大家目前所掌握的經(jīng)驗(yàn)不足以求解曲線的長度,那么怎樣才能把曲面、曲線的問題轉(zhuǎn)化成平面、線段的問題解決呢?大部分同學(xué)在學(xué)過簡單幾何體的展開與折疊內(nèi)容后自然會(huì)聯(lián)想到去展開圓柱的側(cè)面,這里尋找點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′是解決問題的重點(diǎn)也是難點(diǎn),很多人極易誤認(rèn)為B′是矩形的頂點(diǎn).突破這一難點(diǎn)的關(guān)鍵是,圓柱側(cè)面展開后,圓柱上、下兩底面的圓周長為矩形上、下的兩條長邊,而點(diǎn)B在展開后是在矩形長邊的中點(diǎn)位置.此外,本題得以解決還依賴于這樣一個(gè)基本事實(shí):兩點(diǎn)之間,線段最短.
例4 用7個(gè)小正方體堆在水平桌面上,堆出的幾何體主視圖和左視圖如下,則小正方體的堆放共有 種不同方式?
【分析】此題小正方體的個(gè)數(shù)是固定的,但只有兩個(gè)視圖不能確定小正方體堆放的位置,我們需要尋找堆放的規(guī)律.由于滿足條件的方式太多,沒辦法一一列舉,我們需要建構(gòu)解決這類問題的模型.
解:根據(jù)主視圖和左視圖,我們發(fā)現(xiàn)俯視圖是4×2(長×寬)的矩形,這里標(biāo)注3的位置,其垂直位置是必須要堆放3個(gè)小正方體的,剩下的我們用字母a,b,c,d,e,f,g來表示其垂直位置上小正方體的個(gè)數(shù).
然后我們要考慮余下來的4個(gè)小正方體如何擺放. 在(a,d)兩位置中必須擺放1個(gè),(b,e)兩位置中必須擺放1個(gè),(c,g)兩位置中必須擺放1個(gè),剩余的1個(gè)小正方體在底層留下來的四個(gè)空位中任選一個(gè),于是小正方體擺放的方式一共是2×2×2×4=32種.
【點(diǎn)評(píng)】此類三視圖問題蘊(yùn)含著構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、用字母代表數(shù)、排列與組合等復(fù)雜的數(shù)學(xué)活動(dòng),這是本章“走進(jìn)圖形世界”的難點(diǎn)內(nèi)容,學(xué)有余力的同學(xué),不妨嘗試用這樣的方法解決類似的題目,肯定能找到解決問題的訣竅,收獲成功的喜悅.
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(作者單位:江蘇省常州市新北區(qū)呂墅中學(xué))