岳峻

一、忽視基本不等式求最值成立條件“正”而致錯(cuò)

例1 已知y=a（a>0，a≠1）是增函數(shù)，且a+a≤6（a∈Z），求函數(shù)f（x）=x+的值域。

錯(cuò)解 易得a=2，f（x）=x+，

f（x）=x+≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=，即x=時(shí)等號(hào)成立。

所以函數(shù)f（x）=x+的值域是[2，+∞）。

剖析 上述解法忽視了自變量x的范圍，想當(dāng)然地認(rèn)為x∈（0，+∞），也忽視了應(yīng)用基本不等式求最值的前提條件。

實(shí)際上，當(dāng)x<0時(shí)，-x>0，此時(shí)（-x）+≥2，

所以f（x）=x+=-（-x）+≤-2，當(dāng)且僅當(dāng)-x=，即x=-時(shí)等號(hào)成立。

故正確答案為（-∞，-2]∪[2，+∞）。

變式1 實(shí)數(shù)a、b滿足ab=1，則a+b的取值范圍是 。

答案 （-∞，-2]∪[2，+∞）

二、忽視基本不等式求最值成立條件“定”而致錯(cuò)

例2 已知f（x）=x+（x>2），求f（x）的最小值。

錯(cuò)解 當(dāng)x>2時(shí)，>0，

則f（x）=x+≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=，即x=3時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)f（x）≥6。

所以f（x）的最小值是6。

剖析 應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)必須滿足“和為定值”或“積為定值”，上述解法中，f（x）=x+≥2的右邊不是定值，這樣由x=得到的x對(duì)應(yīng)的值一般不是最小值。

實(shí)際上，f（x）=x+=（x-2）++2≥2+2，

當(dāng)且僅當(dāng)x-2=，即x=2+時(shí)等號(hào)成立。

所以f（x）的最小值是2+2。

變式2 實(shí)數(shù)a<3，則代數(shù)式+a的最大值是 。

答案 -1

三、忽視基本不等式求最值成立條件“等”而致錯(cuò)

例3 求函數(shù)f（x）=（x≥0）的最小值。

錯(cuò)解 f（x）==+≥2，

當(dāng)且僅當(dāng)x=1-a時(shí)，等號(hào)成立。

所以f（x）的最小值是2。

剖析 應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，f（x）≥2的內(nèi)涵是f（x）>2或者f（x）=2，f（x）≥2是正確的，但是，2是不是最小值取決于f（x）=2是否成立，如果只有f（x）>2，那么2就不是最小值。

實(shí)際上，（1）當(dāng)a≤1時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，等號(hào)成立，所以f（x）=2。

（2）當(dāng)a>1時(shí)，令t=≥>1，則：

f（x）==+=t+在t∈[，+∞）單調(diào)遞增。

所以當(dāng)t=，即x=0時(shí)，f（x）取得最小值，f（x）=+=。

故函數(shù)f（x）=（x≥0）的最小值為f（x）=2？搖（a≤1），？搖（a>1）。

變式3 函數(shù)f（x）=（x≤0）的最小值是 。

答案

四、忽視基本不等式求最值成立條件“正”、“定”、“等”的順序而致錯(cuò)

例4 當(dāng)x>0時(shí)，求函數(shù)f（x）=x+的最小值。

錯(cuò)解 因?yàn)閤>0，x>0，>0，則

f（x）=x+≥2=4，

當(dāng)且僅當(dāng)x=，即x=2時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)f（x）≥8，

故函數(shù)f（x）=x+（x>0）的最小值為8。

剖析 應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，必須遵循“一正二定三相等”的順序解決問(wèn)題。此類問(wèn)題首先將“平均拆分”為+，“湊”出和或積的定值，然后再考查等號(hào)，而不是“正”、“等”、“定”。

實(shí)際上，當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=x+=x++≥3=6，

當(dāng)且僅當(dāng)x==，即x=時(shí)，等號(hào)成立，

故函數(shù)f（x）=x+（x>0）的最小值為6。

變式4 函數(shù)f（x）=4x+（x>0）的最小值為 。

答案 3

五、忽視基本不等式求最值成立條件“一致”而致錯(cuò)

例5 （2014年重慶卷）若log（3a+4b）=log，則a+b的最小值是（ ）。

A.6+2？搖 B.7+2 C.6+4？搖 D.7+4

錯(cuò)解 因?yàn)閘og（3a+4b）=log，則a>0，b>0，3a+4b=ab，

所以ab=3a+4b≥2，即≥4，

又a+b≥2，所以a+b≥2≥8，

因此a+b的最小值為8。

剖析 多次應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要注意等號(hào)是否同時(shí)成立，即等號(hào)成立的條件是否一致。本題中=4時(shí)3a=4b，而a+b=2須滿足a=b，顯然a=b=0與已知信息矛盾。

實(shí)際上，3a+4b=ab，即+=1，

所以a+b=（a+b）+=7++≥7+2=7+4，當(dāng)且僅當(dāng)=，即a=4+2，b=3+2時(shí)等號(hào)成立。

或a+b=（a+b）+=[（）+（）]+≥+=（+2）=7+4，

當(dāng)且僅當(dāng)=，即=，亦即a=4+2，b=3+2時(shí)等號(hào)成立。

故a+b的最小值為7+4。正確答案為D。

變式5 （2015年福建卷）若直線+=1（a>0，b>0）過(guò)點(diǎn)（1，2），則a+b的最小值等于 。

答案 3+2

六、忽視基本不等式求最值“放縮”而致錯(cuò)

例6 已知正數(shù)a、b滿足+=2，則+的最小值是 。

錯(cuò)解 因?yàn)閍、b是正數(shù)，所以2=+≥2=，

即≥，亦即ab≥2，所以≤

又+≥2=，所以+≥≥2，

當(dāng)且僅當(dāng)=，即a=1，b=2時(shí)等號(hào)成立。

故+的最小值為2。

剖析 本題中兩次應(yīng)用基本不等式，但+≥4×與≤不是同向不等式，不能傳 遞放縮，這是策略性錯(cuò)誤。

實(shí)際上，2=+≥，可得≤，所以-≥-2，當(dāng)且僅當(dāng)=，即a=1，b=2時(shí)等號(hào)成立。

因此+=+-=4-≥4-2=2，當(dāng)且僅當(dāng)a=1，b=2時(shí)等號(hào)成立。

故+的最小值為2。

變式6 已知正數(shù)a、b滿足a+9b=4，則a+3b的最大值是 。

答案 2

七、忽視基本不等式引申式的活用而致錯(cuò)

例7 已知正數(shù)a、b滿足a+b=1，則T=a++b+的最小值是 。

錯(cuò)解 因?yàn)閍+≥2，可得a+≥，同理b+≥，

所以T=a++b+≥+≥2=8。

故T的最小值是8。

剖析 基本不等式加以引申，可得到如下結(jié)論：

當(dāng)a≥b>0時(shí)，a≥≥≥≥≥b，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立。

該結(jié)論中從左至右依次稱為平方平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)，分別包含了兩個(gè)正數(shù)的平方之和a+b、兩者之和a+b，兩者之積ab、兩者的倒數(shù)之和+，只要已知這四個(gè)代數(shù)式之一為定值，總可以求解另外三式的最值。這一不等式的應(yīng)用十分廣泛，應(yīng)加以重視。

實(shí)際上，T=a++b+=（a+b）+++2+，

因?yàn)閍+b=1，所以≥=，即a+b≥，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立。

又因?yàn)?≥，可得+≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立。

且≥，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立。

所以≥≥2，即+≥8，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立。

故T的最小值是。

變式7 （1）設(shè)a、b>0，a+b=5，則+的最大值為 。

（2）函數(shù)f（x）=+的最大值是 。

答案 （1）3 （2）2？蕁