張 蕾，徐伯慶

(上海理工大學 光電信息與計算機工程學院，上海 200093)

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離散化代數(shù)重建的全變差算法改進

張 蕾，徐伯慶

(上海理工大學 光電信息與計算機工程學院，上海 200093)

文中提出一種離散化代數(shù)重建的全變差改進算法，主要針對離散化的代數(shù)重建算法易受到噪聲等因素的影響而使圖像邊緣較為模糊的問題，利用全變差最小化的約束條件，提出一種改進的DART重建算法。實驗表明，該算法與傳統(tǒng)ART算法相比，能較快重建出圖像，與DART算法相比，改善圖像邊緣模糊的情況，具有較好的抗噪性。

圖像重建；DART；TV

計算機斷層成像技術(CT)無論在醫(yī)學放射診斷還是在工業(yè)領域均有著廣泛應用[1]。根據(jù)Radon變換得到的投影數(shù)據(jù)來重建圖像的算法主要分為兩類：解析算法和迭代算法。解析算法中較有名的是濾波反投影(Filtered Back Projection, FBP)算法[2-3]，分辨率高，成像速度快，目前仍應用廣泛，但要求投影數(shù)據(jù)采集密集。迭代算法主要是代數(shù)重建(Algebraic Reconstruction Algorithm，ART)算法[3-4]，其結構簡單；缺點是計算量較大，重建速度慢，對計算機的內存和運算速度要求較高。

ART算法改進的關鍵是加快迭代收斂速度和減少迭代次數(shù)。影響ART算法的因素有以下幾點：投影系數(shù)的求取、投影次序的訪問順序、松弛因子以及先驗知識的影響等[5-6]。實際醫(yī)學CT中的圖像通常僅由兩種或幾種已知的灰度值組成，利用這些先驗知識便可降低重建條件，從更少的投影數(shù)據(jù),或相同投影數(shù)據(jù)下迭代次數(shù)少時，更精確地重建圖像。近年來，由K. J. Batenburg 等人[7-8]提出的離散迭代算法(Discrete Algebraic Reconstruction Technique, DART)就是利用該先驗知識，在加快了迭代收斂速度和減少迭代次數(shù)方面取得了顯著效果，但DART算法受到噪聲影響會使得圖像邊緣比較模糊，本文提出的DART改進算法就是基于有限灰度值的先驗知識快速重建圖像，并利用全變差(Total Variation，TV)最小化約束[9-10]進一步抑制噪聲，使得圖像邊緣更加清晰。

1 算法理論

1.1 ART算法原理

設f(x,y)為待重建圖像，將一個n×n的方形網(wǎng)格疊加到f(x,y)上，每個網(wǎng)格內的f值均為常量，如圖1所示。

圖1 重建圖像坐標示意圖

掃描射線可由式xcosθ+ysinθ=t表示，其中θ為射線與x軸所夾的角，t為原點到射線的距離。射線寬度為δ。投影值函數(shù)，即Radon變換可由式(1)表示

(1)

在ART重建過程中，設射線數(shù)目為M，所得到的投影數(shù)據(jù)p={p1,p2,…pM},pi為第i條射線的投影值。wij為第i條射線與第j個像素網(wǎng)格所交的面積，稱為投影系數(shù)

(2)

投影值向量和原圖像的關系可由式(3)的代數(shù)方程組表示

(3)

W(M×N)稱為投影系數(shù)矩陣。式(2)的矩陣形式如下

W·F=P

(4)

ART迭代算法最初于1937年由Kaczmarz[11]提出。其基本思想是松弛法，首先設定一列初值F(0)，然后代入式(5)進行迭代

(5)

其中，i=0,1,2,…,M,k為當前迭代次數(shù)，j∈(1,N)，λ為松弛因子。經(jīng)過反復迭代式(5)，不斷修正重建值來獲取較精確的重建圖像。

1.2 DART算法原理

由于實際醫(yī)學重建或工業(yè)無損檢測中，被測圖像通常僅由一個或有限個灰度值組成，因此圖像重建問題可簡化為離散斷層成像(Discrete Tomography，DT)。近年來，由K. J. Batenburg 等人[7-8]研究的基于ART迭代的DART重建算法有顯著的效果。

設原圖像的灰度值取值范圍為V={v1,v2,…v1},定義臨界值υ={υ1,υ2,…υ1}，其中

(6)

通過上述定義設函數(shù)T對圖像像素值進行離散化

(7)

以二值圖像為例，DART算法的具體步驟如下：

(1)首先對待測圖像進行ART迭代獲得初始迭代值F(0)；

(2)通過式(7)對F(0)進行離散化，得到離散像素值S(0)=TF(0)；

(3)根據(jù)8連通域方法將圖像分割為邊緣像素點集合B和平滑區(qū)域集合I(若像素點與其8鄰域中至少有一個像素點的像素值不同，則稱其為邊緣像素點，否則為平滑區(qū)域)；對F(0)做如下處理

(8)

(4)以處理后的F(0)作為初始值重新利用式(5)進行ART迭代得到F(1)，更新F(1)，保持平滑區(qū)域I值不變，即

(9)

(5)重復步驟(2)到步驟(4)。

1.3 全變差(TV)原理

實際圖像重建過程中，會不可避免地受到噪聲影響，因此去噪問題非常重要。由Rudin等人提出的全變差(TV)圖像去噪模型[12-13]已在圖像復原領域得到廣泛的應用和研究。目前，有諸多方法可用來最小化全變差圖像去噪模型的能量函數(shù)[14-15]。

去噪模型可表示為

min‖F(xiàn)‖TV,s.t.W·F=P

(10)

式(10)與式(4)是對應的。由式(10)可知，求解min‖F(xiàn)‖TV是關鍵。而實際min‖F(xiàn)‖TV不能直接計算得到，一般均是通過用范數(shù)L1來求解

‖F(xiàn)‖TV=‖F(xiàn)‖l=∑xy|Fx,y|

(11)

(12)

L1范數(shù)是圖像所有像素點的像素值之和，可通過梯度下降法獲取，過程如下

(13)

其中，ε=10-8。通過上式可求得min‖F(xiàn)‖TV。

2 算法改進

本文在上述算法的基礎上提出DART +TV算法，在DART算法迭代過程中加入TV約束，抑制噪聲，使得圖像邊緣更加清晰。

在DART+TV算法的實現(xiàn)過程中：首先利用DART對圖像像素迭代值進行離散化，并通過比較八鄰域像素值區(qū)分邊緣區(qū)域B和平滑區(qū)域I,若像素點屬于平滑區(qū)域I，則其像素值賦值為離散化后的值，否則其像素值保持迭代值不變，將處理后的整幅圖像像素值重新進行ART迭代，只更新邊緣區(qū)域B的值保持平滑區(qū)域I內的值不變，然后用全變差(TV)最小化約束條件對圖像像素值進行處理，然后對此圖像進行下一步DART迭代處理，直至像素值滿足約束條件則循環(huán)結束。算法步驟如下：

圖2 本文算法流程圖

算法流程圖如圖2所示。(1)首先對待測圖像進行ART迭代獲得初始迭代值F(0)；(2)通過式(7)對F(0)進行離散化，得到離散像素值S(0)=TF(0)；(3)根據(jù)8連通域方法將圖像分割為邊緣像素點集合B和平滑區(qū)域集合I(若像素點與其8鄰域中至少有一個像素點的像素值不同，則稱其為邊緣像素點，否則為平滑區(qū)域)；對F(0)做如下處理;(4)以處理后的F(0)作為初始值重新利用公式進行ART迭代得到F(1)，更新F(1))，保持平滑區(qū)域I值不變；(5)利用式(12)對F(1)通過梯度下降法求導，進行最小化約束；；(6)重復步驟(2)～步驟(5)。

3 實驗結果

接下來給出3組實驗，用于對傳統(tǒng)ART算法和DART算法和利用全變差(TV)約束處理的DART改進算法進行比較，以說明改進后的算法的優(yōu)勢，在每組實驗中，投影角度均每隔 取值。

(1) 第1組實驗。在這組實驗中，使用的原圖像是分辨率為 的正方形二值模型，如圖3(a)所示。圖3中分別列出了傳統(tǒng)ART算法與DART算法和DART改進算法迭代后的結果。

圖3 實驗結果圖

如圖3 (a)是原始圖像，圖3(b)是直接進行ART迭代的實驗結果，圖3(c)是進行DART迭代的實驗結果，圖3(d)圖是進行DART改進算法迭代的實驗結果。

實驗中，本文用峰值信噪比(PSNR)值來定量評價重建圖像與原始圖像的誤差，客觀評價出重建圖像的質量。表1顯示了3種算法的實驗參數(shù)指標對比，參數(shù)PSNR值越大說明圖像噪聲越小，圖像質量越好，k為迭代次數(shù)。

表1 參數(shù)指標對比圖

從表1的實驗結果可看出，本文算法和傳統(tǒng)ART算法和DART算法相比均有所改進。

(2) 第2組實驗。在這組實驗中，使用的原圖像是分辨率為 的正方形四灰度值模型。I=zeros (100,100);I(10:30,10:30)=1;I(10:30,60:80)=2;I(60:80,10:30)=3;I(60:80,60:80)=1。

圖4分別列出了傳統(tǒng)ART算法、DART算法和DART改進算法迭代后的結果。

圖4 實驗結果圖

圖5 PSNR曲線對比

圖5中畫出了3種算法的PSNR值隨迭代次數(shù)的變化曲線圖。

(3) 第3組實驗。在這組實驗中，使用的原圖像是分辨率為 的Shepp-Logan模型，如圖6(a)所示。

圖 6 中分別列出了傳統(tǒng)ART算法與DART算法和DART改進算法迭代后的結果。

圖6 實驗結果圖

圖7 PSNR曲線對比

圖7為3種算法的PSNR值隨迭代次數(shù)的變化曲線圖。

(4) 實驗分析。在以上3組實驗中，第1、2組采用的是灰度級較少的兩幅圖像，而第3組采用的是較為復雜的圖像。從這3組實驗的PSNR值變化曲線可看出，使用改進的DART算法能比傳統(tǒng)的ART算法和DART算法較快地達到較好的質量，改進后的算法在前幾次迭代時重建質量提高得比較快，一般迭代5、6次后PSNR值趨于平穩(wěn)。

尤其從1、2組的比較中可明顯看出，當原圖像的灰度值較少時，使用DART改進后的算法在重建效果方面有大幅提高。

4 結束語

圖像重建領域追求的是重建質量和重建速度這兩個指標。本文利用一般待重建圖像灰度級較少的先驗條件，對迭代初值進行離散化分割，將重建問題簡單化，并利用全變差約束條件，改善邊緣模糊的情況，且在仿真實驗中證實了其相對于傳統(tǒng)ART算法和DART算法的優(yōu)勢，即重建質量提高了、更少的迭代次數(shù)就能達到較好的質量，這正契合了改進的目標。

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An Improved Reconstruction Algorithm for Discrete Tomography

ZHANG Lei，XU Boqing

(School of Optical-Electrical and Computer Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China)

This paper presents an improved discretization Algebraic Reconstruction algorithm which bases on Total Variation, mainly for discretization Algebraic Reconstruction (DART) algorithm is easily affected by factors such as noise and make the problem of image edge blurred, using Total Variation (TV) to minimize the constraints, an improved DART Reconstruction algorithm. Experiments show that the algorithm is compared with the traditional ART algorithm, can quickly reconstruct image, compared with the DART algorithm, improved the condition of image edge blur and has good noise resistance.

image reconstruction; DART; TV

10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2016.12.034

2016- 02- 01

張蕾(1991-)，女，碩士研究生。研究方向：信號與信息處理。徐伯慶(1958-)，男，博士，副教授。研究方向：通信及圖像處理。

TP391.41

A

1007-7820(2016)12-121-05