李冰娜，惠曉峰，李連江

1 東北大學秦皇島分校 經(jīng)濟學院，河北 秦皇島 066004 2 哈爾濱工業(yè)大學 管理學院，哈爾濱 150001 3 東北大學秦皇島分校 控制工程學院，河北 秦皇島 066004

基于蒙特卡洛RMT去噪法小股票組合風險優(yōu)化研究

李冰娜1，惠曉峰2，李連江3

1 東北大學秦皇島分校 經(jīng)濟學院，河北 秦皇島 066004 2 哈爾濱工業(yè)大學 管理學院，哈爾濱 150001 3 東北大學秦皇島分校 控制工程學院，河北 秦皇島 066004

在Markowitz證券投資組合理論的框架下，證券收益協(xié)方差矩陣往往受到“維數(shù)災禍”的影響而充斥噪聲，這給Markowitz證券投資組合的構(gòu)建及其風險的優(yōu)化帶來了嚴重的困擾。在對證券收益協(xié)方差矩陣去噪進而實現(xiàn)證券投資組合風險優(yōu)化方面，基于隨機矩陣理論(RMT)的去噪方法是一種非常具有優(yōu)勢的有效方法。

從說明Markowitz股票投資組合風險的含義入手，以投資組合風險預測的準確率衡量投資組合風險的優(yōu)劣，繼而對用于股票收益協(xié)方差矩陣的原有RMT去噪法的原理進行闡釋。在此基礎(chǔ)上分析認為小股票組合條件下原有RMT去噪法因噪聲特征值邊界界定誤差而會產(chǎn)生組合風險優(yōu)化作用下降的問題，為解決該問題，采用蒙特卡洛模擬法確定收益協(xié)方差矩陣的最大噪聲特征值，從而建立蒙特卡洛RMT去噪法。對LCPB去噪法、PG+去噪法和KR去噪法等原有RMT去噪法和蒙特卡洛RMT去噪法的組合風險優(yōu)化作用開展實證研究。

研究結(jié)果表明，各種RMT方法對相等加權(quán)協(xié)方差矩陣去噪前后的組合風險結(jié)果與指數(shù)加權(quán)協(xié)方差矩陣的組合風險結(jié)果非常類似；收益協(xié)方差矩陣未去噪時，隨著股票數(shù)量減小，組合風險的優(yōu)化水平越來越高，這主要是因為收益協(xié)方差矩陣噪聲不斷減小；當對收益協(xié)方差矩陣去噪時，隨著股票數(shù)量的減小，原有RMT去噪法比蒙特卡洛RMT去噪法具有的去噪優(yōu)勢因原有方法對噪聲特征值邊界界定誤差的增大而呈減小趨勢，因此，組合中股票降至較低數(shù)量時，原有RMT去噪法的組合風險優(yōu)化作用開始變得低于蒙特卡洛RMT去噪法，這說明蒙特卡洛RMT去噪法是一種解決小股票組合風險優(yōu)化條件下原有RMT去噪法效力下降問題的有效方法。

新的蒙特卡洛RMT去噪法提供了證券投資組合權(quán)重分配的具體方法，提高了組合風險預測的準確率，對設(shè)計合理的證券投資策略和優(yōu)化證券投資風險具有參考意義。

Markowitz投資組合；組合風險優(yōu)化；小組合；RMT去噪法；蒙特卡洛模擬

1 引言

Markowitz投資組合理論表明對證券投資組合進行決策往往需要利用證券收益多元波動率(協(xié)方差矩陣)[1]。該矩陣一般只能由證券收益率的市場觀測值來估計，但是實際觀測值序列長度的有限(即所謂的“維數(shù)災禍”)會使估計出的矩陣存在噪聲，尤其是當證券數(shù)量較大時，估計噪聲甚至會起主導作用[2]。不難想象，在此基礎(chǔ)上測算的證券投資組合難免會對人們的投資決策造成誤導，并且導致組合未來風險的預測也是不準確的。因此，對證券收益協(xié)方差矩陣(下文簡寫為協(xié)方差矩陣)去噪是實現(xiàn)證券投資組合風險優(yōu)化的前提[3]。

近年來，源自于經(jīng)濟物理學的隨機矩陣理論(random matrix theory, RMT)[4]的去噪法憑借其獨特的優(yōu)勢在證券協(xié)方差矩陣去噪，進而實現(xiàn)證券投資組合風險優(yōu)化方面發(fā)揮了巨大的作用[5]。然而，相對于幾百只乃至上千只證券的組合而言，RMT去噪法對較小數(shù)量證券的組合，特別是百只以下證券組合的協(xié)方差矩陣去噪的作用很小，因此，對這些規(guī)模較小的組合風險優(yōu)化效果很差。如何改進RMT去噪法對小股票組合協(xié)方差矩陣的去噪效力，以促進小股票組合風險的優(yōu)化是值得密切關(guān)注的問題。在美國，大多數(shù)基金的投資組合囊括了超過100種證券，但個人投資者的投資組合規(guī)模一般都不大。與美國相比，中國證券投資組合的規(guī)模更小，主要原因是中國資本市場以中小投資者為主，機構(gòu)投資者所占比例較低，且投資規(guī)模較小[6]?？梢?，現(xiàn)實經(jīng)濟生活中小規(guī)模投資組合的使用是非常多的。因此，研究解決小組合條件下RMT去噪法的誤差問題，以期實現(xiàn)小股票組合風險的優(yōu)化，對指導證券市場投資風險管理和滿足日益增長的投資理財需求有重要的現(xiàn)實意義。

2 相關(guān)研究評述

學者們基于RMT對金融收益多元波動率[7]的噪聲進行了大量研究，發(fā)現(xiàn)金融協(xié)方差矩陣的絕大部分特征值處于RMT預測的噪聲帶內(nèi)，它們代表協(xié)方差矩陣中的噪聲，而僅有個別特征值大于最大隨機特征值，它們包含資產(chǎn)間相關(guān)的信息[8-9]。針對金融收益多元波動率中的噪聲，LCPB去噪法、PG+去噪法和KR去噪法等傳統(tǒng)RMT去噪法被相繼提出，并在證券投資組合風險優(yōu)化方面進行了大量的應用。也有個別學者對這幾種方法進行了適當?shù)淖儞Q，不過這方面的探索較少。

最先產(chǎn)生的RMT去噪法是LCPB去噪法，它是由LALOUX et al.[10]建立的，對該方法的實證結(jié)果表明去噪使組合風險預測誤差大大降低；LEE[11]利用隨機相關(guān)矩陣譜的中心極限定理識別出S&P 500的233只代表性股票在1997年1月2日至2001年5月11日的日收益相關(guān)矩陣的噪聲帶后，用LCPB去噪法對該矩陣進行了去噪。RMT去噪法在證券組合選擇方面的作用明顯優(yōu)于其他方法。PAFKA et al.[12]使用模擬方法對比了樣本相關(guān)矩陣、基于單一指數(shù)法的相關(guān)矩陣和基于RMT的相關(guān)矩陣用于證券組合選擇的表現(xiàn)，結(jié)果顯示，在減弱噪聲影響方面，RMT去噪法的確是一種十分有效的降維方法；TOLA et al.[13]將聚類算法和RMT去噪法用于證券組合優(yōu)化，并從可靠性、風險和有效資產(chǎn)數(shù)量3個方面對二者的效果進行比較，他們的結(jié)論是在理想化的條件下，即對未來收益和波動率有完全的預測能力和允許賣空時，聚類法的可靠性優(yōu)于RMT方法，單一連接聚類法的風險水平高于平均連接聚類法和RMT去噪法，而它的有效資產(chǎn)數(shù)量明顯低于后兩種方法。

除LCPB去噪法外，PLEROU et al.[14]也提出了一種基于RMT的去噪法，即PG+去噪法。PG+法與LCPB法的原理非常相似，它們都對噪聲特征值的替代進行簡單、粗糙的處理。為實現(xiàn)RMT去噪法算法的改進，SHARIFI et al.[15]提出了基于RMT和協(xié)方差矩陣特征向量Krzanowski穩(wěn)定性的KR去噪法。雖然KR去噪法具有非常明顯的理論優(yōu)勢，但它在實際應用中的組合風險優(yōu)化效果尚需進一步驗證。對此，DALY et al.[16]使用LCPB去噪法、PG+去噪法和KR去噪法對資產(chǎn)數(shù)量為100、250和432的組合協(xié)方差進行去噪，發(fā)現(xiàn)KR法能最大程度地降低平均已實現(xiàn)風險。通過觀測已實現(xiàn)風險評價組合風險優(yōu)化效果的研究還有很多，如KAROUI[17]應用RMT方法研究Markowitz組合的已實現(xiàn)風險；RUBIO et al.[18]基于RMT研究高維樣本下最小方差組合的已實現(xiàn)方差；WAKAI et al.[19]分析隨機矩陣方法構(gòu)建的均值-方差模型的最優(yōu)組合的典型特點。除美國等發(fā)達國家證券市場外，一些學者基于RMT開展了發(fā)展中經(jīng)濟體證券市場特征譜的類似研究。TANG et al.[20]發(fā)現(xiàn)上海證券市場523只A股股票和深圳證券市場445只A股股票的收益相關(guān)矩陣存在大量噪聲，基于RMT對它們?nèi)ピ?，結(jié)果表明去噪后構(gòu)建的投資組合優(yōu)于原始樣本相關(guān)矩陣和Kendallτ相關(guān)矩陣建立的投資組合；OH et al.[21]基于RMT研究韓國證券市場上證券相關(guān)矩陣的統(tǒng)計特性及其對Markowitz組合權(quán)重的影響，發(fā)現(xiàn)由去噪前后相關(guān)矩陣計算得到的組合風險的熵函數(shù)是一個冪函數(shù)；韓華等[22]以上海證券市場數(shù)據(jù)為樣本，基于RMT探討金融相關(guān)矩陣特征值的統(tǒng)計特性，并對金融相關(guān)矩陣進行去噪，以使其更適合于構(gòu)建金融網(wǎng)絡(luò)。隨著RMT在金融領(lǐng)域應用的不斷深入，一些研究并非僅單獨利用RMT方法，而是注重RMT方法與其他理論和方法的有機整合。ARAI et al.[23]將主成分分析與RMT結(jié)合起來，以東京股票交易所日收益數(shù)據(jù)為樣本，運用所建立的復雜PCA方法分析股票收益相關(guān)矩陣，結(jié)果表明收益相關(guān)矩陣最大特征值表示一種對所有股票價格都會產(chǎn)生影響的市場力量，可以根據(jù)其他較大特征值對應的特征向量對股票進行分類；YANG et al.[24]應用RMT去噪法濾除證券相關(guān)矩陣中的噪聲和共變趨勢，繼而用加權(quán)多目標遺傳算法對證券進行分群；WANG et al.[25]基于RMT研究發(fā)現(xiàn)全球證券指數(shù)間相關(guān)可以由一個全球因素模型作出解釋，他們進一步說明了該模型在降低全球范圍內(nèi)投資組合風險方面的價值；WANG et al.[26]使用皮爾森相關(guān)系數(shù)法和去趨勢相關(guān)系數(shù)法構(gòu)建S&P 500指數(shù)的462只成分股票間的相關(guān)矩陣，并采用RMT法分析它們的統(tǒng)計特性，結(jié)果表明去趨勢相關(guān)矩陣的一些特點對最佳組合選擇和風險管理很有幫助。

除將RMT用于資產(chǎn)數(shù)量較大的組合外，也有學者將其用于小證券組合的研究。CONLON et al.[27]采用LCPB去噪法對49個對沖基金105個月的月收益協(xié)方差矩陣進行去噪，并將去噪后的協(xié)方差矩陣用于構(gòu)建組合基金，結(jié)果表明RMT去噪法對組合基金風險的改進作用較?。籏UMAR et al.[28]利用RMT方法研究20個金融指數(shù)的相關(guān)和網(wǎng)絡(luò)特性，發(fā)現(xiàn)第二大特征值對應特征向量的成分能夠?qū)⒏髦笖?shù)在正負方向上分為兩類，這兩類指數(shù)的成分值在金融危機期間會向相反方向轉(zhuǎn)換。這些研究表明RMT去噪法用于小證券組合風險優(yōu)化的效果非常不顯著。事實上，也有一些研究認為，當將RMT去噪法應用于小證券組合時，甚至無法產(chǎn)生任何風險優(yōu)化的作用。PAFKA et al.[29]采用RMT方法對指數(shù)加權(quán)協(xié)方差矩陣去噪，結(jié)果表明當組合中資產(chǎn)數(shù)量較小時，樣本協(xié)方差矩陣的組合風險稍低于采用RMT法去噪的協(xié)方差矩陣；DALY et al.[30]還將LCPB法、PG+法和KR法用于39種外匯資產(chǎn)協(xié)方差矩陣的去噪，結(jié)果表明去噪效果隨資產(chǎn)數(shù)量減少而下降；SANDOVAL et al.[31]發(fā)現(xiàn)用RMT方法去噪并不能產(chǎn)生更好的組合風險預測結(jié)果，而將RMT去噪法與消除市場效應的回歸模型法結(jié)合起來卻在62.5%的情況下能帶來更好的風險預測結(jié)果。

與國外研究相比，中國學者基于RMT探討金融市場中投資組合優(yōu)化和風險管理問題的研究很少。羅英等[32]應用隨機矩陣理論及方法解析中國股票組合協(xié)方差矩陣的信息結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)它存在受市場因素和行業(yè)因素主導的信息結(jié)構(gòu)。韓華等[22]、唐曉清等[33]和惠曉峰等[34]在討論股票協(xié)方差矩陣相關(guān)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，進一步開展協(xié)方差矩陣去噪和投資組合構(gòu)建的研究工作。韓華等[22]基于RMT對金融相關(guān)系數(shù)矩陣去噪，并構(gòu)建了金融網(wǎng)絡(luò)模型；唐曉清等[33]基于RMT改進了Markowitz組合投資模型, 結(jié)果表明RMT可以偵測到“異?！?數(shù)據(jù), 從而改進對模型參數(shù)的估計；惠曉峰等[34]在Markowitz投資組合理論框架下研究RMT去噪法用于多元GARCH模型的有效性，結(jié)果表明RMT能夠為多元GARCH的降維提供有效的依據(jù)，并且較準確地確定多元GARCH模型的最佳維度。

從上述研究看，原有RMT去噪法主要包括LCPB法、PG+法和KR法。從這些方法應用的對象看，它們不僅用于對上百只甚至幾百只資產(chǎn)的大組合進行去噪，也用于百只以下資產(chǎn)的小組合；但與大組合的去噪效果相比，它們對小組合的去噪作用并不明顯，有時甚至帶來負的組合風險優(yōu)化效果。已有研究基于小組合情形下協(xié)方差矩陣噪聲較低的規(guī)律，將RMT去噪法對小組合作用的不明顯化或“失靈”視為一種十分正常的現(xiàn)象，即這種現(xiàn)象的發(fā)生并不是由RMT去噪法自身的原因?qū)е碌?。然而，對RMT去噪法的原理進行細致的分析發(fā)現(xiàn)，在小組合條件下原有RMT去噪法的算法都有比較嚴重的缺陷，即最大噪聲特征值的解析解存在較大的計算誤差，這難免會對組合風險優(yōu)化帶來負面影響。目前，從RMT去噪法自身存在問題的視角探討它們對小證券組合風險優(yōu)化作用降低的相關(guān)研究還比較少見。本研究正是從該角度展開研究，闡明Markowitz投資組合風險及其優(yōu)化的有關(guān)基本概念，指出小組合風險優(yōu)化時原有RMT去噪法的缺陷，即最大噪聲特征值準確性下降的問題，并分析該問題產(chǎn)生的原因，提出蒙特卡洛RMT去噪法，最后進行以驗證蒙特卡洛RMT去噪法效力為目的的實證研究工作。

3 Markowitz投資組合風險及其優(yōu)化

Markowitz均值-方差模型的主要目的是通過對未來期的期望收益率和協(xié)方差矩陣的預測來對未來期的有效投資組合進行預測。在實際應用中，人們通常利用樣本協(xié)方差矩陣對未來期的真實協(xié)方差矩陣進行預測。在此基礎(chǔ)上根據(jù)Markowitz均值-方差模型構(gòu)建的投資組合在本研究中稱為Markowitz投資組合。為了表述方便，本研究將用于預測的歷史數(shù)據(jù)所在的時期稱為預測期，將發(fā)生投資的未來期稱為投資期，Markowitz投資組合在投資期實現(xiàn)的風險稱為Markowitz投資組合風險。

對Markowitz投資組合風險預測的準確性越高，則基于該預測做出的投資決策就越正確，投資組合給決策者帶來的利益也就越大。因此，本研究用Markowitz投資組合風險預測的準確率表示Markowitz投資組合風險的優(yōu)化水平。當對Markowitz投資組合風險的預測準確率提高時，則意味著Markowitz投資組合風險實現(xiàn)了優(yōu)化。

4 小組合條件下原有RMT去噪法的缺陷

4.1 原有RMT去噪法的原理

到目前為止，還沒有專門針對小組合而設(shè)計的RMT去噪法。與大組合相同，能夠用于小組合協(xié)方差的RMT去噪法主要有LCPB法、PG+法和KR法3種，這3種方法對金融協(xié)方差矩陣的去噪原理類似，都是依據(jù)矩陣的特征分解去噪。

股票樣本協(xié)方差矩陣的計算方法主要包括相等加權(quán)法和指數(shù)加權(quán)法。假定N個時間序列長度為T、樣本方差為σ2的股票收益序列r1,t，r2,t，…，rN,t的相等加權(quán)樣本協(xié)方差矩陣為Seq，指數(shù)加權(quán)樣本協(xié)方差矩陣為Sex。以Seq和Sex的特征值作為主對角線元素的對角矩陣分別記為Deq和Dex，以各特征值對應的特征向量作為相應的列形成的矩陣分別為Eeq和Eex，則

(1)

(2)

Seq和Sex的噪聲能夠在它們的特征值中反映出來。Seq和Sex的一部分特征值能夠反映真實的相關(guān)信息，但由于用于計算它們的時間序列長度往往是有限(非無窮)的，因此，Seq和Sex會受到隨機因素的干擾而產(chǎn)生一些無法反映真實相關(guān)信息的噪聲特征值。由于它們的噪聲特征值具有隨機性特征，因此，可以依據(jù)相應隨機矩陣的特征值分布來確定這些噪聲特征值的范圍。

首先說明Seq的噪聲特征值的識別。Seq對應的隨機協(xié)方差矩陣為R，即

(3)

其中，A為一個N·T矩陣，其中元素是均值為0、方差為σ2的獨立、相同分布的隨機變量。由于用于計算R的隨機序列的個數(shù)、長度和方差與用于計算Seq的時間序列相同，因此，可以依據(jù)R的特征值分布區(qū)間確定Seq的噪聲特征值的范圍。

(4)

其中，γ為衰減因子，k為其指數(shù)，xi,k、xj,k為均值為0、方差為σ2的正態(tài)分布的隨機變量，i=1,2,…,N，j=1,2,…,N，k=0,1,…,∞。用于計算M的隨機序列的個數(shù)和方差與計算Sex的股票收益序列的個數(shù)和方差對應相等，因此，可以依據(jù)M的特征值分布區(qū)間確定Sex的噪聲特征值的范圍。

接下來，用[λ-，λ+]表示R和M的特征值區(qū)間，則Seq和Sex的特征值中屬于[λ-，λ+]的部分應被識別為噪聲特征值。然而，由于小于λ-的特征值對應的特征向量并不穩(wěn)定，因此，在應用RMT去噪法時，通常將不大于λ+的特征值都當做噪聲特征值而對其進行替換。在替換噪聲特征值時，LCPB法、PG+法和KR法的做法各不相同。由于λ+界定了噪聲特征值的上限，因此，這里將λ+稱為最大噪聲特征值。由于大于λ+的特征值并不是由噪聲產(chǎn)生的，因此讓它們保持不變。設(shè)對Deq和Dex中的元素進行部分保持和部分替換后形成的矩陣分別為Deq-filtered和Dex-filtered，則對Seq和Sex去噪后的結(jié)果分別為

(5)

(6)

4.2 最大噪聲特征值的計算誤差

(7)

其中，Q為股票時間序列長度與股票數(shù)量之比。

(8)

(9)

其中，v為函數(shù)F(v)取值為0時的解。

(10)

(11)

根據(jù)λ+的上述計算方法，原有RMT去噪法并沒有真正計算λ+，而是用隨機協(xié)方差矩陣在極限條件下的最大特征值近似地表示λ+。由于實際應用中N都是有限的，因此，原有RMT去噪法在N→∞時計算的λ+必然會偏離于真正的λ+。不難想象，兩者的偏差會隨N的減小而增大。當N較小時，對λ+的計算準確性也會因此降至較低水平。這種在小組合條件下對λ+的較大計算誤差會造成噪聲特征值的錯誤識別，并進一步對噪聲特征值的替換造成不利的影響，導致發(fā)生替換過度或替換不足。無論是替換過度還是替換不足，都會令Deq-filtered和Dex-filtered無法被正確地確定，從而造成RMT方法去噪效力的下降，并進一步地對股票投資組合風險的優(yōu)化帶來不利的影響。盡管過去多年中RMT去噪法的應用較多，不過它們的上述誤差問題卻一直沒有引起學者們的關(guān)注。

5 蒙特卡洛RMT去噪法的設(shè)計和實現(xiàn)

5.1 設(shè)計思想

為了消除小組合條件下RMT去噪法中λ+準確性下降的問題對投資組合風險優(yōu)化的不利影響，本研究用蒙特卡洛模擬法確定λ+，從而設(shè)計了蒙特卡洛RMT去噪法，簡稱為MKR去噪法。除了λ+的確定方法外，蒙特卡洛RMT去噪法與原有RMT去噪法的原理相同。蒙特卡洛模擬方法的原理是：根據(jù)隨機過程，用計算機模擬的方法生成時間序列，并將其作為抽樣結(jié)果，以此計算參數(shù)估計值。蒙特卡洛模擬方法對參數(shù)的估計精度隨模擬次數(shù)增多而逐漸提高，這保證了蒙特卡洛模擬法一般都能取得較高的估計精度。由λ+的原始計算模型可知，λ+的計算問題具有明顯的概率特征，因此，蒙特卡洛模擬法非常適合于計算λ+。蒙特卡洛模擬法對相等加權(quán)協(xié)方差矩陣和指數(shù)加權(quán)協(xié)方差矩陣λ+的計算方法相同，因此，本研究以相等加權(quán)協(xié)方差矩陣為例介紹用蒙特卡洛模擬法確定λ+的原理。

5.2 蒙特卡洛模型構(gòu)建

(12)

其中，

(13)

(14)

第1步 根據(jù)矩陣A概率模型中各行隨機變量的分布，在計算機上產(chǎn)生隨機數(shù)。每行產(chǎn)生符合概率模型的T個隨機數(shù)，共產(chǎn)生N行，構(gòu)成矩陣A的一次樣本抽樣。

第2步 應用A的一次樣本抽樣計算出矩陣R和它的全部特征值。設(shè)E為單位矩陣，那么|mE-R|=0中m的全部根就是R的全部特征值。設(shè)R的全部特征值為Rλ，Rλ={λ1,λ2,…,λN}，遍歷所有特征值找到最大值λmax1。

第4步λmax的誤差的計算公式為

ε=λασ

(15)

第5步 取得λ+的最終估計值。如果ε≤ε0，則第3步得到的λmax就是對λ+的最終估計值。否則，進行第101模擬，并計算λmax和其誤差ε。若ε仍大于ε0，則繼續(xù)進行第102次模擬。直至獲得ε≤ε0時的λmax，該λmax就是對λ+的最終估計值。

從上面計算過程能夠看出，蒙特卡洛RMT去噪法是用隨機模擬法近似計算λ+的。由于它是在股票數(shù)量N取實際值的條件下計算λ+，因此能夠有效解決對小組合去噪時原有RMT去噪法因限定N→∞的條件而引起對λ+計算準確性較低的問題，從而在組合資產(chǎn)數(shù)量較少時取得比原有RMT去噪法更好的去噪和組合風險優(yōu)化效果。

6 基于蒙特卡洛RMT去噪法的小組合風險優(yōu)化實證研究

6.1 研究方案設(shè)計

為驗證蒙特卡洛RMT去噪法對原有RMT去噪法的改進作用僅適用于小組合的特點，本實證分析考察大小組合在內(nèi)的不同股票數(shù)量下對組合風險預測的準確率。這樣，當股票數(shù)量不斷減小時，就可以對原有RMT去噪法和蒙特卡洛RMT去噪法的組合風險優(yōu)化表現(xiàn)進行對比分析和趨勢分析。具體地，組合內(nèi)的股票數(shù)量N在[5,400]變化。協(xié)方差矩陣的計算采用日收益數(shù)據(jù)，所利用的原始股價數(shù)據(jù)來自wind數(shù)據(jù)庫。將股價轉(zhuǎn)換為收益率的方法為ri,t=lnpi,t-lnpi,t-1，pi,t為第i只股票在第t天的收盤價，ri,t為第i只股票在第t天的收益率，i=1, 2, …,N，t=1, 2, …,T。

圖1 蒙特卡洛模擬流程Figure 1 Monte Carlo Simulation Process

圖2 正態(tài)分布的累積分布函數(shù)Figure 2 Cumulative Distribution Function of Normal Distribution

步驟1 從2011年1月4日至2014年12月31日的所有日期中隨機選擇1個測試期。測試期后的1天為投資期，測試期前(包括測試期)的700天為預測期。

步驟2 從備選股票中隨機選擇N只股票。備選股票是在上海證券交易所上市交易且在該預測期和投資期內(nèi)存在交易數(shù)據(jù)的全部股票。

步驟3 用預測期股票協(xié)方差矩陣對投資期協(xié)方差矩陣進行預測。當采用相等加權(quán)法時，預測期中第i只股票與第j只股票收益率的協(xié)方差為

(16)

其中，ri,t和rj,t分別為第i只股票和第j只股票第t天的收益率，t=1, 2, …, 700；〈·〉為700天的均值。當采用指數(shù)加權(quán)法時，預測期中第i只股票與第j只股票收益率的協(xié)方差為

(17)

步驟4 對于S的不同取值，計算對最小方差組合風險的預測準確率。根據(jù)S計算的最小方差組合中第i只股票的投資權(quán)重wi為[35]

(18)

(19)

(20)

(21)

容易看出PR的值越接近于1，表示最小方差組合風險優(yōu)化水平越高。

步驟5 在N不變的條件下重復20次步驟1～步驟4，然后分別計算10種協(xié)方差矩陣預測方法在20次試驗中的平均PR。

步驟6 重復步驟1～步驟5，考察N不同時10種協(xié)方差矩陣預測方法的平均PR。

通過上述bootstrap方法，在T和γ不變的情況下得到相等加權(quán)協(xié)方差矩陣和指數(shù)加權(quán)協(xié)方差矩陣去噪前后的組合風險預測準確率隨N的變化曲線，見圖3和圖4。

另外，為了給組合風險預測準確率分析提供更多論據(jù)支持，繪制N的不同取值下MKR去噪法基于蒙特卡洛模擬技術(shù)計算的λ+的模擬解和原有RMT去噪法計算的λ+的解析解的圖形，見圖5和圖6。

6.2 實證結(jié)果和分析

圖3 相等加權(quán)協(xié)方差矩陣去噪前后的PRFigure 3 PR Pre- and Post- Filtering Equally Weighted Covariance Matrices

圖4 指數(shù)加權(quán)協(xié)方差矩陣去噪前后的PRFigure 4 PR Pre- and Post- Filtering Exponentially Weighted Covariance Matrices

圖5 相等加權(quán)協(xié)方差矩陣的最大噪聲特征值Figure 5 The Maximum Noisy Eigenvalues of Equally Weighted Covariance Matrices

圖6 指數(shù)加權(quán)協(xié)方差矩陣的最大噪聲特征值Figure 6 The Maximum Noisy Eigenvalues of Exponentially Weighted Covariance Matrices

對各種去噪法的組合風險優(yōu)化表現(xiàn)進行分析。如前所述，隨著股票數(shù)量的減小，相等加權(quán)和指數(shù)加權(quán)協(xié)方差矩陣的噪聲都越來越小，這必然導致PR受到的噪聲影響越來越小，于是各種去噪法引起的PR的增加都呈現(xiàn)減小的趨勢。由圖3和圖4可知，各種去噪法都能通過去噪而提高組合風險預測準確率，但它們對其改進的程度并不相同。

由于MKR去噪法是基于模擬技術(shù)計算λ+的，無法實現(xiàn)100%的精確度，所以MKR去噪法計算的λ+并非一種精確無誤的解，且λ+的具體計算誤差并不因N的改變而變化。根據(jù)4.2節(jié)的分析，LCPB法、PG+法和KR法等原有RMT去噪法對λ+的計算誤差卻隨N的增大而減小。這導致當N足夠大時，原有RMT去噪法對λ+計算的精確度高于MKR去噪法，且兩者的差距呈現(xiàn)隨N增大而擴大的趨勢。如圖5和圖6所示，當N取最大值400時，原有RMT去噪法和MKR去噪法對λ+計算結(jié)果之差達到最大。在N逐漸減小的過程中，原有RMT去噪法和MKR去噪法對λ+計算差距出現(xiàn)減小的趨勢，說明隨著股票數(shù)量的減少，原有RMT去噪法對λ+計算的精確度不斷下降，使原有RMT去噪法和MKR去噪法的去噪表現(xiàn)越來越接近。直至當股票數(shù)量減小到一定水平時，它們的去噪表現(xiàn)變得相同。對于相等加權(quán)協(xié)方差矩陣和指數(shù)加權(quán)協(xié)方差矩陣而言，原有RMT去噪法和MKR去噪法的去噪表現(xiàn)達到一致時的股票數(shù)量分別處于160～200和140～160的區(qū)間內(nèi)。這與圖5和圖6的觀察結(jié)果一致，由圖5和圖6可知，在相等加權(quán)法和指數(shù)加權(quán)法下，當N分別近似等于170和140時，原有RMT去噪法和MKR去噪法對λ+計算結(jié)果大致相等。在原有RMT去噪法和MKR去噪法的組合風險優(yōu)化作用表現(xiàn)一致以后，當股票數(shù)量進一步減小，原有RMT去噪法引起的PR的增加開始變得低于MKR去噪法。此時原有RMT去噪法對噪聲特征值的計算精度開始小于MKR去噪法，并且這種精度上的差距是隨股票數(shù)量減小而不斷增大的。λ+計算精度的上述變化特點可以由圖5和圖6直觀地反映出來，由圖5和圖6可知，在原有RMT去噪法和MKR去噪法計算的λ+達到相同水平后，二者間出現(xiàn)了新的差距，即MKR去噪法計算的λ+的模擬解開始變得大于原有RMT去噪法計算的解析解，并且兩者之差隨N的減小而增大。這樣，在各種去噪法引起的PR的增加都在隨N不斷減小而降低的過程中，由于原有RMT去噪法對λ+計算精度越來越小于MKR法，所以它們引起的PR的增加比MKR法先降到0，即不再具有去噪作用。由圖3和圖4可知，當采用相等加權(quán)法計算協(xié)方差矩陣時，PG+法、LCPB法和KR法的去噪能力降到0時的股票數(shù)量分別是91、98和110。對于指數(shù)加權(quán)協(xié)方差矩陣而言，PG+法、LCPB法和KR法的去噪效果達到0時的股票數(shù)量分別為93、107和100。之后，當股票數(shù)量進一步減小時，原有RMT去噪法無法起到去噪作用，反而造成PR的下降。而此時MKR法的去噪作用仍然存在。不過，類似于原有RMT去噪法，當股票數(shù)量減小至某一更低水平時，MKR法也會由于無法滿足低噪聲時的高精度要求而失去去噪能力。在相等加權(quán)法和指數(shù)加權(quán)法條件下，MKR法的去噪能力達到0時的股票數(shù)量分別為10和16。根據(jù)上面的分析，由于MKR法和原有RMT去噪法的差異主要體現(xiàn)在λ+的計算上，因此，股票數(shù)量較小時MKR法更好的去噪表現(xiàn)主要是由于λ+更高的計算精確度。

對相等加權(quán)協(xié)方差矩陣和指數(shù)加權(quán)協(xié)方差矩陣的PR進行比較分析。由圖3和圖4可知，在不同股票數(shù)量下，相等加權(quán)協(xié)方差矩陣去噪前的組合風險預測準確率都高于指數(shù)加權(quán)協(xié)方差矩陣去噪前的組合風險預測準確率。然而，相等加權(quán)協(xié)方差矩陣和指數(shù)加權(quán)協(xié)方差矩陣去噪后的結(jié)果卻和去噪前的結(jié)果不同。當股票數(shù)量較大時，每一種去噪法對指數(shù)加權(quán)協(xié)方差矩陣去噪后的PR都高于對相等加權(quán)協(xié)方差矩陣去噪后的PR，而當股票數(shù)量降至接近100時，前者開始變得低于后者。如果將所有股票數(shù)量綜合起來考慮，每一種去噪法對指數(shù)加權(quán)協(xié)方差矩陣去噪后的PR都大于對相等加權(quán)協(xié)方差矩陣去噪后的PR。根本來講，這是因為每種去噪法引起的指數(shù)加權(quán)協(xié)方差矩陣的PR的增加都更大的緣故。

以上面分析為基礎(chǔ)，對相等加權(quán)法和指數(shù)加權(quán)法下PR的最佳結(jié)果進行分析。由圖3和圖4可知，如果將兩種協(xié)方差矩陣綜合起來考慮，會發(fā)現(xiàn)PR的最高值因股票數(shù)量不同而變化。當股票數(shù)量較大時，LCPB去噪法對指數(shù)加權(quán)協(xié)方差矩陣去噪后的PR最高。當股票數(shù)量較小時，MKR去噪法對相等加權(quán)協(xié)方差矩陣去噪后的PR最高。而當MKR去噪法對相等加權(quán)協(xié)方差矩陣沒有去噪能力時，相等加權(quán)協(xié)方差矩陣未去噪時的PR結(jié)果是最好的。

7 結(jié)論

本研究指出了小組合風險優(yōu)化條件下對協(xié)方差矩陣去噪的原有RMT方法因噪聲特征值邊界界定誤差而產(chǎn)生的去噪效力下降的問題，并為解決該問題，采用蒙特卡洛模擬法確定樣本協(xié)方差矩陣的最大噪聲特征值，從而建立了蒙特卡洛RMT去噪法。通過實證分析，在股票收益序列長度和衰減因子不變時，在不同股票數(shù)量下對LCPB法、PG+法和KR法等原有RMT方法和蒙特卡洛RMT法的組合風險優(yōu)化效果進行對比研究，研究結(jié)果如下。

(1)實際應用中股票數(shù)量N是有限的，因此，原有RMT去噪法在N→∞時計算的λ+會偏離于真正的λ+。由于該誤差隨N的減小而增大，所以當對小組合去噪時，對λ+的計算誤差會上升至較高水平，這必然造成小組合條件下原有RMT方法去噪效力的下降，并進一步對股票投資組合風險的優(yōu)化帶來不利的影響。

(2)各種RMT方法對相等加權(quán)協(xié)方差矩陣去噪前后的組合風險結(jié)果與指數(shù)加權(quán)協(xié)方差矩陣的組合風險結(jié)果非常類似。協(xié)方差矩陣未去噪時，隨股票數(shù)量減小，組合風險預測的準確率越來越高，主要是因為股票數(shù)量的減小弱化了“維數(shù)災禍”的作用，從而使協(xié)方差矩陣噪聲減小。

(3)當股票數(shù)量足夠大時，由于原有RMT去噪法對噪聲特征值邊界界定的精確度高于蒙特卡洛RMT去噪法，因此，原有RMT去噪法引起的組合風險優(yōu)化水平的增加更大。隨著股票數(shù)量的減小，相對于蒙特卡洛RMT去噪法，原有RMT去噪法的去噪優(yōu)勢因?qū)υ肼曁卣髦颠吔缃缍ㄕ`差的增大而呈減小趨勢。直至當原有RMT去噪法的誤差開始超過蒙特卡洛RMT去噪法的誤差時，原有RMT去噪法的組合風險優(yōu)化作用也開始變得低于蒙特卡洛RMT法。這說明蒙特卡洛RMT去噪法是一種解決小股票組合條件下原有RMT方法去噪效力下降的有效方法。

股票收益樣本協(xié)方差矩陣含有的噪聲會造成Markowitz股票投資組合風險優(yōu)化水平的下降，而原有RMT去噪法在小組合條件下的效力卻很小，甚至為0或負值。針對原有RMT去噪法的上述缺陷，本研究設(shè)計了蒙特卡洛RMT去噪法。本研究能夠為證券市場投資中股票投資組合的權(quán)重分配提供具體的方法，對證券投資決策及有關(guān)政策制定均有一定的借鑒意義。由于本研究的實證研究僅以中國股票數(shù)據(jù)為樣本，沒有考慮其他國家，如一些發(fā)達經(jīng)濟體的證券市場情況，所以可能會影響實證結(jié)果的普適性，這是后續(xù)研究中需要進一步解決的問題。

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ResearchonRiskOptimizationofSmallStockPortfolioBasedontheFilteringMethodofRMTUsingMonteCarloSimulation

LI Bingna1，HUI Xiaofeng2，LI Lianjiang3

1 School of Economics, Northeastern University at Qinhuangdao, Qinhuangdao 066004, China2 School of Management, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China3 School of Control Engineering, Northeastern University at Qinhuangdao, Qinhuangdao 066004, China

In the framework of classical Markowitz portfolio optimization problem, covariance matrices of stock returns obtained from historical data contain a high amount of noise, caused “curse of dimensions”, which will forbid the perfect construction of Markowitz portfolio and the optimization of its risk seriously. According to numerous studies, the filtering approaches based on random matrix theory are effective in reducing the estimation noise of financial covariance matrices and then achieving portfolio risk optimization.

Starting from the meaning of Markowitz stock portfolio risk, this work focuses on the accuracy of portfolio risk prediction as the measure for assessing optimal performance of portfolio risk and interprets the principle of the existing RMT-based filtering methods for stock return covariances. On this basis, we point out the calculation error of the maximum noisy eigenvalue in the existing RMT methods, which will turn out to reduce the ectiveness of these methods in the context of risk optimization of small portfolios. For any practical use of Markowitz portfolio theory, it would therefore be necessary to reduce this calculation error of the existing methods of RMT in the case of a small number of stocks. We introduce a new filtering method based on random matrix theory, which determines the theoretical edge of the random part of the eigenvalue distribution by a Monte Carlo simulation. Finally, we illustrate, on empirical data, the effect of the newly introduced method and the existing random-matrix-theory-based methods including LCPB, PG+ and KR on portfolio risk optimization.

Our empirical research has returned the following results. Firstly, whether covariance matrices of stock returns are filtered or unfiltered, it can be seen that, in general, the experimental results for equally weighted covariance matrices are very similar to those for exponentially weighted covariance matrices. Secondly, for unfiltered forecasts, the performance of portfolio risk is better when a smaller number of stocks is used for the estimation. The reason for this could be that the fewer stocks are used, the smaller amount of estimation noise can be in return covariance matrices. Thirdly, if enough stocks are taken into account, the existing RMT-based filters are superior to the newly proposed filter in terms of the risk optimization performance. However, the fewer the stocks are, the more inaccurately the maximum noisy eigenvalue in the existing filtering methods is calculated. As a consequence, the ectiveness of the existing filtering methods in the optimization of portfolio risk deteriorates as the portfolio size decreases. When the portfolio size is reduced to less than 200 stocks, the newly proposed filter begins to outperform the existing RMT filters. The results show that our novel filter is of great help in improving the ectiveness of the existing RMT-based filters in the context of risk optimization of small portfolios.

Combining the filtering procedure based on random matrix theory with the Monte Carlo simulation technique, the newly introduced filtering method can be very powerful in constructing portfolios with better weights allocation and improving the accuracy of portfolio risk prediction. In addition, our method also helps substantially in reasonable design of stock investment strategies and the optimization of stock investment risk.

Markowitz investment portfolio；portfolio risk optimization；small portfolio；RMT based filtering method；Monte Carlo simulation

Date:June 24th, 2015

DateMarch 4th, 2016

FundedProject:Supported by the National Natural Science Foundation of China(71401028), the Fundamental Research Funds for the Central Universities(N130323008) and the Funded by Northeastern University at Qinhuangdao(XNB201418)

Biography:LI Bingna, doctor in management, is a lecturer in the School of Economics at Northeastern University at Qinhuangdao. Her research interests include financial investment portfolio and risk management. Her representative paper titled “Optimization of stock portfolio risks based on correlation filtering using minimum perturbations of eigenvectors” was published inTheJournalofSystemsEngineering-theory&Practice(Issue 10, 2013). E-mail：libingna519@163.com

HUI Xiaofeng, doctor in management, is a professor in the School of Management at Harbin Institute of Technology. His research interests include exchange rate forecast, financial security and financial market efficiency. He is the principal researcher for the project titled “Disclosure of listed firms and capital costs” supported by the National Natural Science Foundation of China(70573030). E-mail：xfhui@hit.edu.cn

LI Lianjiang, doctor in engineering, is a lecturer in the School of Control Engineering at Northeastern University at Qinhuangdao. His research interests include multidisciplinary combined simulation. His representative paper titled “Research on improvement of ladar imaging quality based on fusion technology” was published in theLasersinEngineering(Issue 1-2, 2012). E-mail：lilianjiangpro@163.com

F830.91

A

10.3969/j.issn.1672-0334.2016.02.011

1672-0334(2016)02-0134-12

2015-06-24修返日期2016-03-04

國家自然科學基金(71401028)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金(N130323008)；東北大學秦皇島分校校內(nèi)基金(XNB201418)

李冰娜，管理學博士，東北大學秦皇島分校經(jīng)濟學院講師，研究方向為金融投資組合和風險管理等，代表性學術(shù)成果為“基于最小擾動相關(guān)去噪法股票投資組合風險優(yōu)化”，發(fā)表在2013年第10期《系統(tǒng)工程理論與實踐》，E-mail：libingna519@163.com

惠曉峰，管理學博士，哈爾濱工業(yè)大學管理學院教授，研究方向為匯率預測、金融安全和金融市場效率等，曾主持國家自然科學基金項目“上市公司信息披露與資本成本研究”(70573030)，E-mail：xfhui@hit.edu.cn

李連江，工學博士，東北大學秦皇島分?？刂乒こ虒W院講師，研究方向為多學科聯(lián)合仿真等，代表性學術(shù)成果為“Research on improvement of ladar imaging quality based on fusion technology”，發(fā)表在2012年第1-2期《Lasers in Engineering》，E-mail：lilianjiangpro@163.com