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        函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像及性質

        2016-12-23 09:32:04岳峻
        青蘋果·教育研究版 2016年10期
        關鍵詞:偶函數(shù)奇偶性最值

        岳峻

        函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像問題有三種類型:描點畫圖(五點法)、圖像變換法(平移、伸縮、對稱)及圖像應用,特別是圖像的平移與伸縮變換,是高考常見的題型。由于三角函數(shù)的性質蘊含在其圖像中,我們在學習時須充分運用數(shù)形結合的思想,正確地讀圖、識圖、析圖、用圖,把圖像和性質結合起來,并會靈活運用。

        一、函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的物理意義

        當函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一個振動量時,A就表示這個量振動時離開平衡位置的最大距離,稱為振動的振幅;往復振動一次所需要的時間T=叫作振動的周期;單位時間內往復振動的次數(shù)f==叫作振動的頻率;ωx+φ叫作相位,當x=0時的相位φ叫作初相。

        例1 函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分圖像如右圖所示,則函數(shù)f(x)的解析式為 。

        解析 由圖像知f(x)的最小正周期為

        T=2-=π,故ω=2;

        又A=2,所以f(x)=2sin(2x+φ)。

        因為x=時,2sin(2x+φ)=2,

        即2x+φ=?圳2×+φ=?圯φ=。

        所以f(x)=2sin2x+。

        點評 由函數(shù)圖像確定函數(shù)解析式的關鍵是要善于從圖像中觀察得到一些有用的數(shù)據(jù),如圖像經(jīng)過的點、最值等。一般來說,對于函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),A可由圖像的最高點的縱坐標或最低點縱坐標的絕對值來確定;ω可通過函數(shù)的周期T=來確定;φ可以用代入法來確定,即把一個點(最好選取圖像的最高點或最低點)的坐標代入函數(shù)解析式求解而得。

        二、三角函數(shù)的圖像變換

        例2 將函數(shù)y=sin2x-圖像上的點P,t向左平移s(s>0)個單位長度得到點P′,若P′位于函數(shù)y=sin2x的圖像上,則( )。

        A.t=,s的最小值為?搖?搖?搖 B.t=,s的最小值為

        C.t=,s的最小值為?搖?搖?搖 D.t=,s的最小值為

        解析 因為點P,t在函數(shù)y=sin2x-的圖像上,

        所以t=sin=;

        因為P′-s,位于函數(shù)y=sin2x的圖像上,

        所以=sin2-s=cos2s,

        所以s的最小值為。故選A。

        點評 一般來說,函數(shù)y=sin(ωx+φ)(ω>0)的圖像,可以將正弦曲線y=sinx上所有的點向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|個單位長度(得y=sin(x+φ)的圖像),再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼牡玫?;也可以將正弦曲線y=sinx上所有的點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模ǖ脃=sinωx的圖像),再把所得各點向左(φ>0)或向右(φ<0)平移個單位長度得到。特別注意:必須分清是先相位變換后周期變換,還是先周期變換后相位變換。

        三、函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的單調性

        例3 函數(shù)f(x)=sin-x,則函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為 。

        解析 變形得f(x)=-sinx-。

        函數(shù)f(x)=sin-x單調遞增,則函數(shù)g(x)=sinx-單調遞減,

        所以2kπ+≤x-≤2kπ+(k∈Z),即2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z)。

        所以函數(shù)f(x)=sin-x的單調遞增區(qū)間為2kπ+,2kπ+(k∈Z)。

        點評 此類問題屬易錯題。正確解法是借助誘導公式轉化后求解,或利用復合函數(shù)的單調性規(guī)律求解。

        四、函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的對稱性

        例4 我們把函數(shù)f(x)的圖像與直線x=a、x=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù)f(x)在[a,b]上的面積,已知函數(shù)f(x)=sinnx在0,上的面積為(n∈N)。

        (1)f(x)=sin3x在0,上的面積為 。

        (2)f(x)=sin(3x-π)+1在,上的面積為 。

        解析 (1)因為函數(shù)f(x)=sinnx在0,上的面積為(n∈N),

        所以f(x)=sin3x在0,上的面積為。

        又f(x)=sin3x關于點,0對稱,

        所以f(x)=sin3x在,上的面積等于它在0,上的面積。

        故f(x)=sin3x在0,上的面積為。

        (2)f(x)=sin(3x-π)+1的圖像如右圖所示。

        根據(jù)對稱性可知每一個陰影區(qū)域的面積都相等,都等于y=sin3x在0,上的面積為,

        所以f(x)=sin(3x-π)+1在,上的面積等于1個陰影區(qū)域與矩形ABCD的面積之和,即+π(區(qū)域④補形到區(qū)域③中)。

        點評 本題是一道很好的理性思維信息開放性定義型創(chuàng)新題。我們要知道:函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+b的對稱軸為x=,對稱中心為,b。

        五、函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的奇偶性

        例5 求函數(shù)f(x)=sin(x-θ)(θ為參數(shù))的奇偶性。

        解析 令f(-x)=f(x),則sin(-x-θ)=sin(x-θ),

        此時-x-θ=2kπ+x-θ(k∈Z)或-x-θ=2kπ+π-(x-θ)(k∈Z),

        亦即θ∈?芰或θ=kπ+(k∈Z),

        所以當θ=kπ+(k∈Z)時,函數(shù)f(x)=sin(x-θ)(θ為參數(shù))是偶函數(shù);

        同理,當θ=kπ(k∈Z)時,函數(shù)f(x)=sin(x-θ)(θ為參數(shù))是奇函數(shù)。

        綜上,當θ=kπ-(k∈Z)時,函數(shù)f(x)=sin(x-θ)(θ為參數(shù))是偶函數(shù);

        當θ=kπ(k∈Z)時,函數(shù)f(x)=sin(x-θ)(θ為參數(shù))是奇函數(shù);

        當θ≠kπ(k∈Z)時,函數(shù)f(x)=sin(x-θ)(θ為參數(shù))是非奇非偶函數(shù)。

        點評 f(x)是偶函數(shù)?圳f(-x)=f(x);f(x)是奇函數(shù)?圳f(-x)=-f(x)。探討含有參數(shù)的函數(shù)的奇偶性可以利用該性質。

        六、函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的周期性

        例6 設函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常數(shù),A>0,ω>0)。若f(x)在區(qū)間,上具有單調性,且f=f=-f,則f(x)的最小正周期為 。

        解析 結合函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖像特征可知,

        因為f=f,所以x=,

        即x=為f(x)圖像的對稱軸。

        因為f=-f,所以,0,

        即,0為f(x)圖像的對稱中心。

        又f(x)在區(qū)間,上具有單調性,

        所以,0是與對稱軸x=相鄰的對稱中心,

        所以最小正周期為4-=π。

        點評 函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期為T=,正確地讀圖、識圖、析圖、用圖是研究函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的性質的基礎。

        七、函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的最值

        例7 已知函數(shù)f(x)=sinx。若存在x,x,…,x(m≥2,m∈N)滿足0≤x

        解析 因為對任意的x,xi+1(i=1,2,…,m-1),|f(xi)-f(xi+1)|≤f(x)-f(x)=2,

        欲使m取最小值,應盡可能多地讓x(i=1,2,…,m)取最值點。

        因為0≤x

        |f(x)-f(x)|+|f(x)-f(x)|+…+|f(x)-f(x)|=12,

        所以按照下圖所示取值即可滿足條件。

        所以m的最小值為8。

        點評 一般來說,函數(shù)f(x)=asinx+b的值域為[-|a|+b,|a|+b],函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0)的最小值為-A+b,最大值為A+b。

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