蘇 丹

(嶺南師范學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院數(shù)學(xué)系，廣東湛江 524037)

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一類非線性微分方程的非振動(dòng)解的漸近性

蘇 丹

(嶺南師范學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院數(shù)學(xué)系，廣東湛江 524037)

非線性微分方程；非振動(dòng)解；漸近性

1 引言與引理

近年來，人們對(duì)多種類型微分方程解的漸近性進(jìn)行了研究[1-5].其中，對(duì)方程的研究可參考文獻(xiàn)[2]；對(duì)方程的研究?jī)H見文獻(xiàn)[5].

引入函數(shù)

同時(shí)，有T∈R+=[0,+)，.

證明 不失一般性，假定存在t1≥t0，當(dāng)t≥t1時(shí)，有y(t)>0(y(t)<0時(shí)的情形可類似證之)，則存在t2≥t1,使得t≥t2時(shí),有y(Δ(t,y(t)))>0，由方程(S)和(H2)知：

(a(t)φ(y′(t)))′=f(t,y(t),y(Δ(t,y(t))))>0.

所以存在t3≥t2,當(dāng)t≥t3時(shí)，r(t)φ(y′(t))最終為嚴(yán)格遞增的常號(hào)函數(shù).

2 主要定理及證明

(2.1)

證明 不失一般性，假定存在t1≥t0，當(dāng)t≥t1時(shí)，有y(t)>0(y(t)<0時(shí)的情形可類似證之)，首先假設(shè)(2.1)成立，即存在c>0，T0≥t1和θ2>0，當(dāng)t≥T0時(shí)，有

定義Banach空間BC[T-1,R)如下：

定義算子S1:D1→C([T-1,),R)如下：

對(duì)?y∈D1，由(H5)可知，存在正常數(shù)θ2，當(dāng)t≥T-1時(shí)，有

易證S1(D1)?D1.下面需證S1在D1內(nèi)的連續(xù)性與S1(D1)在C([T-1,),R)內(nèi)是相對(duì)緊的.

當(dāng)t≥T時(shí),有

因此，由函數(shù)f,Δ的連續(xù)性及反函數(shù)的連續(xù)性，再由勒貝格控制收斂定理，可知在[T,)的每個(gè)緊子集上有序列一致收斂于S1y.

對(duì)于t∈[T-1,T],由算子S1的定義可知S1的連續(xù)性.

關(guān)于S1(D1)在C([T-1,),R)的緊性，只需證當(dāng)?D1時(shí)序列在的每個(gè)緊子集上是一致有界且等度連續(xù)的.

首先，由S1(D1)?D1，且D1為C([T-1,),R)的有界集，所以S1(D1)一致有界.接下來考慮序列在上的等度連續(xù)性.

當(dāng)t1,t2∈[T,)時(shí)，有

由于yn∈D1，再結(jié)合(H5)，可得

當(dāng)t1∈[T-1,T),t2∈[T,)時(shí)，由

(S1yn)(t2)-(S1yn)(t1)=(S1yn)(t2)-(S1yn)(T)+(S1yn)(T)-(S1yn)(t1).

由Schauder-Tychonoff不動(dòng)點(diǎn)定理知，存在y∈D1，使得S1y=y.因此有

相反地，y(t)是方程(S)的有界非遞減正解，那么

即

對(duì)上不等式從T0到t進(jìn)行積分且t→，可得

定理2 若假定(H1)～(H3)和(H6)成立，且有

(2.2)

(1)若常數(shù)m>1，有

(2.3)

那么方程(S)的每一個(gè)非遞減解的絕對(duì)值滿足當(dāng)M>1，t→時(shí)，有成立.其中s.

(2)若方程(S)的每一個(gè)非遞減解的絕對(duì)值滿足當(dāng)M>1，t→時(shí)，有成立，那么存在常數(shù)m>1，使得

(2.4)

證明 不失一般性，存在T0≥t0,當(dāng)t≥T0時(shí)，有y(t)>0.(y(t)<0時(shí)的情形可類似證之)，首先假定(2.3)成立，可知存在T1≥T0和m1>0，當(dāng)t≥T1時(shí)，有

y(t)→mR(t,t0).

因此(2.4)滿足.

(2.5)

證明 不失一般性，假定存在t1≥t0，當(dāng)t≥t1時(shí)，有y(t)>0(y(t)<0時(shí)的情形可類似證之)，首先假設(shè)(2.5)成立，即存在c>0，T0≥t1和θ1>0，當(dāng)t≥T0時(shí)，有

因此，方程(S)有一個(gè)非遞增正解.

下面斷言L=0，若不然L<0，因此

對(duì)上不等式從T0到t進(jìn)行積分，可得

對(duì)方程(S)從t到進(jìn)行積分，存在θ1>0，使得

因此

即

因此(2.5)式成立.

3 應(yīng)用

例3.1 考慮方程

((y′(t))2n+1)′+y(t)2n+1=0，t≥t0>0.

(3.1)

令a(t)=et,f(t,y(t))=y(t)，此方程滿足定理1中的條件，且方程(3.1)有正解y(t)=e-t.

[1]Tsang-Hwai Hwang,Horng-Jaan Li,Chen-Chih Yeh.Asymptotic behavior of nonoscillatory solutions of second order differential equations[J].Computer & mathematics with applications,2005(50):271-280.

[3]Wong P.J.Y,Agarwal R.P.Oscillatory behavior of solutions of certain second order nonlinear differential equations[J].J.Math.Anal.Appl.,1996(2):337-354.

[4]Wan-Tong Li.Oscillation of certain second-order nonlinear differential equations[J].J.M.A.A,1998(217): 1-14.

[5]Xiang-yun Shi,Xue-yong Zhou,Wei-ping Yan.The asymptotic behavior of nonoscillatory solutions of some nonlinear dynamic equations on time scales[J].Advances in Dynamical Systems and Applications,2006(1):103-112.

Asymptotic Behavior of Nonoscillatory Solutions of Certain Nonlinear Differential Equations

SU Dan

(Department of Mathematics of Basic Education College of Lingnan Normal University, Zhanjiang Guangdong 524037,China)

nonlinear differential equations; nonoscillatory solutions; asymptotic behavior

2016-09-27

蘇 丹(1979- )，女，講師，碩士研究生，從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究。

(r(t)φ(y′(t)))′+f(t,y(t),y(Δ(t,y(t))))=0,t≥t0>0.

(S)

O175

A

2095-7602(2016)12-0001-05