（廣西科技師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，廣西來賓 546199）

具有收獲率的干擾系統(tǒng)4個(gè)正概周期解

姚曉潔

（廣西科技師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，廣西來賓 546199）

研究了一類具有修正的Holling－TannerⅢ類功能反應(yīng)和收獲率的干擾Leslie系統(tǒng)的正概周期解.通過利用重合度理論的延拓定理和不等式分析技巧，獲得了該系統(tǒng)至少存在4個(gè)正概周期解的充分條件，推廣和改進(jìn)了早期文獻(xiàn)的相關(guān)結(jié)果.

修正的Holling－TannerⅢ類功能反應(yīng)；收獲率；干擾Leslie系統(tǒng)；正概周期解；重合度

0 引言

近年來，關(guān)于具有功能反應(yīng)的相互干擾的生物種群系統(tǒng)的周期解或概周期解研究吸引了許多學(xué)者的廣泛關(guān)注，并取得一些結(jié)果.最近，文［7］研究具有脈沖和收獲率的Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)

概周期解問題，利用重合度理論和一些分析技巧，獲得了系統(tǒng)（1）至少存在四個(gè)正概周期解的充分條件.然而，據(jù)我們所知，對(duì)具有功能反應(yīng)的相互干擾的生物種群系統(tǒng)的多個(gè)正概周期解研究卻求見相關(guān)報(bào)道.因此，本文研究如下一類具有修正的Holling－TannerⅢ類功能反應(yīng)和收獲率的相互干擾Leslie捕食系統(tǒng)

的概周期解，其中x1(t)，x2(t)分別表示食餌種群和捕食者種群在t時(shí)刻的密度，n1(t),n2(t)分別表示飽和情形時(shí)食餌種群和捕食者種群的數(shù)量，分別表示飽和情形時(shí)食餌種群和捕食者種群的內(nèi)稟增長率，m（0〈m≤1）表示干擾系數(shù)，ni(t)，fi(t)，ai(t)，bi(t)，hi(t)，c(t)(i=1,2)都是非負(fù)的連續(xù)概周期函數(shù)，hi(t)表示收獲率，k1,k2〉0為常數(shù).

本文通過利用重合度理論的延拓定理和不等式分析技巧，獲得了該系統(tǒng)（2）至少存在4個(gè)正概周期解的充分條件.

1 準(zhǔn)備知識(shí)

定義1 稱函數(shù)x(t)∈C(R)=C(R,R)在R是概周期解，如果對(duì)?ε〉0，集合

是相對(duì)稠密的，即對(duì) ?ε〉0，存在一個(gè)實(shí)數(shù) l=l(ε)，使得在每個(gè)長度為 l的區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)τ=τ(ε)∈T(x,ε)，使得成立.集合T(x,ε)叫做x(t)的ε-概周期集，τ叫做x(t)的ε-概周期，l(ε)為T(x,ε)的包含區(qū)間長度.

記

AR(R)={p (t):p(t)是R上實(shí)值概周期函數(shù)} ，

AR(R,Rn){( x1,x2,…xn)T:xi∈AP(R),i=1,2,…,n,n∈Z+}.

引理1［8］如 果 f(t)∈AR(R)，則 f(t)在R有界.

引理2［9］如果 f(t)∈AR(R)，則存在t0∈R使得 f(t0)=m(f).

引理3［10］假設(shè)x(t)∈AP(R)∩C1(R),且x′(t)∈C(R)，記，則對(duì)?ε〉0，有下列結(jié)論成立：

（i）存在點(diǎn)ξε∈[0,∞），使得x(ξε)∈[x?-ε,x?]和x′(ξε)=0

（ii）存在點(diǎn) ξε∈[0,∞），使得x(ηε)∈[x?,x?+ε]和x′(ηε)=0

設(shè)X，Z是賦范向量空間，L:DomL?X→Z為線性映射，N:X×[0 ,1]→Z為連續(xù)映射，如果dim KerL=codimImL〈+∞，且ImL為Z中的閉子集，則映射L稱為零指標(biāo)的Fredholm映射.如果L是零指標(biāo)的 Fredholm映射，且存在連續(xù)投影 P:X→X及 Q:Z→Z使得 ImP=KerL,ImL=KerQ=Im(I-Q)，及X=KerL⊕KerP,Z=ImL⊕ImQ，則L|DomL∩KerP:(I-P)X→ImL可逆，設(shè)其逆映射為Kp.設(shè)Ω為X中有界開集，如果有界且是緊的，則稱上是L-緊的.由于ImQ與KerL同構(gòu)，因而存在同構(gòu)映射J:ImQ→KerL.

引理4［11］（Mawhin延拓定理）設(shè)L是指標(biāo)為零的Fredholm映射，N在是L-緊的，假設(shè)：

（i）對(duì)任意的λ∈(0,1)，方程Lx∈λN(x,λ)的解滿足x??Ω；

（iii）deg{J QN(x,0),Ω∩KerL}≠0.

對(duì)x∈?P(R)，我們定義

取X=Z=V1⊕V2，這里

其中

且φ∈C([-σ,0],R，i=1，2σ〉0，a〉0是給定的常數(shù).定義范數(shù)

容易得到：

引理5X和Z在上面的定義范數(shù)是Banach空間.

引理7 定義N:X×[0,1]→Z,N(z(t),λ)=(N1(z(t),λ),(N2(z(t),λ))T這里

及

引理8［12］假設(shè)，對(duì)函數(shù)和以下結(jié)論成立:

（i）f(x,y,z)和g(x,y,z)對(duì)x∈(0,+∞)分別是單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的;

（ii）f(x,y,z)和g(x,y,z)對(duì)y∈(0,+∞)分別是單調(diào)遞減和單調(diào)遞增的;

（iii）f(x,y,z)和g(x,y,z)對(duì)z∈(0,+∞)分別是單調(diào)遞減和單調(diào)遞增的.

我們作如下假設(shè)：

再記

2 主要結(jié)果

定理1 如果（A1）－（A3）滿足，則系統(tǒng)（3）至少存在4個(gè)不同的正概周期解.

證明 為了應(yīng)用引理4來證明系統(tǒng)（3）至少存在4個(gè)正概周期解，我們只須在小X中找到4個(gè)有界開集即可.考慮方程，即

假設(shè)(u1(t),u2(t))T∈DomL?X是（4）對(duì)某個(gè) λ∈(0,1)的概周期解，這里則由引理3可知，對(duì)任意，存在使得

同理，由（5）和（7）式可得

由（6）和（11）式可得

即有

結(jié)合條件（A1）可得

類似，由（8）和（10）式可得

由（6）和（10）式可得

從而有

結(jié)合條件（A1）可得

類似，由（8）和（10）式可得

由（13）-（16）式知

由（7）、（11）和（17）式，可得

即有

結(jié)合條件（A2）可得

同理，由（9）、（11）和（17）式，可得

由（7）、（11）和（17）式，可得

即

結(jié)合條件（A2）可得

類似，由（9）、（11）和（17）式，結(jié)合條件可得

由（16）-（19）式可得

顯然，Ωi=(i=1,2,3,4)是X上的有界開集，且Ωi∩Ωj=φ(i,j=1,2,3,4,i≠j)，從而Ωi=(i=1,2,3,4)滿足引理4的條件（i）.現(xiàn)在證明引理4的條件（ii）也成立，即證若時(shí)有QN(u,0)≠0(i=1,2,3,4).用反證法.假設(shè)QN(u,0)=0，則根據(jù)引理2知，存在t0∈R使得

并且由引理8易知z*j∈Ωj，j=1，2，3，4，這就產(chǎn)生了矛盾，即引理4的條件（ii）也成立.由于KerL=ImQ，取J=I，直接計(jì)算可得

于是

這說明引理4的條件（iii）成立.故根據(jù)引理4知，系統(tǒng)（2）至少存在4個(gè)不同的概周期解.

由定理1立即可得：

推論1 如果下面條件滿足：

則概周期系統(tǒng)

至少存在四個(gè)不同的正概周期解.

［1］雷鳴.基于比率的Holling-Tanner干擾擴(kuò)散系統(tǒng)的周期解［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2010，48（1）:55-49.

［2］張鳳，陳文成，張永明.一類具有相互干擾的捕食與被捕食系統(tǒng)的定性分析［J］.生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2014，29（1）:169-173.

［3］王斌.時(shí)標(biāo)上一類具有相互干擾的捕食者-食餌系統(tǒng)周期解的存在性［J］.云南民族大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，21（6）:423-428.

［4］Du Zengji，Lv Yansen.Permanence and almost periodic solution of a Lotka–Volterra model with mutual interference and time delays［J］.Applied Mathematical Modelling，2013，37（1）:1054-1068.

［5］Guo Haijun，Chen Xiaoxing，Existence and global attractivity of positive periodic solution for a Volterra model with mutual interference and Beddington–DeAngelis functional response［J］.Applied Mathematics and Computation，2011，217（12）:5830-5837.

［6］Lin Xiao，Chen Fengde.Almost periodic solution for a Volterra model with mutual interference and Beddington-DeAngelis functional response［J］.Applied Mathematics and Computation，2009，214（2）:548-556.

［7］王奇，陸地成.一類Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)概周期解的存在性和多解性［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2015，35（8）:988-998.

［8］何崇佑.概周期微分方程［M］.北京:高等教育出版社，1992.

［9］Li Y K，Ye Y.Multiple positive almost periodic solutions to an impulsive non-autonomous Lotka-Volterra predator-prey system with harvesting terms［J］.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2013，18（11）:3190-3201.

［10］Zhang T，Wei T.Multiplicity of positive almost periodic solutions in a delayed Hassell-Varley-type-predator-prey model with harvesting on prey［J］.Mathematical Methods in the Applied Sciences，2014，37（5）:686-697.

［11］Gaines R E，Mahwin JL.Coincidence degree and nonlinear differential equations［M］.Berlin:Springer，1977.

［12］Zhao K H，Li Y K.Multiple positive periodic solutions to an non-autonomousLotka-Volterra predator-prey system with harvesting terms［J］.Journal of Differential Equations，2011，49:1-11.

Four Positive Almost Periodic Solutions of Interference System with Harvesting Terms

YAO Xiaojie

（College of Mathematics and Computer Science,Guangxi Science&Technology Normal University,Laibin,Guangxi,546199 China）

This paper investigates the existence of positive almost periodic solutions for a kind of interference Leslie system with modi?fied Holling－TannerⅢfunctional response and harvesting terms.By using a continuation theorem based on coincidence degree theory and some analysis technique,some sufficient conditions for the existence of at least four positive almost periodic solutions of the system are obtained,which generalize and improve the related results of early literature.

modified Holling－TannerⅢfunctional response;harvesting terms;interference Leslie system;multiple positive almost periodic solutions;coincidence degree

O175

A

2096-2126（2016）05-0138-07

（責(zé)任編輯：李潔坤）

2016-09-03

廣西高?？茖W(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目（YB2014468）；廣西教改項(xiàng)目（2015JGZ160）。

姚曉潔（1970—），女，廣西融安人，副教授，研究方向：微分方程。