董俊翔，趙健康，朱程廣，夏 軒

（上海交通大學(xué) 儀器儀表工程，上海200240）

應(yīng)用于高動(dòng)態(tài)接收機(jī)的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換實(shí)現(xiàn)

董俊翔，趙健康，朱程廣，夏 軒

（上海交通大學(xué) 儀器儀表工程，上海200240）

針對(duì)傳統(tǒng)的FFT在高動(dòng)態(tài)環(huán)境下難以長(zhǎng)時(shí)間對(duì)高動(dòng)態(tài)信號(hào)進(jìn)行相干累積的難題，以及為了達(dá)到對(duì)高動(dòng)態(tài)信號(hào)進(jìn)行更有效跟蹤的目的，利用FrFT運(yùn)算瞬時(shí)頻率隨時(shí)間呈線性變化的性質(zhì)，將其應(yīng)用到高動(dòng)態(tài)接收機(jī)中去，對(duì)多普勒頻率和多普勒頻率變化率同時(shí)進(jìn)行補(bǔ)償。運(yùn)用基于Closed-form算法實(shí)現(xiàn)FrFT運(yùn)算，并設(shè)計(jì)高動(dòng)態(tài)接收機(jī)信號(hào)跟蹤環(huán)模塊，通過(guò)基于matlab的一、二維搜索仿真，根據(jù)測(cè)量得到的結(jié)果計(jì)算多普勒頻率和多普勒頻率變化率，將測(cè)量值與真實(shí)值相比較。仿真證明該跟蹤環(huán)提高了高動(dòng)態(tài)接收機(jī)的跟蹤性能和抗干擾能力。

分?jǐn)?shù)階傅里葉變換；接收機(jī)；高動(dòng)態(tài)；Closed-form算法

高動(dòng)態(tài)GNSS系統(tǒng)已經(jīng)越來(lái)越廣泛地應(yīng)用于軍事領(lǐng)域之中，尤其是制導(dǎo)武器方面，彈載高動(dòng)態(tài)衛(wèi)星接收機(jī)的難點(diǎn)主要在于導(dǎo)彈的飛行時(shí)間短，在飛行過(guò)程中導(dǎo)彈彈體的速度、加速度和加加速度的變化非常劇烈，這導(dǎo)致接收機(jī)的接收信號(hào)它的載波多普勒變化劇烈，從而使接收機(jī)信號(hào)跟蹤難度增大[1]。此時(shí)多普勒頻移往往會(huì)超出一般鎖相環(huán)的捕獲帶寬，如果載波多普勒頻偏過(guò)大，將導(dǎo)致接收機(jī)信號(hào)跟蹤失鎖[2]的情況發(fā)生。

若在短時(shí)間內(nèi)將加速度視為恒定，則GNSS載波信號(hào)等效于一個(gè)線性調(diào)頻信號(hào)（Chirp信號(hào)）。Chirp信號(hào)最主要的性質(zhì)是瞬時(shí)頻率隨時(shí)間呈線性變化。FrFt作為一個(gè)有效的Chirp信號(hào)檢測(cè)工具，可以應(yīng)用到高動(dòng)態(tài)接收機(jī)中去，增加其抗噪聲干擾，抗多徑干擾等能力，并能夠更有效地跟蹤到高動(dòng)態(tài)信號(hào)。使用FrFT可以同時(shí)對(duì)多普勒頻率和多普勒頻率變化率分量進(jìn)行有效補(bǔ)償，解決了傳統(tǒng)的FFT在高動(dòng)態(tài)環(huán)境下難以對(duì)高動(dòng)態(tài)信號(hào)進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間相干累積的難題[3-4]。

文中為了實(shí)現(xiàn)對(duì)高動(dòng)態(tài)信號(hào)的分析檢測(cè)和參數(shù)估計(jì)，分析了整個(gè)接收機(jī)系統(tǒng)以及分?jǐn)?shù)階傅里葉變換在高動(dòng)態(tài)衛(wèi)星信號(hào)跟蹤的應(yīng)用并經(jīng)由結(jié)合Closed-form算法，設(shè)計(jì)了基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的高動(dòng)態(tài)接收機(jī)跟蹤環(huán)模塊，通過(guò)二維搜索對(duì)測(cè)試信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)及估值，以達(dá)到對(duì)其精確跟蹤的目的。以此來(lái)證明該模塊具有能實(shí)現(xiàn)跟蹤高動(dòng)態(tài)信號(hào)的能力。

1 接收機(jī)跟蹤環(huán)設(shè)計(jì)及分?jǐn)?shù)階傅里葉變換

文中所設(shè)計(jì)的接收機(jī)整體主要由以下幾個(gè)部分組成：相關(guān)積分模塊，信號(hào)參數(shù)估計(jì)模塊和相位估計(jì)器；相關(guān)積分模塊負(fù)責(zé)對(duì)偽碼對(duì)齊后的中頻載波信號(hào)進(jìn)行分段相關(guān)積分；信號(hào)參數(shù)估計(jì)模塊負(fù)責(zé)計(jì)算信號(hào)的FrFT，并對(duì)載波頻率和頻率變化率進(jìn)行估計(jì)；相位估計(jì)器負(fù)責(zé)精確計(jì)算載波相位，最終對(duì)載波NCO進(jìn)行精確調(diào)整，對(duì)信號(hào)進(jìn)行跟蹤。

初始中頻信號(hào)經(jīng)過(guò)載波NCO1的初始解調(diào)后進(jìn)入相關(guān)積分器，經(jīng)由FrFT模塊處理并計(jì)算得到多普勒頻率和多普勒頻率變化率后進(jìn)入相位估計(jì)器，經(jīng)過(guò)載波NCO2的再解調(diào)后留下電文。

FrFT（Fractional Fourier Transform，分?jǐn)?shù)階傅里葉變換），是廣義的傳統(tǒng)傅里葉變換[5]，它含有變量p，被稱(chēng)為p階傅里葉變換。函數(shù)x（t）的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的表達(dá)式如下[6]：

圖1 高動(dòng)態(tài)接收機(jī)跟蹤環(huán)設(shè)計(jì)

Fp[x（t）]（u）為連續(xù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的運(yùn)算符。

變換核

其中0＜|p|＜2，變換角度θ=pπ/2。

變換角度為θ=pπ/2的p階傅里葉變換的時(shí)頻圖如圖1所示。若我們將Fourier變換看作為一種線性算子，在時(shí)頻平面中當(dāng)時(shí)θ=2nπ+π/2，時(shí)域轉(zhuǎn)為頻域。那么FrFT算子就是一個(gè)可旋轉(zhuǎn)任意角度θ的算子，所以我們可以認(rèn)為FrFT是廣義的傅里葉變換[7]。

圖2 分?jǐn)?shù)階傅里葉變換時(shí)頻圖

我們使用FrFT，通過(guò)上述計(jì)算得到了高動(dòng)態(tài)環(huán)境下的多普勒頻率和多普勒頻率變化率，并運(yùn)用之后的跟蹤模塊來(lái)跟蹤高動(dòng)態(tài)信號(hào)。

2 算法分析

離散FrFT常用的方法有兩種，一種是由Ozaktas提出的分解型算法，將FRFT的定義式積分變換分解為幾步簡(jiǎn)單的計(jì)算步驟，然后經(jīng)過(guò)離散化處理得到離散卷積表達(dá)式，這樣可以利用FFT來(lái)計(jì)算FrFT；另一種是Pei、Ding等人研究出的一種閉合的DFrFT算法，從連續(xù)Fourier變換的特征函數(shù)是Hermite函數(shù)出發(fā)，對(duì)特征函數(shù)Hermite函數(shù)經(jīng)過(guò)離散正交處理，得到DFT矩陣的正交向量，而此正交向量也同樣是Hermite特征向量。因此可以構(gòu)造離散分?jǐn)?shù)階Fourier變換核矩陣。最后通過(guò)對(duì)信號(hào)的時(shí)域和分?jǐn)?shù)階Fourier域選擇合適的采樣間隔，得到離散分?jǐn)?shù)階Fourier變換。

2.1 Ozaktas算法

Ozaktas的分解型算法[10-12]將FRFT定義式的計(jì)算過(guò)程分為了3個(gè)步驟：

可以看出該算法運(yùn)用了3步FFT的運(yùn)算來(lái)得到分?jǐn)?shù)階傅里葉變換結(jié)果。

2.2 Closed-form算法

我們將采樣函數(shù)x（t）和輸出函數(shù)Fp[x（t）]（u）分別按Δt，Δu的間隔進(jìn)行采樣，y（n）=x（n*Δt）；Yα（m）=X（m*Δu），其中n=-N，-N+1，…，N；m=-M，-M+1，…，M；這里值得注意的是我們采樣的起始點(diǎn)并不在t=0以及uθ=0處。我們將DC成分置于中心位置[13-14]。于是我們將上式轉(zhuǎn)化為：

這樣Yα（m）可逆；當(dāng)M≥N時(shí)將Yα（m）的反變換表示為Fα（m，n）的赫米特轉(zhuǎn)置形式，可以得到[15]：

根據(jù)式（8）和（9），

其中|S|是2M+1的一個(gè)整數(shù)質(zhì)數(shù)，這樣的話式（9）可以變成

由式（16）我們可以看出Closed-form算法[13-14]相對(duì)于Ozaktas算法更簡(jiǎn)便，它避免了Ozaktas算法中繁瑣的卷積計(jì)算，從計(jì)算量出發(fā)來(lái)考慮的話，Closed-form算法的1次FFT運(yùn)算所需的計(jì)算量要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于Ozaktas算法卷積運(yùn)算中用到的3次FFT運(yùn)算。所以總體來(lái)說(shuō)Closed-form算法計(jì)算復(fù)雜度相較Ozaktas法要小。

3 算法實(shí)現(xiàn)與模塊仿真

經(jīng)過(guò)對(duì)兩種算法的比較，Closed-form算法的結(jié)構(gòu)相對(duì)更簡(jiǎn)單，復(fù)雜度更小，故選擇該法作為FrFT模塊[16]的算法。

具體模塊實(shí)現(xiàn)步驟如下：

1）原信號(hào)與某一線性調(diào)頻函數(shù)相乘；

2）對(duì)1）的結(jié)果進(jìn)行Fourier變換（其變?cè)艘猿叨认禂?shù)）；

3）將2）的結(jié)果再與（1）中的線性調(diào)頻函數(shù)相乘；

在仿真測(cè)試信號(hào)選方面，選擇載波信號(hào)參數(shù)如下：加速度a=200 g，g=10 m/s2，加加速度為0，初始相位為φ≠0，采樣頻率為fs=10 MHz，中頻頻率為2.046 MHz，初始多普勒頻率為fd0=50 Hz，濾波器點(diǎn)數(shù)為512點(diǎn)，信號(hào)觀測(cè)時(shí)間為；將載波信號(hào)x（t）=exp（j（2πf0t+πhat+φ））作為輸入信號(hào)，在分?jǐn)?shù)階傅里葉變換階次p分別為p=1，p=1.136時(shí)，仿真結(jié)果分別如圖3所示。

圖3 階次p=1、p=1.136的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換仿真結(jié)果

從仿真圖中圖3可以看出，仿真信號(hào)聚集成為一個(gè)沖激函數(shù)，證明了當(dāng)且僅當(dāng)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換階次p為最佳階次時(shí)，Chirp信號(hào)能量聚集為一個(gè)沖激函數(shù)的結(jié)論，即對(duì)我們的仿真信號(hào)在階次p=1.136時(shí)達(dá)到最佳階次，其信號(hào)積聚性最好，從而驗(yàn)證了該模塊應(yīng)用的正確性。

之后我們?cè)谝痪S算法實(shí)現(xiàn)的基礎(chǔ)上，通過(guò)改變分?jǐn)?shù)階傅里葉變換階次，對(duì)chirp信號(hào)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換結(jié)果作出二維分布，并對(duì)其峰值進(jìn)行搜索，得到圖4所示。

將搜索范圍定在p∈[1，1.2]，搜索步長(zhǎng)Δp=0.001，時(shí)間步長(zhǎng)為Δu=0.2 ms，得到峰值坐標(biāo)為（1.136，315，3.412*104）。由上得出在p=1.136，即旋轉(zhuǎn)角度θ=0.568π=102.24°時(shí)可搜索到仿真信號(hào)峰值。此時(shí)我們將得到的計(jì)算結(jié)果代入式（4），得到多普勒頻率變化率為，多普勒頻率為：

圖4 仿真信號(hào)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換二維分布圖

而當(dāng)加速度a=100g時(shí)（其余參數(shù)不變），得到二維分布結(jié)果圖如圖5所示。

圖5 a=100g時(shí)，仿真信號(hào)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換二維分布圖

峰值坐標(biāo)為（1.068，289，4.514*104），即在p=1.068，旋轉(zhuǎn)角度θ=0.534π=96.12°時(shí)可搜索到仿真信號(hào)峰值。此時(shí)的多普勒頻率變化率為，多普勒頻率為：

加速度a=50g時(shí)，得到二維分布結(jié)果圖6如下。

圖6 a=50g時(shí)，仿真信號(hào)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換二維分布圖

峰值坐標(biāo)為（1.034，275，3.611*104），即在p=1.068，旋轉(zhuǎn)角度θ=0.517π=93.06°時(shí)可搜索到仿真信號(hào)峰值。此時(shí)的多普勒頻率變化率為，多普勒頻率為

表1 不同加速度下仿真信號(hào)多普勒頻率的測(cè)量值和計(jì)算值及其誤差

整理以上計(jì)算結(jié)果，得到下表：

經(jīng)過(guò)對(duì)在不同加速度的高動(dòng)態(tài)信號(hào)下的多普勒頻率估計(jì)值與計(jì)算真實(shí)值的比較，誤差都在1%以內(nèi)，可見(jiàn)該模塊可以實(shí)現(xiàn)對(duì)高動(dòng)態(tài)信號(hào)的跟蹤，且精度較高。

4 結(jié)束語(yǔ)

文中針對(duì)接收機(jī)的高動(dòng)態(tài)環(huán)境下多普勒頻移大，跟蹤信號(hào)相對(duì)困難的特點(diǎn)，研究了分?jǐn)?shù)階傅里葉變換針對(duì)跟蹤高動(dòng)態(tài)信號(hào)的應(yīng)用，利用Closed-form算法和FrFT運(yùn)算設(shè)計(jì)了高動(dòng)態(tài)接收機(jī)信號(hào)跟蹤環(huán)模塊，并計(jì)算得出高動(dòng)態(tài)信號(hào)的多普勒頻率和多普勒頻率變化率，以達(dá)到跟蹤到高動(dòng)態(tài)信號(hào)的目的；該方法在保證精度的同時(shí)，盡量減小了運(yùn)算量，最后給出對(duì)仿真測(cè)試信號(hào)的一維仿真以及二維搜索仿真結(jié)果，對(duì)該算法應(yīng)用進(jìn)行了驗(yàn)證，證實(shí)了該算法的可行性和正確性?？梢栽谥髮⒋四K運(yùn)用于實(shí)際工程項(xiàng)目中去，以體現(xiàn)其滿足高動(dòng)態(tài)信號(hào)跟蹤的精確性和實(shí)時(shí)性。

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The application and realization of Fractional Fourier Transformation to high-dynamic GNSS receiver

DONG Jun-xiang，ZHAO Jian-kang，ZHU Cheng-guang，XIA Xuan
（Instrument Engineering，Shanghai Jiaotong University，Shanghai 200240，China）

For the problem that traditional FFT can't accumulate coherently under high-dynamic environment during a longtime period，and in order to track high-dynamic signal more efficiently，we use the feature of FrFT that its instantaneous frequency varies with time，to compensate Doppler frequency and Doppler frequency rate in the high-dynamic receiver. Closed-form algorithm is used to realize FrFT and design the tracking loop of high-dynamic receiver.Through one-dimension and two-dimension simulation based on Matlab，calculating Doppler frequency and Doppler frequency rate，and compare measurement value with the real value.The simulation proves that this tracking loop improve the tracking performance and the ability of anti-interference of the high-dynamic receiver.

fractional Fourier transformation；GNSS receiver；High-dynamic；closed-from algorithm

TN911

A

1674－6236（2016）24-0070-04

2015-12-09 稿件編號(hào)：201512113

董俊翔（1991—），男，上海人，碩士研究生。研究方向：高動(dòng)態(tài)接收機(jī)。