袁迎春，胡國兵，張照鋒，吳珊珊

（1.南京信息職業(yè)技術學院電子信息學院，南京210023；2.金陵科技學院電子信息工程學院，南京211169）

基于Bootstrap的正弦波頻率估計可信性評估*

袁迎春1*，胡國兵2，張照鋒1，吳珊珊1

（1.南京信息職業(yè)技術學院電子信息學院，南京210023；2.金陵科技學院電子信息工程學院，南京211169）

研究了正弦波頻率估計結果的可信性評估問題，提出一種基于Bootstrap非經(jīng)典統(tǒng)計分析的評估算法。根據(jù)頻率估計結果構造參考信號，并與觀測信號作相關累加。以全長度相關累加模值與半長度相關累加模值的比作為檢驗統(tǒng)計量，基于Bootstrap方法確定相應的判決門限，完成對單次正弦波頻率估計的可信性校驗。仿真結果表明，本算法可在較低信噪比條件下對單次正弦波頻率估計結果是否可靠進行評估和判決。

正弦波頻率估計；可信性評估；Bootstrap方法；相關累加

估計噪聲中的正弦波信號頻率屬于信號處理中的經(jīng)典課題，其在通訊、雷達、聲納等領域具有重要的應用價值。此外，正弦波的幅度、相位等參數(shù)或其它調制信號參數(shù)估計［1］也往往依賴于正弦信號頻率的準確估計。

關于正弦波頻率估計的可靠性評估，研究者們從不同的角度進行了分析。對于算法的設計者，關注的是整個估計器的可靠性，往往借助理論分析及仿真數(shù)據(jù)，計算均方根誤差并與克拉美羅限比較以評估整體算法性能［2］。對于算法的使用者，更關心某一次具體頻率估計的結果是否準確，舍棄誤差大的評估結果，能增加后續(xù)處理環(huán)節(jié)的可靠性，同時避免了浪費處理資源［3］。針對單次正弦信號的頻率估計結果，文獻［4］提出了一種基于局部最大勢LMP（Locally Most Power?ful）檢驗的處理方法。該方法依據(jù)單次頻率估計結果構建相應的參考信號，通過其與觀測信號的相關累加運算，基于LMP準則進行單次頻率估計結果的可信性判決。文獻［5］則以相關累加曲線的線性度作為依據(jù)，通過對相關累加曲線的線性回歸失擬檢驗，基于F統(tǒng)計量給出了新的檢驗算法，完成對正弦波頻率估計結果的可信性檢驗。上述方法可以在無信號頻率先驗信息的條件下，實現(xiàn)對單頻正弦頻率估計結果的可信性評估，但從本質上講，所采用的假設檢驗模型，屬于經(jīng)典統(tǒng)計學范疇，其在實際應用中有一定局限性。首先，對信號模型中噪聲分布的正態(tài)性、大樣本等假設依賴性強，如果模型假設與真實模型有偏差時，算法的性能會受影響；其次，當檢驗統(tǒng)計量可區(qū)分性強，但有可能是樣本的復雜函數(shù)時，其概率密度函數(shù)的解析表達很難得到，從而較難用傳統(tǒng)的經(jīng)典假設檢驗模型來進行門限選擇。

當傳統(tǒng)統(tǒng)計方法條件不足時，采用基于計算機技術的自助法（Bootstrap）往往能夠簡化解決方案、降低計算難度，提高數(shù)據(jù)的分析精度。該方法自Bradley Efron提出至今，已廣泛應用于信號分析、圖像處理、金融、醫(yī)學等各個領域的實際問題研究中，其核心思想為通過重采樣來構造自助樣本。相較于蒙特卡洛方法，Bootstrap方法只需通過對一次試驗的樣本集進行多次有放回的重采樣，得到多個樣本集，從而進行參數(shù)估計、假設檢驗和性能評估。因此，在樣本容量很小，不服從正態(tài)分布或統(tǒng)計量的概率特性無法精確表達時，Bootstrap擴展了經(jīng)典統(tǒng)計方法的應用場合。

本文借助Bootstrap這一非經(jīng)典統(tǒng)計方法，將其應用于正弦信號頻率估計結果的可信性檢驗中。其基本思想為：先根據(jù)頻率估計結果構造參考信號，并與觀測信號作相關累加。以全長度相關累加模值與半長度相關累加模值的比作為檢驗統(tǒng)計量，依據(jù)Bootstrap假設檢驗方法，定義檢驗統(tǒng)計量，獲取重復樣本集，并基于數(shù)據(jù)自適應地確定判決門限，據(jù)此完成對單次正弦波頻率估計的可信性校驗。最后通過仿真驗證了算法的有效性。

1 信號模型

假定觀測模型為受高斯白噪聲污染的復正弦信號，表達式如下：

式中：A、f0、θ分別表示信號s(n)的幅度、載頻及初相，N為樣本個數(shù)。w(n)為零均值復高斯白噪聲過程，方差為σ2，實部與虛部相互獨立。信噪比為SNR=10lgA2/σ2（dB）。工程實際中，若滿足適當?shù)男旁氡葪l件，可認為頻率估計的最大誤差小于量化頻率間隔的1/4，即若滿足|Δf|≤0.25ΔF（其中Δf為載頻的估計誤差，ΔF=1/(NΔt)為量化頻率間隔），正弦波信號頻率參數(shù)估計的精度較高，判定為頻率估計結果可靠［6］。根據(jù)文獻［6］，本文將正弦波頻率估計的可信性評估歸結為下述假設檢驗

2 Bootstrap意義下的假設檢驗［7］

假定隨機樣本序列χ={X1,…,XN}服從特定分布F，具體樣式不定。設?為分布F的未知參數(shù)，?0是一個確定的參數(shù)?？紤]如下假設檢驗：

為了對上式的假設檢驗進行判決，定義統(tǒng)計量

基于Bootstrap的假設檢驗［8-10］主要步驟為：

（1）原始樣本獲取 進行隨機試驗，并得到樣本集χ={X1,…,Xn}；

（2）重采樣 通過對 χ={X1,…,Xn}進行重采樣，得到與原始樣本集相同容量的樣本χ*；

（3）計算Bootstrap統(tǒng)計量 依據(jù)重采樣本集χ*，計算

（4）重復以上步驟（2）～步驟（3），作B次重采樣，獲取B個Bootstrap統(tǒng)計量；

（5）對上述的B個Bootstrap統(tǒng)計量按大小進行排序：；（6）檢驗：當Tn≤時，拒絕H0假設，反之接受H0，其中q確定檢測的顯著性水平α，且α=1-[q/(B+1)]。

3 算法描述

3.1 特征分析

將觀測信號x(n)與參考信號y0(n)作相關累加，得到

式中：s0為相關累加后的信號部分，w0為相關累加后的噪聲分量。

此處假設N為偶數(shù)，分別從n=0開始累加到(N-1)，與從n=0開始累加到(N/2-1)點，得到兩個隨機變量，即全長度相關累加模值及半長度相關累加模值，考慮兩者比值μr=g1/g2作為特征量。

定義頻率估計誤差因子a=Δf/ΔF，則有

圖1 頻率誤差因子與幅度之間的關系示意圖

當a=0.25時，μ0.25≈1.847 8。當a≤0.25時，μa≥μ0.25；當a≤0.25時，μa＜μ0.25。于是，正弦波頻率估計結果的可信性檢驗轉化為如下假設檢驗：

要對上式進行檢驗，需要得到隨機變量g1,g2的若干可重復的樣本集，而實際只有一次處理結果，特征量無法進行統(tǒng)計計算。另一方面，傳統(tǒng)的檢驗方法，需要計算統(tǒng)計量Y=g1/g2的概率密度函數(shù)，并求取逆累積概率，以獲取一定顯著性水平下的判決門限。易知，隨機變量g1,g2分別服從萊斯分布，且兩者之間是相關的。由文獻［11］可知，從對于兩個非獨立的萊斯隨機變量Y=g2/g1之比，其概率密度函數(shù)的概率分布較為復雜，且數(shù)字特征也較難計算，無閉合表達式。對于經(jīng)典的假設檢驗方法，較難確定零假設下的統(tǒng)計量的概率分布，也就無法確定判決門限。本文考慮利用Bootstrap假設檢驗方法，以便在統(tǒng)計意義下計算出相應的判決門限。

3.2 Bootstrap樣本集獲取及判決門限設定

利用重采樣方法獲得一定容量的Bootstrap樣本集的步驟如下：

（1）殘留項提?。?/p>

可近似看成是高斯白噪聲序列。圖2所示為不同假設下殘留項的示意圖及其直方圖。

圖2 殘留項示意圖

（3）產(chǎn)生 Bootstrap樣本：r*(n)=+c*(n),n= 0,…,N-1。

（4）重復步驟（2）、步驟（3）B次，得到B個Bootstrap樣本集。

通過上述步驟得到一定的樣本集之后，計算特征量μr=g1/g2。圖3所示為信噪比3 dB時，利用前述的Bootstrap樣本集（樣本個數(shù)100）得到的不同假設下（頻率誤差因子a不同）特征量μr在不同信噪比條件下對比圖。由圖3可見：其一，在H0假設下，μr大于等于1.84，而在H1假設下，μr小于1.84；其二，頻率誤差因子a越小，μr越大；頻率誤差因子a越大，μr越小。印證了前文的分析結果。

圖3 不同頻偏時特征量μr=g1/g2的均值對比

從前面的分析可知，如果利用經(jīng)典的假設檢驗方法，需要對統(tǒng)計量Y=g1/g2的概率分布進行確定，顯然，概率密度公式相當復雜，難以解析表達［11］。而利用Bootstrap獲取樣本集，并利用基于Bootstrap假設檢驗方法可以簡化這種計算。

圖4所示為利用Bootstrap方法得到的不同假設下特征量的統(tǒng)計直方圖及門限。

圖4 不同情形下特征量的統(tǒng)計直方圖及門限

由圖4可見，利用Bootstrap方法得到的統(tǒng)計及門限，能較好地區(qū)分不同誤差的正弦波頻率估計結果，從而得到相應的可信性評估信息。需要指出是，由于Bootstrap方法在進行處理時，依賴于當次有回放重復抽樣得到的數(shù)據(jù)集。因此，每次仿真得到的統(tǒng)計直方圖及門限均有所不同。

3.3 算法小結

本文提出的基于Bootstrap方法的正弦波信號頻率估計結果可信性檢驗算法流程如圖5所示。

圖5 算法流程

其主要步驟歸納如下：

（1）參數(shù)估計與信號重構 根據(jù)特定算法進行正弦信號頻率參數(shù)估計，分別得到參考信號y(n)及重構信號；

（2）Bootstrap樣本集獲取 參照3.2節(jié)步驟，得到觀測信號的B個Bootstrap樣本集

（3）特征提取 將參考信號y(n)與觀測信號B個Bootstrap樣本集分別作N點及[N/2]點相關累加并取模，得到B個樣本值，提取兩個隨機樣本集比值特征。

（4）檢驗判決 基于Bootstrap的假設檢驗方法，在給定的顯著性水平α下，得到判決門限，通過比較統(tǒng)計量與門限的大小進行判決。判決規(guī)則為：當時，接受H0假設，反之拒絕H0假設，其中q與顯著性水平α之間關系為：q= (1-α)(B+1)。

4 性能仿真與分析

此處將利用本文提出的Bootstrap算法分別對單次正弦波頻率估計結果的可信性進行評估。仿真中，正弦波頻率設定為19.081 MHz，采樣頻率為100 MHz，初相為π/6，樣本點數(shù)1 024，信噪比從-6 dB到6 dB，顯著性水平分別取0.05，0.1，仿真次數(shù)Ns= 2 000次，其中 H0假設設定頻率估計誤差因子a=0.1，H1假設時設定頻率估計誤差因子a=0.4，每種假設各1 000次。下文中，考慮表達的簡化，如果滿足H0假設，稱為可信處理（即|Δf|≤0.25ΔF，單次頻率估計誤差較小），而滿足H1假設（即|Δf|＞0.25ΔF，單次頻率估計誤差較大）稱為不可信處理。

表1中，n00表示實際假設為H0，按前文給出的可信性檢驗算法判為H0的次數(shù)；n01表示實際假設為H0，而檢驗算法判為H1的次數(shù)；n10表示實際假設為H1，而檢驗算法判為H0的次數(shù)；n11表示實際假設為H1，檢驗算法判為H1的次數(shù)。我們把第一類錯誤定義為實際假設為H0，但利用檢驗算法判為H1，定義第二類錯誤為實際假設為H1，但利用檢驗算法判為H0，此時兩類錯誤概率Pe=(n10+ n01)/Ns。當(n11+n10)≠0，檢錯率表示為 Pd=n11/(n11+n10)，即檢測概率的大小。以兩類錯誤概率及檢錯率作為性能分析的2大指標。

表1 本文算法的統(tǒng)計性能

表1為根據(jù)本文算法得到的為缺乏真實頻率信息條件下單次正弦波頻率估計可信性評估的統(tǒng)計性能。根據(jù)仿真結果可得：當顯著性水平一定時，本文提出的正弦波頻率估計結果可信性評估算法錯誤概率隨信噪比增加而減少。將顯著性水平設定為0.05時，若信噪比為-6 dB時，本文算法可將1 000次不可信性處理結果中941次檢出，而對1 000次可信性處理結果也可將其中889次檢出，兩類錯誤概率為17%；當信噪比增加到0 dB時，利用本文算法可將1 000次不可信頻率估計結果全部檢出，檢錯率達100%，但存在第一類錯誤，即1 000次可信性處理中有50次被判為不可信，總的錯誤僅為5%；當信噪比進一步增加時，本文方法的錯誤概率及檢錯率均有提高。此外，從仿真數(shù)據(jù)來看，信噪比不變時，顯著性水平的選擇對兩類錯誤概率存在一定影響。顯著性水平大時，第1類錯誤概率增加，但第2類錯誤概率變小，總的錯誤概率增加；反之，顯著性水平小時，第1類錯誤概率減少，但第2類錯誤概率變大，總的錯誤概率減小。實際中，一般可根據(jù)情況進行折中處理，一般選擇顯著性水平在0.001到0.05之間。

5 結束語

本文將非經(jīng)典統(tǒng)計技術應用到信號盲處理結果的可信性評估中，研究了一種基于Bootstrap方法的正弦波頻率估計結果可信性評估算法。按照Bootstrap假設檢驗的流程，詳細分析了重復樣本獲取、門限設定方法，最后對算法進行了仿真，驗證了其有效性。采用Bootstrap方法無需知道統(tǒng)計量確切的概率分布及數(shù)字特征，可進行門限的自適應設定，為統(tǒng)計量概率分布無確切解析表達形式或較為復雜的情況下進行統(tǒng)計檢驗提供了可行的解決方案。需要指出的是，本方法因采用重復抽樣，在計算量上略有增加，對于非實時處理的應用性更強。

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袁迎春（1981-），女，江蘇南通人，南京信息職業(yè)技術學院講師、工程師。主要研究方向為微波技術、通信信號處理，yuanyc@njcit.cn；

胡國兵（1978-）男，江蘇高淳人，博士（博士后），現(xiàn)金陵科技學院電子信息工程學院副教授，信號認知與智能計算研究所負責人，主要從事智能信號處理等方面的研究，s0304152@jit.edu.cn。

Credibility Evaluation for Frequency Estimate of Sinusoid Based on Bootstrap Method*

YUAN Yingchun1*，HU Guobing2，ZHANG Zhaofeng1，WU Shanshan1
（1.School of Electronic Information Engineering，Nanjing College of Information Technology，Nanjing 210023，China；2.Department of Electrionic and Information Engineering,Jinling Institute of Technology,Nanjing 211169，China）

Based on Bootstrap technique，a reliability test method to evaluate the frequency estimation of the sinu?soid is proposed in this paper.The reference signal is generated depending on the frequency estimation of the sinu?soid at first.Then the correlations between the received signal and the reference signal were calculated.The test sta?tistic is defined by the ratio of the correlation between the whole samples and the half size samples.The reliability test for frequency estimate of the sinusoid signal is performed by the proposed statistic and threshold based on Boot?strap technique.Simulafion results show that the proposed method can be used to verify the reliability for blind fre?quency estimation of the sinusoid at low signal-to-noise ratio.

sinusoid frequency estimation；credibility evaluation；Bootstrap method；correlation and accumulation

TN911.6

A

1005-9490（2016）06-1375-06

1230

10.3969/j.issn.1005-9490.2016.06.019

項目來源：南京信息職業(yè)技術學院科研基金項目（YK20140103）；江蘇省自然科學基金項目（BK20160114）；江蘇省六大人才高峰第十二批次高層次人才項目（DZXX022）；江蘇高校品牌專業(yè)建設工程項目（PPZY2015C242）

2016-08-19 修改日期：2016-09-19