伍強(qiáng)華

二項(xiàng)式定理是高中數(shù)學(xué)中的一個重要的內(nèi)容，是高考中的?？贾R點(diǎn). 近幾年的高考題（尤其是全國卷Ⅰ），對這個知識點(diǎn)的考查有難度加大之勢. 本文對二項(xiàng)式定理中的幾類?？嫉念}型展開研究.

求通項(xiàng)

[（a+b）n]展開式中的第[k+1]（[k∈N*]）項(xiàng)[Cknan-kbk]叫作展開式的通項(xiàng)，用[Tk+1]表示，即[Tk+1=Cknan-kbk]. 二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)很重要，利用它可以解決很多問題.

例1 求[（x+12x4）8]的展開式中的有理項(xiàng).

分析 寫出這個二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，當(dāng)通項(xiàng)中[x]的次數(shù)為整數(shù)時，該項(xiàng)即為有理項(xiàng).

解 ∵[（x+12x4）8=（x12+12x-14）8]，

∴[Tk+1=Ck8（x12）8-k（12x-14）k=12kCk8x4-3k4].

由題意知，[4-3k4]（[k∈N*]）必為整數(shù)，故[k=0]，或[k=4]，或[k=8].

當(dāng)[k=0]時，[T1=x4]；當(dāng)[k=4]時，[T5=358x]；當(dāng)[k=8]時，[T9=1256x2].

所以展開式中的有理項(xiàng)為[x4，358x，1256x2].

點(diǎn)撥 當(dāng)二項(xiàng)式中含有根式時，要先將根式化為指數(shù)式，然后求解.

求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù)

例2 設(shè)[m]為正整數(shù)，[（x+y）2m]展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為[a]，[（x+y）2m+1]展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為[b]，若[13a=7b]，則[m=]（ ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

分析 [（a+b）n]的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)[Ckn][（k∈N*）]叫二項(xiàng)式系數(shù). 當(dāng)[n]為偶數(shù)時，展開式的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)項(xiàng)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大. 當(dāng)[n]為奇數(shù)時，展開式的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)項(xiàng)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.

解 ∵[（x+y）2m]的展開式共有[2m+1]項(xiàng)，

∴第[m+1]項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，[∴a=Cm2m].

又[（x+y）2m+1]的二項(xiàng)展開式共有[2m+2]項(xiàng)，∴第[m+1]項(xiàng)或[m+2]項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，[∴b=Cm+12m+1].

由[13a=7b]得，[13Cm2m=7Cm+12m+1]，解得[m=6].

答案 A

點(diǎn)撥 本題中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值和解含有組合數(shù)的方程是難點(diǎn). 解題過程中要注意“某項(xiàng)的系數(shù)”與“二項(xiàng)式系數(shù)”的區(qū)別.

例3 已知[（x+ax）（2x-1x）5]的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為（ ）

A. 40 B. -20 C. 20 D. 40

分析 將[（x+ax）（2x-1x）5]展開，其展開式的形式為[a0xm0+a1xm1+a2xm2+…+anxmn]. 利用賦值法，令[x=1]，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為[a0+a1+a2+…an][=（1+a）（2-1）5]，由此求出[a]，則問題可解.

解 由題意知，令[x=1]，則其展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為[（1+a）（2-1）5=2]，∴[a=1].

∴[（x+ax）（2x-1x）5=（x+1x）（2x-1x）5].

對于[（2x-1x）5]，其展開式的通項(xiàng)為[Tk+1=][Ck5（2x）5-k（-1x）k][=Ck525-k（-1）kx5-2k]. 故展開式中含[x]的一次項(xiàng)和含[x]的-1次項(xiàng)分別為[80x，-40x-1]，將它們分別與[（x+1x）]中的[1x，x]相乘得，[80x?x-1+（-40x-1）?x=40]，故所求展開式中的常數(shù)項(xiàng)為40.

點(diǎn)撥 求某個式子的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和通常使用賦值法，即賦予字母（或式子）特定的值，則可求出各項(xiàng)系數(shù)之和.

求三項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)

有關(guān)三項(xiàng)式展開式的問題，可以通過轉(zhuǎn)化，用二項(xiàng)式定理的知識或組合的知識來解決.

例4 求[（x2-4x+4）5]的展開式中[x2]的系數(shù).

分析 利用式子[x2-4x+4]的特殊性，將其轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式問題解決.

解 [∵（x2-4x+4）5=（x-2）10]，其展開式的通項(xiàng)為[Tk+1=Ck10x10-k（-2）k]，

[∴]其展開式中含[x2]的項(xiàng)為第9項(xiàng).

又[∵T9=C810x10-8（-2）8=11520x2]，

[∴x2]的系數(shù)為11520.

點(diǎn)撥 將三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式是解答本題的關(guān)鍵. 將陌生的情境轉(zhuǎn)化為熟悉的情境、陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題、陌生的知識轉(zhuǎn)化為熟悉的知識，既是化歸轉(zhuǎn)化思想的“主旨”，又是問題解決的“通法”，要加深理解，熟練掌握，靈活運(yùn)用.

例5 求[（x2+3x+2）5]展開式中的[x]的系數(shù).

分析 此例中的式子[x2+3x+2]具有一般性，可轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式問題求解，也可以回歸教材，利用排列組合知識求解.

解 方法一：由[（x2+3x+2）5=[x2+（3x+2）]5]

[=C05（x2）5+C15（x2）4（3x+2）+…+C55（3x+2）5]，

…（略）

方法二：[（x2+3x+2）5]表示5個[（x2+3x+2）]相乘，從5個[（x2+3x+2）]中各取一項(xiàng)相乘，即可得展開式中的一項(xiàng). 欲得到一次項(xiàng)，則應(yīng)從5個式子[（x2+3x+2）]中的一個里取[3x]，另外4個中取2相乘得到含[x]的項(xiàng)，即[C15（3x）?24]，化簡得240[x]. 所以展開式中[x]的系數(shù)為240.

點(diǎn)撥 將[（x2+3x+2）5]轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式問題求解有三種途徑：一是轉(zhuǎn)化為[[x2+（3x+2）]5]，二是轉(zhuǎn)化為[[（x2+2）+3x]5]，三是轉(zhuǎn)化為[[（x2+3x）+2]5]. 如何進(jìn)行轉(zhuǎn)化，應(yīng)視題意而定. 比較上述兩種解法，顯然用計數(shù)原理來解答較為簡單.

求兩個二項(xiàng)式的積的展開式中的某一項(xiàng)

例6 在[（1-x）3（1+x）8]的展開式中，[x2]的系數(shù)是[n].若[（8-nx）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn]，則[a0+a1+a2+…][+an=] .

解析 請閱讀以下的解題過程并填空，完成這道題的解答過程.

[（1-x）3]的展開式中的常數(shù)項(xiàng)[1]與[（1+x）8]的展開式中的二次項(xiàng)[28x2]相乘得[28x2].

[（1-x）3]的展開式中的一次項(xiàng)[-3x]與[（1+x）8]的展開式中的一次項(xiàng)[8x]相乘得[-24x2].

[（1-x）3]的展開式中的二次項(xiàng)[3x2]與[（1+x）8]的展開式中的常數(shù)項(xiàng)1相乘得[3x2].

[∴x2]的系數(shù)為7，[n]=7. 然后用賦值法求得[a0+a1+a2+…+an=]1.

答案 [1]

點(diǎn)撥 這種類型的問題常出現(xiàn)在課后習(xí)題中，是高考命題的“源頭之水”，要特別重視. 例5也可以將[（x2+3x+2）5]變形為[（x+1）5（x+2）5]，再用上述方法求解.

用二項(xiàng)式定理求解整除問題

例7 設(shè)[a∈Z]，且[0≤a<13]，若[512016+a]能被13整除，則[a=] .

分析 把[51]看作[52-1]，然后利用二項(xiàng)式定理將[512016]展開，再觀察展開式求解.

解 [512016+a=（52-1）2016+a]

[=C02016522016-C12016522015+…-C2015201652+C20162016+a]，

上式中除[C20162016+a]外，其余每項(xiàng)均能被13整除.

若[512016+a]能被13整除，則[1+a]也能被13整除，所以[a=12].

點(diǎn)撥 用二項(xiàng)式定理求解整除問題往往技巧性較強(qiáng)，如何轉(zhuǎn)化，應(yīng)視問題的情形而定. 通常是先展開，再考慮展開式中各項(xiàng)的整除性問題，主要是最后一項(xiàng)（或幾項(xiàng)）的整除問題. 此類問題有較為固定的轉(zhuǎn)化法則，應(yīng)多加練習(xí)，熟練掌握.