小貓能否曬到太陽

周玉俊

數(shù)學源于生活，生活中處處有數(shù)學.本文通過一道中考試題的解析與變式，探究銳角三角函數(shù)解決實際問題的思路與策略，以幫助同學們找尋和感悟通過建立數(shù)學模型解決此類問題的一般思路與方法.

中考在線：（2015·江蘇鹽城）如圖1所示，一幢樓房AB背后有一臺階CD，臺階每層高0.2米，且AC=17.2米，設太陽光線與水平地面的夾角為α.當α=60°時，測得樓房在地面上的影長AE=10米，現(xiàn)有一只小貓睡在臺階的MN這層上曬太陽.

圖1

責任編輯：彭深

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（1）求樓房的高度約為多少米？（3取1.73）

（2）過了一會兒，當α=45°時，問小貓能否還曬到太陽？請說明理由.

【分析】（1）在Rt△ABE中，α=60°，AE= 10（米），由tan60°=，即可求出AB的長度.

（2）如果把小貓看成是線段MN上的一點，小貓能否曬到太陽，關(guān)鍵是看從點B射下的光線能否經(jīng)過線段MN上的這一點，為此，需要我們構(gòu)造恰當?shù)闹苯侨切危ㄟ^具體的計算來解決問題.

【解答】（1）當α=60°時，在Rt△ABE中，

（2）當α=45°時，小貓仍可以曬到太陽.

理由如下：

解題策略一：以A為直角頂點，AB為一邊，構(gòu)造含45°角的直角三角形.

方法1：假設沒有臺階，當α=45°時，如圖2，從點B射下的光線與地面AD的交點為點F，與MC的交點為點H.

圖2

此時的影長AF=AB=17.3（米），

∴CF=AF-AC=17.3-17.2=0.1（米），

∴CH=CF=0.1（米）＜0.2（米），

∴大樓的影子落在臺階MC這個側(cè)面上，

∴小貓仍可以曬到太陽.

方法2：如圖2，在AD上取點F，使AF= AB=17.3（米），連接BF.

易知∠BFA=45°，CF=AF-AC=0.1（米），設BF與直線CM交于H點，在Rt△HCF中，CH= CF=0.1（米），

∵臺階每層高0.2米，

∴大樓的影子落在臺階MC這個側(cè)面上，

∴小貓仍可以曬到太陽.

解題策略二：過M作MG⊥AB于G點（如圖3），

圖3

構(gòu)造以G為直角頂點，GB為一邊且含45°角的直角三角形.

方法3：如圖4，當α=45°時，從點B射下的光線與MG的交點為點P，在Rt△BGP中，可求GP=GB=17.1（米），從而MP=MG-GP=0.1（米），

圖4

∴大樓的影子會落在臺階MC這個側(cè)面上.

∴小貓仍可以曬到太陽.

方法4：類似于方法2，如圖4，在GM上取點P，使PG=BG=17.3-0.2=17.1（米），連接BP，得等腰Rt△BGP，以下同方法3.

解題策略三：在直線MC上尋找α=45°時太陽光線照射的位置

方法5：如圖5，設從點B射下的光線與MC所在直線交于點F，過F點作FG⊥AB于點G，

圖5

在Rt△BGF中可求得BG=GF=17.2（米），

∴FC=GA=BA-BG=17.3-17.2=0.1（米），

∴FC＜MC，

∴大樓的影子還沒有到達點M，

∴小貓仍可以曬到太陽.

方法6：如圖6，連接BM并延長交AD于 Q，由△CMQ∽△ABQ得：，即，所以CQ≈0.2，AQ=17.4，從而得tan∠AQB＜1，所以∠AQB＜45°，故當α=45°時，從點B射下的光線必然落在臺階MC這個側(cè)面上.

∴小貓仍可以曬到太陽.

圖6

點評：本題雖是一道生活中的實際問題，但從數(shù)學的角度看，第（1）小題實質(zhì)上是在直角三角形中，已知一條直角邊和一個銳角，求另一條直角邊，用正切列出關(guān)系式即可求解；對于第（2）小題小貓能否曬到太陽，實質(zhì)是看從點B射下的光線（即射線BM）能否經(jīng)過線段MN上的點，為此，需要我們構(gòu)造恰當?shù)闹苯侨切危ㄟ^計算線段的長度來解決問題.

變式探究：

變式1：改變每層臺階的高度.假定每層臺階的高度為0.08米，原題其余條件不變，問小貓還能否曬到太陽？

變式2：改變AC的長度.將AC的長改為16.5米，并假定每層臺階的寬為0.5米（即MN= 0.5米），原題其余條件不變，問小貓還能否曬到太陽？

變式3：改變角α的度數(shù).若AC=17.1米，α＜45°，原題其余條件不變，問小貓還能否曬到太陽？

變式4：改變小貓所在的位置.若小貓睡在臺階的第二層，假定每層臺階的寬為0.5米，且AC=16.5米，原題其余條件不變，問小貓還能否曬到太陽？

說明：以上各題雖然條件各不相同，但解決問題的方法在本質(zhì)上是一致的，即構(gòu)造恰當?shù)闹苯侨切危龠\用三角函數(shù)關(guān)系計算出有關(guān)的邊和角，最后通過比較線段的長度或角的大小來求解.（結(jié)果由同學們自己探究）

由此可見，只要我們在日常的學習和生活中善于用數(shù)學的眼光去觀察世界，并能從中發(fā)現(xiàn)問題、思考問題和解決問題，不斷增強運用數(shù)學知識解決實際問題的意識和能力，我們就一定會越學越聰明，越學越快樂！

（作者單位：江蘇省東臺市教育局教研室）