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        “銳角三角函數(shù)”考點大觀察

        2016-12-22 06:21:33
        初中生世界 2016年47期

        “銳角三角函數(shù)”考點大觀察

        王國兵

        “銳角三角函數(shù)”是初中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容,也是中考考查的重點內(nèi)容.縱觀近幾年的中考數(shù)學(xué)試題,銳角三角函數(shù)的定義、特殊的三角函數(shù)值、解直角三角形以及銳角三角函數(shù)在實際問題中的運用往往是考查的重點.現(xiàn)以近兩年中考試題為例,說明如下.

        考點一銳角三角函數(shù)的定義

        圖1

        例1(2016·陜西)已知拋物線y=-x2-2x+3與x軸交于A、B兩點,將這條拋物線的頂點記為C,連接AC,則

        tan∠CAB的值為().

        D.2

        【解析】如圖1,過C點作CD⊥AB,垂足為D,由題意可求得點A(-3,0)、B(1,0)、C(-1,4),則AD=2,CD=4,在Rt△ACD中,tan∠CAB=,故選D.

        考點二特殊三角函數(shù)值

        例2(2016·山東濰坊)關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+sinα=0有兩個相等的實數(shù)根,則銳角α等于().

        A.15° B.30° C.45° D.60°

        【解析】因為方程有兩個相等的實數(shù)根,所以因為α是銳角,所以α=30°.

        考點三解直角三角形

        例3(2015·湖北)如圖2,AD是△ABC的中線

        (2)sin∠ADC的值.

        圖2

        【解析】(1)過點A作AE⊥BC,垂足為E.

        則BC=BE+CE=4. =45°,所以sin∠ADC=sin45°=

        【反思】解決這類問題關(guān)鍵是弄清三角形中線與角之間的關(guān)系,可以從一些特殊角以及特殊角所對應(yīng)的特殊三角函數(shù)值入手,層層深入,步步為營,使問題得以解決.

        考點四銳角三角函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用

        1.仰角俯角問題

        例4(2016·河南)如圖3,小東在教學(xué)樓距地面9米高的窗口C處,測得正前方旗桿頂部A點的仰角為37°,旗桿底部B點的俯角為45°,升旗前,國旗上端懸掛在距地面2.25米處,若國旗隨國歌聲冉冉升起,并在國歌播放45秒結(jié)束時到達旗桿頂端,則國旗應(yīng)以多少米/秒的速度勻速上升?(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)

        【解析】通過解Rt△BCD和Rt△ACD分別求得CD和AD的長度,得AB的長度,從而根據(jù)題意得到整個過程中旗子上升高度,由“速度=”即可求解.在Rt△BCD中,CD=BD· tan∠BCD=9tan45°=9.在Rt△ACD中,AD=CDtan∠ACD=9tan37°≈6.75,所以AB=BD+AD=9+6.75=15.75,則整個旗子上升的高度是15.75-2.25=13.5(米),因耗時45s,故國旗上升的速度v=(米/秒).

        圖3

        2.坡度坡角問題

        例5(2016·重慶)如圖4所示,某辦公大樓正前方有一根高度是15米的旗桿ED,從辦公樓頂端A測得旗桿頂端E的俯角α是45°,旗桿底端D到大樓前梯坎底邊的距離DC是20米,梯坎坡長BC是12米,梯坎坡度i=1∶3,則大樓AB的高度約為()(.精確到0.1米,

        圖4

        圖5

        A.30.6B.32.1C.37.9D.39.4

        【解析】如圖5,延長AB交DC于H,作EG⊥AB于G,則GH=DE=15米,EG=DH,設(shè)BH=x米,則CH=3x米,在Rt△BCH中,BC=12米,由勾股定理得出方程,解方程求出BH=6米,CH=63米,得到BG=9米,證得△AEG是等腰直角三角形,得到AG=EG=HD=63+20(米),即可得出大樓的高度為AB=AG+BG=63+ 20+9≈39.4(米).

        【反思】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——坡度、俯角問題.通過作輔助線,運用勾股定理求出BH、HC后,得出EG、BG是解決問題的關(guān)鍵.

        3.方向角問題

        例6(2016·四川樂山)如圖6,禁止捕魚期間,某海上稽查隊在某海域巡邏,上午某一時刻在A處接到指揮部通知,在他們東北方向距離12海里的B處有一艘捕魚船,正在沿南偏東75°方向以每小時10海里的速度航行,稽查隊員立即乘坐巡邏船以每小時14海里的速度沿北偏東某一方向出發(fā),在C處成功攔截捕魚船,求巡邏船從出發(fā)到成功攔截捕魚船所用的時間.

        圖6

        圖7

        【解析】由題意易得∠ABC=120°,AB=12,設(shè)巡邏船從出發(fā)到成功攔截捕魚船所用的時間為x小時,則BC=10x,AC=14x,在△ABC中,∠ABC=120°為一特殊角,解題時注意不破壞特殊角的特殊性,自然想到,過A點作AD⊥BC交CB延長線于點D,如圖7.

        在Rt△ABD中,

        AD=ABsin∠ABD=12sin60°=63,

        BD=ABcos∠ABD=12cos60°=6,

        CD=BC+BD=10x+6.

        在Rt△ACD中,AD2+CD2=AC2,

        答:巡邏船從出發(fā)到成功攔截捕魚船所用的時間為2小時.

        【反思】解決銳角三角函數(shù)應(yīng)用問題時,要能正確讀懂題意,理解方位角的含義,把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題加以解決,即找到已知與未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形,有時圖形中沒有直角三角形,要依托特殊角通過作高的方法構(gòu)造直角三角形解決問題.

        (作者單位:江蘇省東臺市許河鎮(zhèn)中學(xué))

        責任編輯:彭深

        email:2020748334@qq.com

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