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        學實數,悟思想

        2016-12-22 06:41:21趙軍
        初中生世界 2016年46期
        關鍵詞:有理平方根數軸

        趙軍

        學實數,悟思想

        趙軍

        一、分類思想

        例1若x是16的平方根,則5-x的平方根是____.

        【解析】因為x=±4.所以①當x=4時,5-x=1,其平方根是±1;②當x=-4時,5-x=9,其平方根是±3.故5-x的平方根是±1或±3.

        【變式練習】若||x-7=5,則x的值為_____.

        【思路點撥】絕對值等于5的數有兩個,分別是5和-5,所以要分兩種情況求解.

        【方法歸納】情況不明,分類在前.

        二、類比思想

        【解析】任何非0實數的0次冪等于1,非0實數的負指數冪的結果只需要“底倒指反”(“底倒指反”是指底數改寫成它的倒數,指數改寫成它的相反數).原式=

        【變式練習】觀察下列等式,回答問題:

        【方法歸納】(1)在實數范圍內,任何數都可進行開立方運算,任何非負數都可進行開平方運算,類比有理數的相關知識,去理解無理數、實數的相關知識;(2)遇到規(guī)律問題要有序觀察,采用各個擊破的方法找規(guī)律.

        三、整體思想

        例3求各式中x的值.(1)25(x-2)2-36=0;(2)-(x+3)3=27.

        【解析】第(1)題中把x-2視為一個整體,先求出(x-2)2的值,再開平方根求出(x-2)的值,

        【思路點撥】先注意觀察兩個根式,其被開方數分別是2x-5和5-2x,它們互為相反數,且被開方數不能為負數,故可列出不等式組,求出x的值,然后得到y(tǒng)的值,最終求出2xy的值.

        【方法歸納】解決問題時,要把注意力和著眼點放在問題的整體結構上,整體思考問題,這樣往往能使問題的解答簡潔明快.在考慮問題時,我們要有一種宏觀思維和大局意識.

        四、轉化思想

        【解析】可將兩個數分別平方,減少根號的個數,盡量把無理向有理轉化,然后去掉相同

        【變式練習】如圖1,長方體的長、寬、高分別是3、4、5,求其表面上點A到點B的最短距離.

        圖1

        圖2

        【思路點撥】這是立體圖形表面上的最值問題,解題思路應考慮將其展開,得到平面圖形后求兩點之間的距離.如圖2,展開后在RtΔABC中,求得點A到點B的最短距離為74.

        【方法歸納】把復雜問題向簡單問題轉化是我們解決問題的一種思維方式.一般而言,無理問題要向有理問題轉化,立體問題要向平面問題轉化.通過轉化,達到陌生問題熟悉化、復雜問題簡單化的目的.

        五、逼近思想

        A.段①B.段②C.段③D.段④

        【解析】本題以數軸上的點為問題背景,考查了同學們對無理數的估算能力.解答本題的關鍵在于先估算8在哪兩個數的平方之間,再確定在哪兩個數之間.對照數軸上的數字,分別計算出它們的平方:2.62=6.76,2.72=7.29,2.82=7.84,2.92=8.41,32=9.∵7.84<8<8.41,∴的點落在段③.

        A.0<m<1B.1<m<2

        C.2<m<3D.3<m<4

        【方法歸納】對無理數,尤其是根式的比較大小、確定范圍,通常要先進行“無理”化“有理”這樣一個過程,通過平方,達到“逼近”的目的,從而估算出其范圍.

        (作者單位:江蘇省東臺市新街鎮(zhèn)中學)

        責任編輯:沈紅艷見習編輯:李詩

        email:czsshy@126.com

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