張 成 汪 東 沈 川 程 鴻 陳 嵐 韋 穗

1(計(jì)算智能與信號(hào)處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(安徽大學(xué)) 合肥 230039)2(安徽省現(xiàn)代成像與顯示技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(安徽大學(xué)) 合肥 230039)(question1996@163.com)

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基于奇異值分解的可分離壓縮成像方法

張 成1,2汪 東1沈 川1程 鴻1陳 嵐1韋 穗1

1(計(jì)算智能與信號(hào)處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(安徽大學(xué)) 合肥 230039)2(安徽省現(xiàn)代成像與顯示技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(安徽大學(xué)) 合肥 230039)(question1996@163.com)

可分離壓縮傳感可以通過(guò)一定比例的額外測(cè)量有效地解決壓縮成像問(wèn)題中面臨的測(cè)量矩陣維數(shù)過(guò)大的瓶頸. 但是現(xiàn)有可分離壓縮傳感(separable compressive sensing, SCS)方法需要2個(gè)可分離的測(cè)量矩陣都必須是行歸一化后的正交隨機(jī)矩陣，其顯著地限制了該方法的應(yīng)用范圍. 將奇異值分解(singular value decomposition, SVD)方法引入可分離可壓縮傳感測(cè)量過(guò)程，可以有效地實(shí)現(xiàn)測(cè)量矩陣和重建矩陣的分離：在感知階段可以更多地考慮測(cè)量矩陣物理易于實(shí)現(xiàn)的性質(zhì)，如Toeplitz或Circulant等確定性結(jié)構(gòu)的矩陣；在重建階段，更多地考慮測(cè)量矩陣的優(yōu)化.通過(guò)引入奇異值分解對(duì)重建階段的測(cè)量矩陣進(jìn)行優(yōu)化，可以有效地改善重建性能，尤其是Toeplitz或Circulant矩陣在大尺度圖像的壓縮重建情形.數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性.

壓縮成像；可分離壓縮傳感；可分離感知矩陣；奇異值分解；確定性矩陣

壓縮成像(compressive imaging, CI)[1-2]是可壓縮傳感(compressive sensing, CS)[3]理論的一個(gè)天然分支.盡管目前已有許多CI的實(shí)現(xiàn)方案，但是設(shè)計(jì)一個(gè)有效的CI系統(tǒng)仍然是一個(gè)極具挑戰(zhàn)性的問(wèn)題.其主要困難之一是CI的實(shí)現(xiàn)過(guò)程中涉及到巨大的數(shù)據(jù)量，這對(duì)成像系統(tǒng)的光學(xué)設(shè)計(jì)、校正，數(shù)據(jù)存儲(chǔ)與計(jì)算壓力等方面都存在深遠(yuǎn)的影響.

為此，Rivenson等人[4-6]提出將可分離矩陣用于測(cè)量系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，提出可分離壓縮傳感(separable compressive sensing, SCS)方法，該方法可以顯著地降低大尺度圖像壓縮成像時(shí)面臨的測(cè)量矩陣維數(shù)問(wèn)題.但是，Rivenson方法中的可分離矩陣都必須是行歸一化后的正交隨機(jī)矩陣(row-normalized orthogonal random matrix, RNORM)[4]，從而導(dǎo)致其在實(shí)際成像過(guò)程中實(shí)現(xiàn)的高難度與高成本.RNORM的獨(dú)立元素過(guò)多，通過(guò)硬件實(shí)現(xiàn)難度大.

為解決此問(wèn)題，可以通過(guò)引入結(jié)構(gòu)化分離矩陣構(gòu)造分離矩陣，這樣可以降低隨機(jī)性，但是結(jié)構(gòu)化矩陣的引入同時(shí)也會(huì)對(duì)重建性能造成一定的負(fù)面影響.進(jìn)一步地，本文引入奇異值分解(singular value decomposition, SVD)方法，將測(cè)量矩陣和重建矩陣的設(shè)計(jì)分離：測(cè)量矩陣的設(shè)計(jì)方面更多地考慮其物理可實(shí)現(xiàn)的性質(zhì)；在圖像重建階段，更多地考慮優(yōu)化重建矩陣的性能，通過(guò)對(duì)測(cè)量矩陣與測(cè)量數(shù)據(jù)的預(yù)處理，可以有效地改進(jìn)重建性能.

1 可壓縮傳感基本理論

2006年推出的CS理論吸引了理論家的興趣和從業(yè)者的一致好評(píng)，成為了一個(gè)迅速崛起研究領(lǐng)域.CS提出了一個(gè)同步進(jìn)行信號(hào)采樣和壓縮的新框架.相比經(jīng)典框架先收集盡可能多的數(shù)據(jù)然后通過(guò)數(shù)字壓縮丟棄冗余數(shù)據(jù)技術(shù)，CS務(wù)求在獲取步驟中盡量降低多余的數(shù)據(jù)集合.

CS的主要研究?jī)?nèi)容包括稀疏表示、隨機(jī)投影矩陣和重建算法.

在CS理論中，隨機(jī)投影矩陣的性質(zhì)已被廣泛研究[7-8].隨機(jī)投影矩陣Φ的一個(gè)特別令人感興趣的性質(zhì)是它幾乎對(duì)所有可能的稀疏基Ψ的選擇都是非相干的(incoherent).在CS理論中，信號(hào)(圖像)可以通過(guò)求解下面的1范數(shù)最小化的凸優(yōu)化問(wèn)題：

s.t.g=Φf=ΦΨα,

(1)

成像矩陣Φ實(shí)際實(shí)現(xiàn)時(shí)必須考慮3方面的挑戰(zhàn)[3-4]：1)可計(jì)算性(computational).當(dāng)測(cè)量矩陣的維數(shù)較大時(shí)的存儲(chǔ)與計(jì)算問(wèn)題.2)光學(xué)實(shí)現(xiàn)(optical implementation).和成像矩陣Φ對(duì)應(yīng)的實(shí)際物理實(shí)現(xiàn)需要的獨(dú)立元素?cái)?shù)目過(guò)大，導(dǎo)致實(shí)現(xiàn)難度太大或成本太高.3)標(biāo)定(calibration).復(fù)雜度高的與成像系統(tǒng)的標(biāo)定工作所需要的工作量較大，標(biāo)定過(guò)程十分繁重與耗時(shí).

2 基于奇異值分解的可分離壓縮傳感

2.1 可分離壓縮傳感

假定一個(gè)可分離矩陣ΦLR可以表示成ΦL?ΦR，其中?符號(hào)表示Kronecker積，可以是直接乘積(direct product)或張量積(tensor product).如果ΦL是一個(gè)mL×nL矩陣，ΦR是一個(gè)mR×nR矩陣，那么ΦL和ΦR之間的Kronecker積ΦLR∈M×N(M=mLmR，N=nLnR)可以具體表示為

(2)

對(duì)于一個(gè)nL×nR維矩陣F=[f1f2…fnR]，fi∈nL×1(i=1,2,…,nR)，可以通過(guò)向量化操作將其變成N維列向量，這里向量化采用符號(hào)vec(·)來(lái)表示，其具體方式是通過(guò)堆積多維向量的列來(lái)生成：

(3)

考慮二維信號(hào)F=[f1f2…fnR]和測(cè)量向量G=[g1g2…gmR]，gi∈mL×1 (i=1,2,…,mR).F和G是f和g的矩陣表示形式.在這種情形下，式(1)可以寫(xiě)成：

G=ΦLR(F)

①

vec(G)=ΦLRvec(F)=(ΦR?ΦL)vec(F)

② Kronecker product

(4)

其中，②是根據(jù)Kronecker積的性質(zhì)得到的.于是，式(1)可以重寫(xiě)成：

(5)

2.2 奇異值分解方法

奇異值分解SVD是譜分解理論在任意矩陣上的推廣.考慮一個(gè)M×N階矩陣Φ，則其SVD分解可以表示為

(6)

其中,U是M×M階正交(酉)矩陣，V是N×N階正交(酉)矩陣，D是半正定M×N階對(duì)角矩陣.

2.3 基于SVD的可分離壓縮傳感

結(jié)合2.1節(jié)中的SCS和2.2節(jié)中的SVD，提出了基于SVD的可分離壓縮傳感方法.首先通過(guò)引入結(jié)構(gòu)化分離矩陣(如Toeplitz矩陣和Circulant矩陣等[10])構(gòu)造分離矩陣，這樣可以降低分離測(cè)量矩陣的隨機(jī)性；進(jìn)一步，引入SVD方法，將測(cè)量矩陣和重建矩陣的設(shè)計(jì)分離：測(cè)量矩陣的設(shè)計(jì)方面更多地考慮其物理可實(shí)現(xiàn)的性質(zhì)，如Toeplitz或Circulant結(jié)構(gòu)等；在圖像重建階段，更多地考慮優(yōu)化重建矩陣的性能，通過(guò)對(duì)測(cè)量矩陣與測(cè)量數(shù)據(jù)的預(yù)處理，可以改進(jìn)重建性能.

將SVD分別應(yīng)用于下面的測(cè)量模型中的左、右測(cè)量矩陣:

(7)

可以得到:

(8)

(9)

其中，UL∈mL×mL，DL∈mL×nL,VL∈nL×nL，D1L∈mL×mL，V1L∈nL×mL，V2L∈nL×(nL-mL)，UR∈mR×mR，DL∈mR×nR,VR∈nR×nR，D1R∈mR×mR，V1R∈nR×mR，V2R∈nR×(nR-mR).注意，其中0表示的是由若干個(gè)0組成的矩陣.

根據(jù)2.2節(jié)中的SVD分解，得到的前向測(cè)量過(guò)程如下：

(10)

經(jīng)過(guò)SVD分解處理后的前向測(cè)量過(guò)程變?yōu)?/p>

(11)

由于V1L和V1R都是列正交矩陣.

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證本文提出方法的有效性，本文設(shè)計(jì)了4組實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了測(cè)試.分別是：實(shí)驗(yàn)1為測(cè)試單次重建實(shí)驗(yàn)結(jié)果；實(shí)驗(yàn)2為不同下采樣率重建實(shí)驗(yàn)；實(shí)驗(yàn)3為不同尺度的重建實(shí)驗(yàn)；實(shí)驗(yàn)4為魯棒性測(cè)試實(shí)驗(yàn).

測(cè)試環(huán)境是64 b Win7操作系統(tǒng), 處理器是Intel?CoreTMi5-2320,4核、主頻3.00 GHz, 有效內(nèi)存8 GB, 測(cè)試軟件是Matlab2010a.

3.1 實(shí)驗(yàn)1：?jiǎn)未沃亟▽?shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)1的目的是通過(guò)單次重建實(shí)驗(yàn)的結(jié)果以驗(yàn)證本文提出方法的有效性.測(cè)試圖像選用標(biāo)準(zhǔn)Lena圖像進(jìn)行插值放大，最終的測(cè)試大小是1792×1792像素.測(cè)試Lena圖像在ΦL和ΦR分別是行歸一化的正交隨機(jī)矩陣(RNORM)，行歸一化的隨機(jī)高斯矩陣(row-normalized random Gaussian matrix, RNRGM)和隨機(jī)高斯矩陣獲得的測(cè)量值經(jīng)過(guò)SVD分解(random Gaussian matrix with singular value decomposition, RGM+SVD)處理過(guò)后的對(duì)比重建結(jié)果如圖1所示：

Fig. 1 Comparison results of single image reconstruction experiment using different separable measurement matrices.圖1 不同可分離測(cè)量矩陣單次圖像重建實(shí)驗(yàn)對(duì)比結(jié)果

稀疏基Ψ選用Rice大學(xué)提供的Daubechies 10的小波基RWT (rice wavelet toolbox)[11]，小波尺度為3，本文后續(xù)的實(shí)驗(yàn)也采用相同的稀疏基設(shè)置.單個(gè)分離矩陣ΦL和ΦR的下采樣率分別為srL=srR=0.6，也就是說(shuō)mL×nL=1075×1792，mR×nR=1075×1792.重建算法選用Van Den Berg 等人[12-13]提出來(lái)的SPGL1軟件包，其可以用于求解大尺度圖像的重建問(wèn)題.

在圖1中，圖1(a)是原標(biāo)準(zhǔn)Lena測(cè)試圖像，圖1(b)是2個(gè)分離矩陣矩陣ΦL和ΦR皆是RNORM時(shí)對(duì)應(yīng)的測(cè)量值，圖1(c)是圖1(b)出發(fā)使用重建算法恢復(fù)的估計(jì)圖像.圖1(d)是對(duì)應(yīng)于RNRGM的測(cè)量值，圖1(e)是RNRGM相應(yīng)的重建結(jié)果.圖1(f)是隨機(jī)高斯矩陣(未歸一化)對(duì)應(yīng)的測(cè)量值，圖1(g)是圖1(f)中的測(cè)量值經(jīng)過(guò)SVD處理后得到的新的測(cè)量值，圖1(h)是從圖1(g)出發(fā)得到的重建結(jié)果.注意，在最后一個(gè)RGM+SVD的重建實(shí)驗(yàn)中，經(jīng)過(guò)SVD處理后，相應(yīng)的測(cè)量矩陣和測(cè)量值都發(fā)生了變化，此處僅給出變化后的測(cè)量值.各重建圖像的信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)以及重建時(shí)間(time)如表1所示:

Table 1 The Comparison Results of SNR and Time of Image Reconstruction Using Different Separable Measurement Matrices

表1 不同可分離測(cè)量矩陣圖像的重建信噪比和重建時(shí)間

從表1中的數(shù)據(jù)可以看出，3種矩陣的重建質(zhì)量度量基本上是一樣的，彼此差距很小.重建時(shí)間指標(biāo)也類似.從理論上來(lái)說(shuō)，RNORM應(yīng)該具有最優(yōu)的結(jié)果，重建結(jié)果的穩(wěn)定性最有保證.這是因?yàn)檎痪仃嚲哂凶钚〉幕ハ喔梢蜃?，從而可以?yōu)化重建的性能.在最小的測(cè)量數(shù)目情形下，可以得到同樣質(zhì)量的重建圖像.由于重建時(shí)間不是本文關(guān)注的重點(diǎn)，因此后續(xù)實(shí)驗(yàn)僅關(guān)注重建結(jié)果的SNR值.

3.2 實(shí)驗(yàn)2：不同下采樣率重建實(shí)驗(yàn)

為進(jìn)一步測(cè)試本文方法的有效性，實(shí)驗(yàn)2的目的是測(cè)試本文的方法在不同采樣率下的重建性能表現(xiàn).實(shí)驗(yàn)中選用3種不同的原型矩陣，即隨機(jī)高斯矩陣(Gauss)、隨機(jī)托普利茲矩陣(Toep)和隨機(jī)循環(huán)矩陣(Circ)，后2種矩陣的隨機(jī)獨(dú)立元素相比Gauss矩陣要少得多，可以顯著降低測(cè)量矩陣的實(shí)現(xiàn)難度，是實(shí)際物理實(shí)現(xiàn)時(shí)必須考慮的一點(diǎn)，因此這里也拿來(lái)作為一種對(duì)比測(cè)試.

實(shí)驗(yàn)2中，單個(gè)分離測(cè)量矩陣的下采樣率作為實(shí)驗(yàn)中的可變參數(shù)(左右保持相同的下采樣率)，其下采樣率分別為srL=srR∈{0.5,0.6,0.7,0.8,0.9}，總的下采樣比率(sample rate, SR)β=srLsrR.每組相同參數(shù)重建實(shí)驗(yàn)分別運(yùn)行100次，取其重建SNR的均值.測(cè)試圖像選用標(biāo)準(zhǔn)Lena圖像和Cameraman圖像，圖像尺寸一組為256×256，另一組為768×768，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示：

Fig. 2 Comparison of reconstruction experiments under different sampling rate.圖2 不同下采樣率下的對(duì)比重建實(shí)驗(yàn)

從圖2可以看出，隨著總采樣率β的變大，所有矩陣的平均重建SNR都逐漸提高.該趨勢(shì)也符合CS理論中的測(cè)量越多，測(cè)量值中所包含原圖像信息越多的原則.另一方面，對(duì)于隨機(jī)Gauss矩陣而言，在不同下采樣因子的情形下，RNRGM和采用SVD之間的差別不大.

但是對(duì)隨機(jī)托普利茲矩陣(Toep)和隨機(jī)循環(huán)矩陣(Circ)矩陣而言，在較低分辨率(256×256)時(shí)，從圖2(a)和圖2(b)可以看到，加上SVD預(yù)處理步驟略優(yōu)于未加的SVD的結(jié)果，實(shí)際差距非常小.這是因?yàn)樵诘头直媛是樾蜗?，SVD提供的優(yōu)化性能有限，差別并不明顯.但是，當(dāng)分辨率變大(768×768)時(shí)，二者之間的差距開(kāi)始非常顯著，本文的方法對(duì)于確定性矩陣(Toep和Circ矩陣)而言，要遠(yuǎn)優(yōu)于未加上SVD步驟的方法，其平均信噪比有顯著的提高，表現(xiàn)出非常有吸引力的穩(wěn)定性.

3.3 實(shí)驗(yàn)3：不同尺度的重建實(shí)驗(yàn)

設(shè)計(jì)第3組實(shí)驗(yàn)的目的是測(cè)試本文提出的方法在不同圖像尺度情形下的重建結(jié)果.圖像的基本尺寸是256×256，然后分別放大×1，×2，×3，×4，×5，×6，×7共7個(gè)級(jí)別.×4的意思就是圖像的水平和垂直方向都被放大4倍，即1024×1024，其余以此類推.左右分離矩陣的下采樣率分別為srL=srR=0.7，總下采樣比率β=0.49.實(shí)驗(yàn)同樣選取隨機(jī)高斯矩陣(Gauss)、隨機(jī)托普利茲矩陣(Toep)和隨機(jī)循環(huán)矩陣(Circ)來(lái)作對(duì)比測(cè)試.測(cè)試圖像選用標(biāo)準(zhǔn)Lena圖像和Cameraman圖像，每組實(shí)驗(yàn)獨(dú)立運(yùn)行100次，計(jì)算其平均SNR，測(cè)試曲線如圖3所示：

Fig. 3 Comparison of reconstruction experiments under different scale factors.圖3 不同尺度下的對(duì)比重建實(shí)驗(yàn)

從圖3可以看出，對(duì)隨機(jī)高斯矩陣(Gauss)而言，不同圖像尺寸下仍然保持了較好的平均重建SNR，總體趨勢(shì)符合測(cè)量數(shù)目越多，包含信息越多的特點(diǎn)；但是隨機(jī)托普利茲矩陣(Toep)和隨機(jī)循環(huán)矩陣(Circ)無(wú)論是在Lena圖像還是Cameraman圖像上的測(cè)試結(jié)果都表現(xiàn)出非常明顯的不穩(wěn)定性.

這是由于這2類矩陣(Toep和Circ)獨(dú)立元素的數(shù)目要遠(yuǎn)少于隨機(jī)高斯矩陣：一方面，這帶來(lái)了有利的一面是降低了測(cè)量矩陣的隨機(jī)性，從而可以降低前端測(cè)量物理實(shí)現(xiàn)的難度與成本；但是另一方面，隨機(jī)性的降低也導(dǎo)致有部分信息不能進(jìn)一步地被成功提取出來(lái)以提高重建圖像的細(xì)節(jié)信息，因此導(dǎo)致在大尺度情形下平均重建SNR的波動(dòng).圖像尺寸越大，這一點(diǎn)也表現(xiàn)得越明顯.隨著圖像尺寸的增大，采用本文的方法可以非常顯著地提高重建信噪比，表現(xiàn)出非常優(yōu)越的穩(wěn)定性.

3.4 實(shí)驗(yàn)4：魯棒性測(cè)試

實(shí)驗(yàn)4是用于魯棒性測(cè)試的.其具體步驟是給原圖像附加一定信噪比的噪聲，然后按照SCS的方法進(jìn)行測(cè)量與重建，統(tǒng)計(jì)其平均信噪比.測(cè)試圖像選用Lena圖像和Cameraman圖像.圖像的大小都是256×256像素，左右分離矩陣的下采樣率分別為srL=srR=0.7.測(cè)試矩陣仍采用隨機(jī)高斯矩陣(Gauss)、隨機(jī)托普利茲矩陣(Toep)和隨機(jī)循環(huán)矩陣(Circ).

輸入圖像的SNR(Input SNR)分別為10 dB，15 dB，20 dB，25 dB，30 dB，35 dB，40 dB.該噪聲是通過(guò)Matlab中的Fn=awgn(F,snr,“measured”)命令附加上相應(yīng)的隨機(jī)高斯噪聲.其中F表示原圖像，snr表示給定的輸入信噪比.由于隨機(jī)噪聲的不確定性，本實(shí)驗(yàn)中重新統(tǒng)計(jì)加噪聲和未加噪聲測(cè)量值之間的信噪比作為最終的輸入信噪比.每組實(shí)驗(yàn)獨(dú)立運(yùn)行100次，計(jì)算其平均SNR，實(shí)驗(yàn)曲線如圖4所示.

Fig. 4 Robustness testing experiment.圖4 魯棒性測(cè)試實(shí)驗(yàn)

從圖4可以看出，隨著輸入SNR的提高，各測(cè)試矩陣的平均重建SNR也逐漸提高；但是，可以很明顯地看出來(lái)，本文提出的方法有非常優(yōu)越的穩(wěn)定性，尤其是在較高輸入SNR的情形下，可以非常充分地提取原圖像的細(xì)節(jié)信息得到更高的重建信噪比.

4 結(jié) 論

本文提出一種基于SVD的可分離、可壓縮傳感方法，可以用于圖像的分離可壓縮傳感與重建.其基本思想是采用SVD分解方法對(duì)左、右分離測(cè)量矩陣分別進(jìn)行預(yù)處理，從而得到優(yōu)化后的測(cè)量矩陣與測(cè)量值，其中改進(jìn)后的測(cè)量矩陣是行正交的(行數(shù)小于列數(shù)).使用該方法可以有效地實(shí)現(xiàn)測(cè)量矩陣和重建矩陣的有效分離：在采集階段，測(cè)量矩陣的設(shè)計(jì)方面更多地考慮其物理可實(shí)現(xiàn)的性質(zhì)，如托普利茲矩陣或循環(huán)矩陣等；在圖像重建階段，更多地考慮優(yōu)化重建矩陣的性能.一系列的數(shù)值測(cè)試結(jié)果表明本文方法的有效性，尤其是在獨(dú)立元素較少的確定性測(cè)量矩陣(托普利茲和循環(huán))的大尺度圖像重建重建結(jié)果上更具有突出優(yōu)勢(shì)，表現(xiàn)出卓越的穩(wěn)定性.

[1]Romberg J. Compressive sensing by random convolution[J]. SIAM Journal on Imaging Sciences, 2009, 2(4): 1098-1128

[2]Zhang Cheng, Zhang Fen, Shen Chuan, et al. Binary pure phase encoding compressive imaging in frequency domain [J]. Journal of Computer Research and Development, 2014, 51(9): 2070-2080 (in Chinese)(張成, 張芬, 沈川, 等. 頻域二元純相位編碼壓縮成像[J]. 計(jì)算機(jī)研究與發(fā)展, 2014, 51(9): 2070-2080)

[3]Candès E J, Wakin M B. An introduction to compressive sampling[J]. IEEE Trans on Signal Processing Magazine, 2008, 25(2): 21-30

[4]Rivenson Y, Stern A. Compressed imaging with a separable sensing operator[J]. IEEE Trans on Signal Processing Letters, 2009, 16(6): 449-452

[5]Rivenson Y, Stern A. Practical compressive sensing of large images[C/OL] //Proc of the 16th Int Conf on Digital Signal Processing. 2009: 1-8 [2013-10-21]. http://ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnu mber=5201205

[6]August Y, Vachman C, Rivenson Y, et al. Compressive hyperspectral imaging by random separable projections in both the spatial and the spectral domains[J]. Applied Optics, 2013, 52(10): D46-D54

[7]Donoho D. Compressed sensing[J]. IEEE Trans on Information Theory, 2006, 52(4), 1289-1306

[8]Candès E, Romberg J, Tao T. Robust uncertainty principles: Exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information[J]. IEEE Trans on Information Theory, 2006, 52(2): 489-509

[9]Goodman J W. Introduction to Fourier Optics[M]. Chicago: Roberts and Company Publishers, 2005

[10]Zhang Cheng, Yang Hairong, Wei Sui. Compressive double-lens imaging using circulant-toeplitz-block phase mask[J]. Acta Optica Sinica, 2011, 31(8): 0811001 (in Chinese)(張成, 楊海蓉, 韋穗. 循環(huán)-托普利茲塊相位掩模可壓縮雙透鏡成像[J]. 光學(xué)學(xué)報(bào), 2011, 31(8): 0811001)

[11]Baraniuk R, Choi H, Neelamani R, et al. Rice wavelet toolbox[OL]. [2012-10-21]. http://dsp.rice.edu/software/rice-wavelet-toolbox

[12]van den Berg E, Friedlander M P. Probing the Pareto frontier for basis pursuit solutions[J]. SIAM Journal on Scientific Computing, 2008, 31(2): 890-912

[13]van den Berg E, Friedlander M P. Sparse optimization with least-squares constraints[J]. SIAM Journal on Optimization, 2011, 21(4): 1201-1229Zhang Cheng, born in 1984. Received his PhD degree in the School of Electronics and Information Engineering from Anhui University in 2012. Lecturer in the School of Electronics and Information Engineering, Anhui University. His main research interests include compressed sensing, matrix completion, optical imaging and phase retrieval.

Wang Dong, born in 1993. Master candidate in the School of Electronics and Information Engineering, Anhui University. His main research interests include compressive holography and 3D imaging (729989855@qq.com).

Shen Chuan, born in 1986. Received his PhD degree in the School of Electronics and Information Engineering from Anhui University in 2015. Lecturer in the School of Electronics and Information Engineering, Anhui University. His main research interests include holographic imaging and signal processing (shenchuan2502@163.com).

Cheng Hong, born in 1981. Received her PhD degree in the School of Electronics and Information Engineering from Anhui University in 2012. Associate professor in the School of Electronics and Information Engineering, Anhui University. Her main research interests include transport of intensity equation(TIE).

Chen Lan, born in 1976. PhD candidate in the School of Electronic and Optical Engineering, Nanjing University of Science and Technology. Lecturer in the School of Electronics and Information Engineering, Anhui University. Her main research interests include compressive sensing.

Wei Sui, born in 1946. Graduated from Nanjing Industrial College (now South-east University) in 1970. Professor in Anhui University and member of doctoral faculty. Her main research interests include computer vision and imaging & display.

Separable Compressive Imaging Method Based on Singular Value Decomposition

Zhang Cheng1,2, Wang Dong1, Shen Chuan1, Cheng Hong1, Chen Lan1, and Wei Sui1

1(Key Laboratory of Intelligent Computing & Signal Processing (Anhui University), Ministry of Education, Hefei 230039)2(KeyLaboratoryofModernImagingandDisplayingTechnologyofAnhuiProvince(AnhuiUniversity),Hefei230039)

When facing the compressive imaging problem that the measurement matrix has too large dimension, separable compressive sensing (SCS) can effectively achieve this problem at a cost of a certain percentage of additional measurements. However, the both separable measurement matrices in existing separable compressive sensing method should be row-normalized orthogonal random matrix, which limits its application significantly. In this paper, the method of singular value decomposition (SVD) is introduced into separable compressive sensing measurement process, which can effectively achieve the separation of measurement matrix and reconstruction matrix: the design of the measurement matrix in sensing stage is more to consider the physical properties for easy implementations, such as the deterministic structure of Toeplitz or Circulant matrices and etc; in the reconstruction stage, it is more to consider the optimization of reconstruction matrix. Through the introduction of singular value decomposition method to optimize the measurement matrix in reconstruction stage, the reconstruction performance can be effectively facilitated, especially for Toeplitz and Circulant matrix in large-scale image compressive reconstruction. Numerical results demonstrate the validity of our proposed method.

compressive imaging (CI); separable compressive sensing (SCS); separable sensing matrix; singular value decomposition (SVD); deterministic matrices

2015-06-01；

2015-12-16

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(U1201255,61301296,61377006,61501001,61605002)；安徽省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(1608085QF161)；安徽省高等學(xué)校自然科學(xué)研究項(xiàng)目(KJ2015A114,KJ2016A029) The work was supported by the National Natural Science Foundation of China (U1201255, 61301296, 61377006，61501001, 61605002), the Natural Science Foundation of Anhui Province (1608085QF161), and the Natural Science Research Project of the Colleges and Universities of Anhui Province (KJ2015A114, KJ2016A029).

韋穗(swei@ahu.edu.cn)

TP391; TN911.7