楊彥龍，陳治友

(1.貴州大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,貴州 貴陽(yáng) 550025；2.貴陽(yáng)學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 貴州 貴陽(yáng) 550005)

?

圖像拓?fù)湟饬x下KKM點(diǎn)集的通有穩(wěn)定性

楊彥龍1，陳治友2

(1.貴州大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,貴州 貴陽(yáng) 550025；2.貴陽(yáng)學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 貴州 貴陽(yáng) 550005)

為了獲得在圖像拓?fù)湟饬x下上半連續(xù)KKM映射的KKM點(diǎn)集的通有穩(wěn)定性，即在Baire分類意義下，絕大多數(shù)KKM映象的KKM點(diǎn)都是本質(zhì)的。通過(guò)構(gòu)造上半連續(xù)KKM映射G所組成的集合M, 并定義M上的KKM映射的圖像之間的Hausdorff度量,證明了M是完備度量空間。然后利用usco方法,在證明了M上的KKM點(diǎn)集映射F是緊值上半連續(xù)的,從而由Fort定理得到F在M上是通有連續(xù)的, 即F是通有穩(wěn)定的。

圖像拓?fù)?；通有穩(wěn)定性；本質(zhì)KKM點(diǎn)；剩余集；上半連續(xù)

0 引 言

1929年波蘭數(shù)學(xué)家Kanaster, Kuratowski和Mazurkiewicz首次證明了KKM定理[1], 并由此形成的KKM技巧以及各種形式的理論推廣[2-6], 特別是Ky Fan將該定理推廣至無(wú)限維空間后[7], KKM技巧及理論在非線性分析中得到了更加廣泛的應(yīng)用。比如變分問(wèn)題、最佳逼近問(wèn)題、均衡問(wèn)題等都可以轉(zhuǎn)化為KKM問(wèn)題。另一方面, 許多非線性問(wèn)題的解并不唯一, KKM問(wèn)題的解也是如此,例如Nash平衡問(wèn)題解的不唯一性, 使得博弈論專家們不得不考慮解的“精煉”問(wèn)題, 也就是如何尋找穩(wěn)定的解。在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中, 收集信息、構(gòu)造模型及計(jì)算求解等過(guò)程中, 不可避免地出現(xiàn)與實(shí)際問(wèn)題有出入的“擾動(dòng)”。基于以上原因, 在[8-13]等工作的基礎(chǔ)上, 特別是Yu和Xiang在[9]中考慮KKM映射的擾動(dòng), 本文利用圖像拓?fù)? 證明了在Baire分類意義下, 絕大多數(shù)KKM映射都是本質(zhì)的。下面先給出必要的預(yù)備知識(shí),然后考慮上半連續(xù)KKM映射的圖像擾動(dòng), 即在圖像拓?fù)湟饬x下, 利用usco方法, 證明上半連續(xù)KKM映射的KKM點(diǎn)集的通有穩(wěn)定性。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)X為Banach空間，記CL(X)表示X所有非空閉集的全體, K(X)表示X所有非空緊子集的全體。CL(X)和K(X)上的拓?fù)溆蒆ausdorff度量產(chǎn)生。

引理1[14]設(shè)(X,d)為度量空間，則

(1) (CL(X),Hd)完備當(dāng)且僅當(dāng)(X,d)完備；

(2) (K(X),Hd)在(CL(X),Hd)中閉。

設(shè)(X,d)和(Y,ρ)是兩個(gè)度量空間，2Y表示Y中所有非空子集。F:X→2Y是一個(gè)集值映射。

定義1 (1)如果對(duì)于Y中的任意開集O，O?F(x)，存在x在X中的開鄰域U，使得任意x′∈U，有O?F(x′)，則稱F在x是上半連續(xù)的；(2)如果對(duì)于Y中的任意開集O，O∩F(x)≠φ，存在x在X中的開鄰域U，使得任意x′∈U，有O∩F(x′)≠φ，則稱F在x是下半連續(xù)的；(3)如果F在x既上半連續(xù)又下半連續(xù)，則稱F在x是連續(xù)的；(4)如果對(duì)任意x∈X，F(xiàn)(x)是緊集，且F在x是上半連續(xù)的，則稱F是一個(gè)usco映射。

集值映射f的圖像記為:

Graphf={(x,y)|y∈f(x),x∈X}。

引理3[11]設(shè)X緊Hausdorff拓?fù)淇臻g, 集值映射f:X→2X為閉值上半連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)Graphf閉。

引理4(Fort定理)[12]設(shè)X為Hausdorff拓?fù)淇臻g, Y為度量空間, f:Y→2X為緊值上半連續(xù)映射, 則使存在X的剩余集Q, 使得F在Q上下半連續(xù)。

進(jìn)而, 若Y還是完備的, 則Q是稠密的。此時(shí)稱F是通有下半連續(xù)的, 也即是通有連續(xù)的。

2 主要結(jié)果

本節(jié)總是設(shè)X為賦范空間的一非空緊子集, 定義集合:

M={G:X→2X|G為閉值上半連續(xù)KKM映射}。

?G1,G2∈M, 定義距離:

ρg(G1,G2)=Hd(GraphG1,GraphG2)。

其中Hd(·,·)為Hausdorff距離。

定理1 (M,ρg)為完備度量空間。

證明: 設(shè){Gn}為M中任意一個(gè)Cauchy序列, 于是Gn為閉值上半連續(xù)映射。根據(jù)引理3可知, GraphGn為X×X中的緊集, 所以{GraphGn}為(K(X×X),Hd)中的一Cauchy列。由引理1知, 必存在某一緊集D2∈K(X×X)，使得

grap(Gn)→D2。

定義集值映射:

G(x)={y|(x,y)∈D2,x∈X}。

顯然, G為X上的閉值上半連續(xù)映射。

下面證明G為KKM映射。

假設(shè)G不是KKM映射, 則存在

x1,x2,…,xm∈X,

{(xj,x0)}∈GraphGnj

由引理2可知, 必有{(xj,x0)}∈GraphG, 即x0∈G(xj), 這與假設(shè)矛盾, 故(M,ρg)為完備度量空間。

對(duì)于任意G∈(M,ρg), 由KyFan定理[3]可知, KKM點(diǎn)總是存在的。

定義1設(shè)X為賦范空間的一非空緊子集。

(1) 對(duì)于G∈M，稱點(diǎn)y∈F(G)是關(guān)于M的本質(zhì)KKM點(diǎn), 如果對(duì)y的任意鄰域U(y), 都存在δ>0,使得對(duì)每一G′∈M,只要

ρg(G,G′)<δ

就有F(G′)∩U(y)≠φ成立；

(2)稱G關(guān)于M是本質(zhì)的, 如果每一個(gè)y∈F(G)都是關(guān)于M的本質(zhì)KKM點(diǎn)。

由定義1及下半連續(xù)和連續(xù)的定義可得以下結(jié)論。

引理5 (1) G關(guān)于M是本質(zhì)的當(dāng)且僅當(dāng)F在G是下半連續(xù)的；

(2) 若F在M是上半連續(xù)的, 則F在G處連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)G關(guān)于M是本質(zhì)的。

定理2 F為M上的usco映射(即是緊值上半連續(xù)映射)。

證明: 因?yàn)?x∈X,G(x)為緊度量空間X中的閉集, 所以F(G)為緊集。

下面證明F為M上的上半連續(xù)映射。

這樣就得到一個(gè)收斂于G0的Cauchy列{Gn}。由yn∈F(Gn)可知

X×{yn}?GraphGn

且{X×{yn}}為X×X中的緊子集列。由X×X中的度量定義及引理1可知，{X×{yn}}存在收斂子列{X×{ynk}}收斂于X×{y0}。

不妨就設(shè)為{X×{ynk}}收斂于X×{y0}, 則必有X×{y0}?GraphG0。

如果X×{y0}?GraphG0，則存在

(x0,y0)∈X×{y0}

但(x0,y0)?GraphG0。由上構(gòu)造可知

(x0,ynk)∈GraphGnk

且(x0,ynk)收斂于(x0,y0), 及GraphGnk收斂于GraphG0。由引理2可得(x0,y0)∈GraphG0。

所以X×{y0}?GraphG0,即y0∈F(G0)。

故{ynk}為收斂于y0的Cauchy列, 這與假設(shè)F(G0)?U但yn?U矛盾。

因此F(G)為usco映射。

由定理1、2及引理4、5可得以下主要結(jié)果。

定理3存在M的一個(gè)稠密剩余集Q, 使得對(duì)于任意G∈Q, G的KKM點(diǎn)均為本質(zhì)點(diǎn)。

由于完備度量空間中的剩余集為稠密集, 因此證明了在Baire分類意義下, 絕大多數(shù)KKM映射的KKM點(diǎn)是本質(zhì)的。

3 結(jié)論

本文在[9]工作的基礎(chǔ)上，改進(jìn)了上半連續(xù)KKM映射的擾動(dòng)范圍，推出了圖像拓?fù)湟饬x下上半連續(xù)KKM映射的KKM點(diǎn)集的通有穩(wěn)定性，即在Baire分類意義下，絕大多數(shù)KKM映象的KKM點(diǎn)都是本質(zhì)的。

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The Generic Stability of the Set of KKM Points in the Sense of Graph Topology

YANG Yan-long1，CHEN Zhi-you2

(1.College of Computer Science and Technology, Guizhou University, Guiyang 550025, China; 2. College of Mathematics and Information Science, Guiyang University, Guiyang 550005, China)

In this paper, we prove that KKM mappings with upper semicontinuous are generic stability with respect to the graph topology, i.e, in the sense of Baire category, for most KKM mappings, all their KKM points are essential. First, we define a Hausdorff-metric space M consisted of all upper semicontinuous KKM mappings, and prove that M is a complete metric space. Then we denote by F(G) the set of all KKM points of G, using of usco approach, and prove that F is compact and upper semicontinuous, therefore, obtain that F is generic stability on M by use of Fort theorem.

graph topology; generic stability; essential KKM point; residual set; upper semi-continuous

2014-05-20

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目：“基于有限理性的Nash平衡精煉與群智能算法研究”(項(xiàng)目編號(hào)：11561013)；貴州省科技廳基金項(xiàng)目“T-凹空間中若干非性問(wèn)題的研究”(項(xiàng)目編號(hào)：黔科合J字[2014]2005); 省科技聯(lián)合計(jì)劃項(xiàng)目：“T-凹空間中集值映射弱Ky-Fan點(diǎn)的存在性研究”(項(xiàng)目編號(hào)：黔科合LH字[2015]7298)。

楊彥龍(1980-)，男，河南臨潁人，講師、碩士。主要研究方向：非線性分析與對(duì)策論。

O177.91

A

1673-6125(2016)03-0001-03