劉曉斌，師應龍，邢永忠，路飛平

(天水師范學院 物理系，甘肅 天水 741001)

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電子相對論徑向波函數(shù)的基本特征

劉曉斌，師應龍，邢永忠，路飛平

(天水師范學院 物理系，甘肅 天水 741001)

利用相對論平均自洽場理論，研究了電子相對論徑向波函數(shù)的基本特征.電子相對論徑向波函數(shù)大小分量的數(shù)量級通常相差懸殊且不“同步”，核外電子的徑向分布沒有嚴格的零概率點；束縛電子相對論徑向波函數(shù)大小分量的節(jié)點個數(shù)為n-l-1、波腹個數(shù)為n-l，而自由電子的節(jié)點和波腹數(shù)則趨于無窮大.電子相對論徑向波函數(shù)反映了相對論效應的基本特征：相對論效應越強，小分量振幅相對越大，自由電子徑向波函數(shù)振蕩越劇烈.

狄拉克方程；相對論自洽場；徑向波函數(shù)；節(jié)點；波腹

量子力學的基本原理之一，就是微觀體系的狀態(tài)可用希爾伯特空間的波函數(shù)完全描述，從波函數(shù)可以得到微觀體系的所有性質(zhì)：只要知道波函數(shù)，則體系的其他物理量如能量、截面以及躍遷概率等原則上均可確定.作為量子力學的基本方程，薛定諤方程深刻地揭示了微觀世界物質(zhì)運動的基本規(guī)律，打破了以往看來十分神秘的微觀世界，為波動力學的建立奠定了基礎(chǔ).實驗表明，只要微觀粒子的運動速度遠比光速小，薛定諤方程就是一個很好的近似，可成功地描述許多微觀現(xiàn)象，甚至對低能核物理中的一些現(xiàn)象也能做出令人滿意的解釋.但研究高能粒子的行為須用相對論量子力學，此時描述微觀粒子運動的波動方程對洛倫茲變換必須協(xié)變，而薛定諤方程中時間和空間并非對稱，對時間坐標的求導為一次，而空間為二次，很顯然不符合相對論協(xié)變性要求[1].狄拉克方程就是為了推廣薛定諤方程使其符合相對論協(xié)變性要求而提出的，是相對論性的量子力學波動方程[2].對于高能領(lǐng)域如核聚變、粒子的高能碰撞以及高溫等離子體等，由于粒子的速度非常高，相對論效應十分明顯，此時粒子的運動須用狄拉克方程描述.

與非相對論性的薛定諤方程相似，如果將狄拉克方程中的ψ看作態(tài)的波函數(shù)，則ψ*ψ為概率密度，可將狄拉克方程作為單粒子運動的波動方程，這也能說明氫能級的精細結(jié)構(gòu)等重要的物理問題.但將ψ*ψ理解為概率密度意味著在一定程度上粒子有確定的位置，根據(jù)不確定關(guān)系其動量必存在一定的不確定性，足夠大的動量將使粒子的能量大于其二倍靜止能量并導致粒子的產(chǎn)生，此時討論單粒子的問題將失去精確的物理意義；為克服負能態(tài)的困難，狄拉克對“真空”做了新的理論解釋：真空并非一無所有，真空是沒有任何場量子被激發(fā)的狀態(tài)，或所有的場都處于基態(tài)即為物理上的“真空”.狄拉克“真空”不空的物理思想包含了極為豐富的物理內(nèi)容，任何物理上可測量到的量相當于對“真空”態(tài)的偏離.所以在相對論情形中場的概念不可避免，理論內(nèi)在的自洽性要求將狄拉克方程理解為場方程，再進行量子化.盡管如此，在一些問題中如果粒子的產(chǎn)生和湮沒等現(xiàn)象的影響不是很嚴重，狄拉克方程的單粒子理論還是取得了很大成功：狄拉克方程隱含了電子自旋，從理論上可直接得出電子存在自旋運動及內(nèi)秉磁矩，并預言了正電子的存在等.正因如此，狄拉克方程在很長時間內(nèi)被人們視為唯一值得信賴的相對論波動方程.

1 理論方法

原子的能量由組成原子的各粒子間的相互作用決定，而通常這種相互作用非常復雜，如果不進行必要的簡化，就會使相關(guān)的理論研究變得極為困難甚至不可能.早期采用單電子零級近似：忽略了電子間的相互排斥作用，認為各電子在原子核外完全“獨立”地運動，這種近似處理與客觀實際相差較大,其結(jié)果必然相當粗糙.合理可行的方法就是采用獨立電子的中心場模型：考慮了電子間的相互排斥作用，但將這種相互作用作了必要的理論簡化處理,認為電子獨立地在原子核與其他電子的平均勢場中運動，其他電子對第i個電子的排斥作用從原子核發(fā)出，顯然這種理論模型比單電子零級近似更接近物理實際.中心場近似為簡化多電子原子提供了一個相當成功的量子力學模型，在物質(zhì)結(jié)構(gòu)的理論研究中得到了廣泛應用.在中心場模型下，如果知道原子中相關(guān)電子的波函數(shù)，即可通過一定的理論計算而知道電荷分布，并進一步推導出其激發(fā)的平均勢；根據(jù)平均勢也可以計算出電子的電荷分布、進而知道波函數(shù).這說明原子中電子的波函數(shù)與平均勢相互依存并彼此制約：電子波函數(shù)所確定的平均勢與由平均勢所確定的波函數(shù)必須相互協(xié)調(diào)或自洽，這就是自洽場(self-consistent field,SCF)理論的物理思想.滿足這個條件的微觀體系的平均勢能場稱為自洽場，按照這種物理思想所設(shè)計的計算方法為自洽場方法.自洽場理論模型更好地考慮了電子間的相互作用，其計算結(jié)果通常具有很高精度.相對論自洽場理論本質(zhì)上是獨立電子的平均自洽場模型，與非相對論性自洽場理論模型下的電子波函數(shù)不同，單電子的相對論波函數(shù)為[3]

(1)

(2)

獨立電子的中心場模型最多是一種理論近似(僅對氫原子嚴格成立，對其他原子則未必如此)：沒有很好地考慮電子間的相互關(guān)聯(lián)，例如減小平行自旋電子相互接近概率的泡利關(guān)聯(lián)、電子間相互作用的庫侖關(guān)聯(lián)等[4]；原子中的相關(guān)電子除受到核的中心勢外，通常還會受到自旋-軌道、核自旋、外電磁場以及電子間的相互排斥等非中心勢的作用[5].在中心場近似下，電子相對論波函數(shù)的角向和徑向部分可分離，分離后的相對論角向波函數(shù)對所有原子均相同，而不同原子或相同原子不同狀態(tài)的相對論徑向波函數(shù)通常不同，即相對論徑向波函數(shù)的求解更具物理上的實際意義.當電子在中心場U(r)中運動時，狄拉克方程可表示為[2]

(3)

(4)

εnk為電子在nκ相對論次殼層的軌道能量，Vscf(r)為自洽勢； 通常束縛態(tài)電子只能處于原子核外一定區(qū)域，電子在非?？拷瓦h離核的區(qū)域出現(xiàn)的概率幾乎為零，而自由電子的波函數(shù)則可延伸到無窮遠處.對多電子原子中的束縛電子，此方程只能通過自洽場迭代數(shù)值求解；自由電子由于其動能已知，不需通過迭代過程而只需積分即可得到波函數(shù).一般而言，自洽場勢有多種近似方法[7]，但主要為起決定作用的核吸引的庫侖勢、較小的電子-電子排斥庫侖勢以及局部交換勢.

2 計算結(jié)果及討論

利用上述理論方法，本文研究了相對論徑向波函數(shù)的基本特征.主要內(nèi)容包括以下兩方面.

2.1 相對論徑向波函數(shù)的一般特征

狄拉克方程中的波函數(shù)為4分量函數(shù)，在中心場近似下可將電子相對論波函數(shù)的角向和徑向部分分離.圖1是Na(1s22s22p63s)的3s電子及Na1+(1s22s22p6)的勢場中動能為ε=0.001 Hartree的自由電子相對論徑向波函數(shù)的大分量P(r)和小分量Q(r)；為便于比較，我們將徑向波函數(shù)的小分量Q(r)乘了50(后面有類似情況)；徑向距離和電子能量采用了原子物理的理論研究中通常采用的原子單位，分別為a0=0.529×10-10m 和ε0=27.211 eV=1 Hartree.可以看出：電子相對論徑向波函數(shù)的大分量與小分量的數(shù)量級相差非常懸殊，在通常情況下大分量起主導作用；與非相對論的情況相同，束縛電子相對論徑向波函數(shù)大小分量均有n-l-1=3-0-1=2個節(jié)點、n-l=3-0=3個波腹，當徑向距離增大到一定程度時徑向波函數(shù)迅速趨于零；自由電子相對論徑向波函數(shù)的大小分量有無窮多個節(jié)點和波腹，在靠近核的區(qū)域波函數(shù)振幅較小，遠離核時波函數(shù)振幅略有增大趨勢；相對論徑向波函數(shù)的大小分量明顯地不同步，即在相對論情況下核外電子的徑向概率分布P2(r)+Q2(r)沒有嚴格意義的零概率點.這是因為自由電子可到達原子核外任何距離處，波函數(shù)可以延伸到無窮遠，其主量子數(shù)n由于失去確定性而趨于無窮大，相對論徑向波函數(shù)大小分量的節(jié)點數(shù)n-l-1及波腹數(shù)n-l即為無窮，具體表現(xiàn)為波函數(shù)振蕩劇烈；束縛電子通常只能處于原子核附近的一定區(qū)域，其主量子數(shù)n具有確定值，相對論波函數(shù)大小分量的節(jié)點和波腹數(shù)也確定.通常情況下，自由電子由于距離原子核較遠，很難靠近原子核，從而使其在近核區(qū)域的徑向波函數(shù)振幅較小，這也是主量子數(shù)n較大時束縛電子波函數(shù)所具備的基本特征.

圖1 Na(1s22s22p63s)的3s電子以及Na1+(1s22s22p6)的勢場中動能為0.001Hartree的自由電子εs的相對論徑向波函數(shù)的大小分量.為便于比較，小分量徑向波函數(shù)乘了50

2.2 相對論效應較強時徑向波函數(shù)的特征

束縛電子所感受到的核勢場越強、自由電子的動能越大，則意味著相對論效應越明顯.圖2是Fe15+(1s22s22p63s)的3s電子相對論徑向波函數(shù)的大小分量，由于Fe15+(1s22s22p63s)為高離化態(tài)離子，其離化度較高，核外電子所感受到的有效核電荷較一般離子(原子)的大的多，即相對論效應對電子的影響應較強.與圖1中Na(1s22s22p63s) 的3s電子相比，可以發(fā)現(xiàn)兩者3s電子的徑向波函數(shù)十分相似，但Fe15+(1s22s22p63s)的3s電子的小分量徑向波函數(shù)的振幅相對較大，而且徑向波函數(shù)沿靠近核的空間被嚴重壓縮.對此不難理解：較大的有效核電荷將導致相關(guān)電子只能在更靠近核的區(qū)域運動，即波函數(shù)沿靠近核的徑向空間被壓縮，而相對論效應的增強使徑向波函數(shù)的小分量也有所增加.

圖2 Fe15+ (1s22s22p63s)的3s電子相對論徑向波函數(shù)

圖3是動能為ε=1 Hartree和ε=100 Hartree的自由電子εp(j=1.5)在Fe16+(1s22s22p6)的勢場中運動時的相對論徑向波函數(shù).通常自由電子的動能越大，相對論效應就越明顯，主要表現(xiàn)為徑向波函數(shù)振蕩更為劇烈、其小分量的振幅也相對較大，而這正是圖3所表示的.

圖3 Fe16+(1s22s22p6)的勢場中動能分別為ε=1 Hartree和ε=100 Hartree的自由電子εp(j=1.5)的相對論徑向波函數(shù)

3 結(jié)論

利用相對論平均自洽場理論，研究了電子相對論徑向波函數(shù)的主要特征.電子相對論徑向波函數(shù)的大分量與小分量的數(shù)量級通常相差非常懸殊，且大小分量沿徑向空間的變化并不“同步”；與非相對論的情形相同：相對論徑向波函數(shù)的大小分量均有n-l-1個節(jié)點、n-l個波腹，但自由電子則由于其主量子數(shù)失去確定性而趨于無窮大，其節(jié)點和波腹個數(shù)必然為無窮大.通常相對論效應越強則電子相對論徑向波函數(shù)小分量振幅相對地越大、自由電子波函數(shù)振蕩越劇烈，而核庫侖勢的增強及電子動能的增大意味著相對論效應更為明顯.

[1] 褚圣麟. 原子物理學 [M].北京: 高等教育出版社,1979:89-91.

[2] 柯善哲, 蔡建華. 量子力學(下)[M].北京: 高等教育出版社,1992:346-350,362.

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[4] 唐納德J P. 高激發(fā)原子[M].詹明生,王謹,譯. 北京: 科學出版社,2003:10-11.

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The fundamental properties of electron relativistic radial wave function

LIU Xiao-bin, SHI Ying-long, XING Yong-zhong, LU Fei-ping

(Department of Physics, Tianshui Normal University, Tianshui, Gansu 741001, China)

The fundamental properties of electron relativistic radial wave functions have been studied theoretically based on the relativistic average self-consistent field. Usually, the small-component of relativistic radial wave functions is several orders of magnitudes less than the large-component, and is not generally synchronous with the large-component, so the radial probability density of electron has no exact zeros. The number of nodes for bound electron large- or small-component isn-l-1, so that the number of antinodes isn-l, but the number of nodes and antinodes for free electron just turn to infinite. The radial wave functions are extremely sensitive to the relativistic effects, the amplitude of small-component increases with increasing relativistic effects, as well as the oscillating intensity of large, small-component for free electron.

Dirac equation; relativistic self-consistent field; radial wave function; node; antinode

2016-03-22；

2016-05-30

國家自然科學基金(11264033,11464040,11265013)、甘肅省高等學?？蒲许椖?2014A-104)、甘肅省自然科學基金(1506RJZE112)資助

劉曉斌(1973—)，男，甘肅天水人，天水師范學院電子信息與電氣工程學院物理系副教授，主要從事原子物理的教學及研究工作.

O 562.1

A

1000- 0712(2016)12- 0019- 04