楊 茹，秦振濤，楊武年

（1.攀枝花學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院，四川 攀枝花 617000；2.成都理工大學(xué) 地學(xué)空間信息技術(shù)國土資源部重點實驗室，四川 成都610059)

基于字典學(xué)習(xí)的古建筑圖像修復(fù)研究*

楊 茹1，秦振濤1，楊武年2

（1.攀枝花學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院，四川 攀枝花 617000；2.成都理工大學(xué) 地學(xué)空間信息技術(shù)國土資源部重點實驗室，四川 成都610059)

古代建筑圖紙是我國重要的民族瑰寶，亟待利用現(xiàn)代計算機技術(shù)對古代建筑圖紙進行信息化和修復(fù)。提出了一種新的基于字典學(xué)習(xí)的古建筑圖像修復(fù)模型，通過K-svd算法進行字典學(xué)習(xí)，在稀疏域利用已知像素信息填充缺損像素，從而實現(xiàn)對古建筑圖像的修復(fù)及噪聲的濾除。實驗表明，該算法能較好地修復(fù)古建筑圖像，降低圖像的均方誤差，在實際應(yīng)用中具有良好的可行性和應(yīng)用前景。

稀疏表示；古代建筑圖紙；字典學(xué)習(xí)；圖像修復(fù)

0 引言

古代建筑圖紙能夠反映古人對建筑獨特的認識與理解，不僅具有極高的歷史價值、文化價值和科學(xué)價值，同時也是現(xiàn)代仿古建筑、園林景觀和旅游景區(qū)的重要借鑒[1]。建筑圖紙的質(zhì)地、圖形、字體及涂料具有多樣性，需要特別的保護。當前，在實際的工作環(huán)境中，大部分建筑圖紙以卷宗的形式進行保存，隨著時間的變遷，建筑圖紙的缺損非常嚴重，且在掃描、微縮處理中，圖紙的像素丟失嚴重。對建筑圖紙進行修復(fù)、評估及再利用，一直作為建筑學(xué)科及計算機圖像處理等領(lǐng)域的研究熱點而受到關(guān)注[2]。僛文峰等人指出圖紙的破損主要是由于圖紙質(zhì)地的酸性化而變黃、發(fā)干,以及隨之而來的粉碎和撕毀情況比較嚴重；由于時間久遠，圖紙質(zhì)地及顏料也會出現(xiàn)不同程度的缺損、黃色斑點等破損；在對古建筑圖紙進行信息化加工的過程中也會造成像素的丟失，出現(xiàn)黑色斑點等。本文針對掃描及微縮以后的古建筑圖像提出一種新的基于字典學(xué)習(xí)的修復(fù)方法，該算法在稀疏域針對污損圖像的特迭代處理，從而達到古建筑圖紙修復(fù)的目的。通過實驗表明，該算法能較好地修復(fù)古建筑圖像，降低了圖像的均方誤差，在實際應(yīng)用中具有良好的前景。

1 古建筑圖像修復(fù)模型

1.1 基于稀疏表示的古建筑圖像處理模型

在圖像處理領(lǐng)域[3]，任一理想的古建筑圖像可以表示為y0∈RN，稀疏表示的目標是找到一個稀疏表示向量x0，且 x0的 0范數(shù)||x0||0=k0，滿足：y0=Ax0。A為字典，B為圖像退化算子，表示圖像丟失掉的p個采樣，則：y= By0。B表示單位矩陣(大小為：n×n)根據(jù)丟失掉的（缺損）采樣去除p行后的矩陣，其大小為(n-p)×n，則古建筑圖像修復(fù)問題就轉(zhuǎn)化為求其稀疏表示向量，進而獲得未降質(zhì)圖像y0=BA，則可以建模為式(1)[4]：

當測量或者圖像本身存在缺損時，該模型轉(zhuǎn)化為式(2)的問題：

1.2 對模型的求解

該問題中由于原始古建筑圖像y0未知，且古建筑圖像一般較大，存在多種類型的缺損，因此需要對大的圖像進行分塊。根據(jù)給定的字典A，將大的圖像分割成一些小的塊后，每個塊都有其稀疏表示系數(shù)，降質(zhì)操作B為一矩陣，根據(jù)Elad等人的原理，該問題屬于M-稀疏域模型，則可以轉(zhuǎn)化如下最大后驗概率問題[5]：

在該模型中，表達式第一項總體上衡量降質(zhì)圖像y和恢復(fù)圖像z之間的相似程度，第二項和第三項是古建筑圖像的先驗?zāi)Ｐ?，用來確?；謴?fù)圖像z中的大小為的每一塊pk在其正確位置有界，且誤差最小。系數(shù)uij在位置上需要相互獨立，即需滿足。

假設(shè)字典A已知，則該模型中存在2個未知量，分別是每個位置的稀疏表示向量qk和整體輸出圖像z。為了求解該問題，本文采用塊坐標下降算法求解該問題。通過初始化z=BTy，然后迭代求得最優(yōu)。由于在古建筑圖像z中存在大量缺損像素，因此需要考慮，從而將該問題轉(zhuǎn)化為了求解式(4)的問題：

式中，σ為噪聲方差，c為常數(shù)，nk為閾值。當誤差項小于cnkσ2時停止迭代，通過此方法也能得到 uij。該滑動窗口稀疏編碼法，圖像塊的錯誤能量表示為Aq-pk，可以通過圖像塊中現(xiàn)有的像素進行估計，即第k塊的局部污損可以表示為：，根據(jù)式(2)每次對大小為的圖像進行處理，得到全部uk后再更新z。根據(jù)式(3)，對給定的固定，通過固定，然后更新 z，即需要求解式(5)的問題：

下一部分獲得該模型中字典A的求解，通過式(5)能夠獲得輸出圖像，對丟失掉的像素，通過塊中已知像素進行平均獲得。

2 字典學(xué)習(xí)算法

字典學(xué)習(xí)過程一般分為2個階段，分別是稀疏編碼及字典更新。在對式(5)求解時，一般假設(shè)字典 A∈Rn×k(k>n)為已知，如DCT、DWT和FFT等。為了進一步提高修復(fù)古建筑圖像的修復(fù)能力，本文分別通過MOD算法和K-SVD算法進行字典學(xué)習(xí)，在字典學(xué)習(xí)過程中需考慮缺損像素。因此，一旦獲得字典，就可以完成稀疏編碼，然后固定系數(shù)，再更新字典，從而轉(zhuǎn)化為求式(6)錯誤的最小值：

2.1 MOD字典學(xué)習(xí)算法

MOD算法（Method of Optimal Direction）也稱為最優(yōu)方向法[6]，該算法由 K.Engan等人在1999年提出,通過對錯誤求導(dǎo)，然后令其為0，則可得：

利用 Kronecker內(nèi)積公式(ABC=(CT?A)Bc)，對式(7)進行進一步分解，可得：

2.2 改進的K-SVD字典學(xué)習(xí)算法

本文根據(jù)缺損的古建筑圖像進行K-SVD字典學(xué)習(xí)，利用K-SVD算法[7]每次更新字典 A的一列，對字典的第j列aj，根據(jù)式(6)，僅有第k塊用到了這個原子，將其表示為域 Pk，則可將式(6)進行如下轉(zhuǎn)化：

對該問題的求解，首先固定{qk(j)}k∈P，然后更新字典aj，即：

然后固定字典，更新系數(shù)qk(j)，從而得到修復(fù)后的圖像塊：

將圖像塊合并后輸出即可獲得最終修復(fù)圖像，經(jīng)過字典學(xué)習(xí)后獲得的MOD字典及K-SVD字典如圖1和圖2所示。由圖可見，K-SVD字典包含了缺損圖像形變區(qū)的原子，表明K-SVD字典能夠根據(jù)圖像的特點進行自適應(yīng)調(diào)整，從而保留更多的細節(jié)和邊緣信息，更加有利于后續(xù)的處理。

圖1 MOD字典

圖2 K-SVD字典

2.3 算法分析

該算法的計算復(fù)雜度可以分為兩部分：稀疏編碼、字典更新（迭代J次）與最終的輸出過程構(gòu)成。古建筑圖像中的每個像素點的計算復(fù)雜度為：O(K×L×J)，其中，K為字典的列向量的個數(shù)，L為每個系數(shù)的非零元素的個數(shù)，一般取決于古建筑圖像的噪聲的方差和缺損像素的個數(shù)。

3 模擬實驗

對本文提出算法的性能進行測試，實驗用古建筑圖像稱為重檐四角亭，來源于成都理工大學(xué)；圖像的大小為256×256。實驗所使用的PC是 CPU 3.0 GHz，內(nèi)存為2 GB，算法用GNUOctave進行實現(xiàn)。圖3分別為加噪20 dB后，損失50%像素后的原始古建筑圖像，以及采用MOD字典學(xué)習(xí)算法的修復(fù)結(jié)果和采用K-SVD字典學(xué)習(xí)算法的修復(fù)結(jié)果圖。設(shè)置字典原子的個數(shù)為256，圖像塊大小為8×8。圖4為隨著迭代次數(shù)的增加，MOD字典學(xué)習(xí)算法和K-SVD字典學(xué)習(xí)算法的修復(fù)效果對比圖。表1為采用MOD字典學(xué)習(xí)算法和K-SVD字典學(xué)習(xí)算法迭代15次后所獲得的RMSE(均方根誤差)。由圖3可見，采用K-SVD算法修復(fù)的效果明顯優(yōu)于采用MOD算法修復(fù)的效果，尤其是右上角塔頂處的局部放大圖所示。

圖3 不同程度缺損的重檐四角亭圖像修復(fù)結(jié)果

表1 不同算法的修復(fù)結(jié)果PSNR (單位：dB)

本實驗中運用K-SVD字典學(xué)習(xí)算法實現(xiàn)了對古建筑圖像的修復(fù)，由圖4可見，K-SVD字典學(xué)習(xí)算法的修復(fù)效果優(yōu)于MOD字典學(xué)習(xí)算法，且 K-SVD算法的魯棒性更強。

圖4 修復(fù)效果對比圖

4 結(jié)論

本文通過對缺損古建筑圖像問題進行建模，然后利用字典學(xué)習(xí)算法實現(xiàn)對缺損圖像的修復(fù)。通過對重檐四角亭古建筑圖像進行修復(fù)試驗，表明K-SVD字典學(xué)習(xí)算法具有更優(yōu)的效果。本文利用機器學(xué)習(xí)及圖像處理技術(shù)對解決古建筑圖紙、古文獻修復(fù)等問題提出了新的思路，對該算法的優(yōu)化和應(yīng)用的拓展是下一步研究的重點。

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Study on inpainting of drawings of ancient buildings based on dictionary learning

Yang Ru1，Qin Zhentao1，Yang Wunian2
(1.School of Mathematics and Computer Science，Panzhihua College，Panzhihua 617000，China；2.Key Laboratory of Geo-special Information Technology，Ministry of Land and Resources，Chengdu University of Technology，Chengdu 610059，China)

Drawings of ancient buildings are tenures of traditional Chinese culture,and need to be informatization and inpainting urgently.A novel model of inpainting the drawings of ancient buildings is proposed,which carry on the dictionary learning by K-svd algorithm,and filling missing pixels by known pixels in sparse domain，so as to implement the inpainting of drawings of ancient buildings and remove impulsive noise.The experimental results show that the algorithm can inpaint the image more effectively and decrease the RMSE,this method has better performance than other dictionary learning algorithm,and has good application potential and good application prospects.

sparse representation；drawings of ancient buildings；dictionary learning；inpainting of drawings

TN911

A

10.16157/j.issn.0258-7998.2016.12.013

楊茹，秦振濤，楊武年.基于字典學(xué)習(xí)的古建筑圖像修復(fù)研究[J].電子技術(shù)應(yīng)用，2016，42(12)：51-53，57.

英文引用格式：Yang Ru，Qin Zhentao，Yang Wunian.Study on inpainting of drawings of ancient buildings based on dictionary learning[J].Application of Electronic Technique，2016，42(12)：51-53，57.

2016-07-02)

楊茹（1984-），女，碩士，講師，主要研究方向：古建筑圖紙修復(fù)、計算機應(yīng)用。

國家自然科學(xué)基金資助項目（41372340）；高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金(20105122110006）；國土資源部地學(xué)空間信息技術(shù)重點實驗室開放基金資助項目(KLGSIT2014-03)

秦振濤（1982-），男，博士，副教授，主要研究方向：人工智能、遙感圖像處理。