劉 越，伍 東，和志明

(中國石油長城鉆探工程公司，北京 102206)

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圓弧插值在測井資料處理中的應用

劉 越，伍 東，和志明

(中國石油長城鉆探工程公司，北京 102206)

具有圓周陣列型探頭的測井儀器數據處理中，運用圓弧插值方法可以獲得井筒橫截面圓周上任意多個測量值，達到增加測井信息量的目的，為井眼狀況和套管損傷評價提供技術支撐。利用適用于圓弧處理的余弦函數和第一類邊界條件的三次樣條函數組合插值法，將井筒橫截面上分布的多個測井儀器探頭測量值模擬成一個類圓周上的多個均勻排列的數據點，將類圓周模擬為余弦函數，通過第一類邊界條件的三次樣條函數插值法獲得系數矩陣為三對角陣的方程組，使用追趕法求解方程組，得到井筒橫截面圓周上的插值點數據。CIFLog-GeoMatrix軟件聲電成像和多臂井徑成像測井資料解釋結果表明，插值法形成的圓弧邊界具有圓滑性，與實際井壁情況相吻合，且在井眼變形嚴重的區(qū)域能夠避免出現與鉆頭尺寸不匹配的尖弧段，圓弧保形度較高。現場應用表明，經圓弧插值法處理后的多臂井徑成像測井資料能夠鑒定多種類型的套管損傷，且鑒定效果較好，效率較高。

圓弧插值；測井數據處理；多臂井徑成像測井；三次樣條函數；CIFLog-GeoMatrix軟件

0 引 言

XRMI儀器和多臂井徑成像測井儀器是典型的圓周陣列型測井儀器，主要用來測量裸眼井井徑或者套管井管柱內徑[1]，可用來檢測裸眼井井眼狀況或者管柱變形等。6臂XRMI類型儀器的6個測量臂均勻分布在測量點平面的圓周上，相鄰測量臂之間的夾角為60 °，可獲得測量點平面井眼圓周上6個半徑值。多臂井徑成像測井儀器的多個測量臂均勻分布在測量點平面的圓周上，能夠獲得套管井井筒圓周上多個半徑值，相鄰測量臂之間的夾角相同[2]。資料解釋處理需要給出井眼變形區(qū)域和套管損傷類型，在有限個數的井徑或套管內徑數值的限制條件下，無法完成對整體井眼或套管的評價工作[1-2]。圓弧插值能夠實現井眼內徑或者套管內徑信息量的擴增[3]，達到評價整體井眼或者套管的目的。國內外還未見有關圓弧插值理論方法在測井資料解釋處理中的應用報道。前人從圖形圖像處理的角度研究了保形閉圓弧樣條插值理論的算法[3-4]。此次研究采用適用于圓弧處理的余弦函數和第一類邊界條件的三次樣條函數組合插值法，對井眼井徑或套管內徑進行插值處理，該算法可實現井眼或井筒圓周上等間隔和非等間隔插值，圓弧保形度較高，功能強大。

1 組合圓弧插值

聲電成像和多臂井徑成像測井資料處理解釋需要提供直觀的井眼或套管內徑形狀[5]，利用現有測量臂的測量值經過圓弧插值得到井眼或套管內徑圓周上多個插值點內徑，由圓周上插值節(jié)點和插值點內徑可以形成光滑直觀的井眼或者套管內徑圖形。為了充分利用井眼或套管圓弧特性和適用于弧線處理的樣條函數插值理論，將井筒橫截面上分布的多個測井儀器探頭測量值模擬成一個類圓周上的多個均勻排列的數據點，將類圓周模擬為余弦函數，采用基于余弦函數和三次樣條函數組合圓弧插值理論方法對井眼或者套管內徑進行圓弧插值處理，插值后的圓弧過插值節(jié)點[6]。

已知參數為：井眼或套管內徑類圓周模擬函數y=cos(2πx)(x為角度，rad；y為半徑，mm)上的n個點(測量臂對應的插值節(jié)點)和其對應的函數值；對應井眼或者套管內徑圓周上儀器測量臂所在的角度和多個井徑測量值xi(i=0，…，n)、yi(i=0，…，n)(xi為角度，rad；yi為井眼井徑或套管內徑，mm；i為測量臂編號；n為測量臂數)。

三次樣條插值是光滑度高的插值方法[7]，在2個相鄰結點(測量臂)構造的插值子區(qū)間(xi，xi+1)(i=0，…，n-2)上用一個不超過3次項的多項式來逼近，該多項式實際上是類圓周的局部內徑反映，并且在各結點的連接處函數值連續(xù)可導，一階導數連續(xù)可導且存在二階導數[7]。

根據XRMI儀器和多臂井徑成像測井儀器資料處理解釋對圓弧插值的要求，采用第一類邊界條件給出邊界導數的初始值[8]。對于井眼或者套管內徑類圓周模擬函數y=cos(2πx)，給定n個測量臂對應的結點角度和其上的函數值井徑：

(1)

其中，f(xi)=cos(2πxi)，單個測量臂的井徑是其與第1個測量臂夾角的函數。用第一類邊界條件的三次樣條函數插值公式計算m個插值點處的井徑函數近似值z。其中第一類邊界條件是由函數兩端2個測量臂數值函數的一階導數值給定。

(2)

式中：x0為插值節(jié)點第1個點對應的角度，rad；y0為插值節(jié)點第1個點對應的井徑，mm；f′為邊界導數。

(3)

經過推導得到方程組：

(4)

式(4)是一個系數矩陣為三對角陣的方程組，使用單純形法或追趕法進行求解[9-10]，確定出井徑插值[11-14]公式，獲得井眼或者套管內徑橫截面圓周上任意多個井徑值，計算步驟如下。

(5)

(2) 反向計算中間n-2個測量臂所在節(jié)點處的一階導數值dyi(i=1，2，…，n-2)，循環(huán)i=n-2，n-3，…，1，執(zhí)行dyi=aidyi+1+bi。

(3) 選取合適的相鄰測量臂組成的區(qū)間分別計算m個插值點處的井徑函數值，設所用的相鄰測量臂組成的區(qū)間為[xi，xi+1]，則對于插值點t：

(6)

式中：t為插值點角度，rad；z為插值點井徑，mm。

2 實例分析

將該組合圓弧插值方法集成到CIFLog-GeoMatrix軟件的聲電成像資料解釋處理模塊及多臂井徑成像測井和磁壁厚測井資料解釋處理模塊中，選取某井FMI成像測井儀器資料，該井深度3 287.463 6 m處共測得井眼圓周上8個井徑值，進行圓弧360 °插值，構造極坐標系下插值節(jié)點和插值點數據序列為：

(7)

固定圓心，采用360個插值點數值形成井眼如圖1所示，儀器在井眼中居中。

圖1 某井井眼橫截面示意圖

在其他井深處采用三次樣條組合圓弧插值，形成對應的儀器居中情況下井眼如圖2所示。

圖1、2中黑色圓心代表儀器，黑色粗線代表儀器極板，其中紅色粗線代表1號極板，黃色區(qū)域代表井眼，黃色區(qū)域邊界所對應的圓弧代表井壁，邊界對應的圓弧為由360個圓弧插值點繪制而成。由圖2可知，插值點過插值節(jié)點，插值后的井眼效果較好，在井眼變形較嚴重的深度處，該方法仍能保證井眼圓弧具有較高的保形度，避免出現與鉆頭尺寸不匹配的尖弧段。經該方法處理后的數據能夠直觀給出井眼變形圖形，顯示井眼縮徑、擴徑以及井眼垮塌等影響完井作業(yè)的井眼變形，指導施工對井眼進行修復。選取某井的多臂井徑成像測井儀器數據，對套管內徑做組合圓弧插值處理，得到效果如圖3、4所示。

圖2 圓弧插值形成的井眼示意圖

圖3 某井267.8m套管示意圖

圖3為某井267.8 m處40臂井徑成像測井和12探頭套管壁厚測井資料處理后形成的套管橫截面圖，圖4為某井369.9 m處的套管橫截面圖。圖中黃色區(qū)域代表鋼套管，套管內部紅色邊界表示經過圓弧插值后的套管內徑圖形，插值點數為360個，即在圓周上插值出360個套管內徑，插值后的套管內徑圖形經過40個測量臂測量到的套管內徑，鋼套管外部為12探頭壁厚數值經過圓弧插值形成的鋼套管外壁。與XRMI儀器井徑圓弧插值效率一樣，40臂井徑成像測井儀器套管內徑插值效果圖隨著深度變化實時顯示，效率較高。圖4中心黑點代表套管的軸心，從套管橫截面圖可知，該井267.8、369.9 m處套管變形比較嚴重，267.8 m處在井眼160 °井壁處有嚴重的縮徑，套管減薄嚴重，外壁已被嚴重腐蝕；369.9 m處在井眼180 °井壁處有嚴重的縮徑以及套管變形，在井眼270 °井壁處有嚴重的套管變形，同樣井眼340 °井壁處有嚴重的套管變形，套管一周均有輕微變形，2個深度處的套管不存在穿孔等可能影響串層的損傷，套管橫截面圖顯示該井套管還存在其他類型的損傷腐蝕，表明該方法在套管損傷評價中發(fā)揮了重要作用。利用該方法對套管橫截面圖資料處理解釋，該井第35根至第44根鋼套管損傷腐蝕類型及程度歸類見表1，所有套管損傷分類見表2。

圖4 某井369.9m套管示意圖

套管編號模型內徑/mm損傷分級MIT結垢描述MIT套管描述點狀腐蝕環(huán)狀腐蝕線狀腐蝕片狀腐蝕穿孔孔數35146.263輕微結垢嚴重片狀損傷,嚴重斑點狀損傷,多孔是否否是436146.081輕微結垢中度斑點狀損傷,多孔是否否否837146.344輕微結垢嚴重斑點狀損傷,多孔是否否否338145.812輕微結垢中度斑點狀損傷,多孔是否否否739145.952輕微結垢中度斑點狀損傷,多孔是否否否1540146.352輕微結垢中度斑點狀損傷,多孔是否否否1141146.103輕微結垢嚴重斑點狀損傷,多孔是否否否1542146.055輕微結垢嚴重斑點狀損傷,多孔是否否否543146.442輕微結垢中度斑點狀損傷,多孔是否否否544146.503輕微結垢嚴重斑點狀損傷,可能穿孔是否否否1

表2 某井78根套管損傷分類統(tǒng)計

由表1、2可知：該井所測78根套管中，第35至44根套管全部有點狀損傷，并且均存在穿孔；第35至43根套管存在多處穿孔，沒有出現線狀和環(huán)狀損傷，需要對存在點狀損傷和穿孔的套管進行修補；套管損傷分類統(tǒng)計圖顯示該井套管損傷主要以斑點狀損傷為主，達到70根套管，同時存在嚴重的穿孔現象，該井套管還存在輕微的片狀損傷、線狀損傷和環(huán)狀損傷；損傷分級顯示該井套管嚴重損傷的有58根，中度損傷的套管有15根，輕微損傷的套管有5根。

3 結 論

(1) 使用組合圓弧插值方法可以獲得井眼或井筒橫截面圓周上任意多個內徑值，達到評價整體井眼或套管的目的，為套損評價提供不同的套管損傷類型。

(2) CIFLog-GeoMatrix軟件的實例應用結果表明，該方法處理效率高，效果好，可滿足生產需求。

(3) 該方法具有2個優(yōu)點，一是圓弧邊界具有圓滑性，與井眼井壁實際情況相吻合，特別是在不同分段插值區(qū)間之間弧線段首尾相連接處，避免了首尾連接處出現弧線不匹配的問題；二是在井眼變形較大處能夠避免出現尖弧段，與實際井眼井壁彎曲的弧度不能小于鉆頭的弧度相符合，圓弧保形度較高。

[1] 李光輝.油套管損傷測井檢測評價技術在土庫曼氣田中的應用[J].測井技術，2014，38(3)：360-369.

[2] 張洪，李得信，楊西娟，等.套損檢測技術在青海油田的應用[J].測井技術，2012， 36(1)：56-67.

[3] 舒振宇，汪國昭.保形閉圓弧樣條插值的改進算法[J].浙江大學學報(理學版)，2006，33(2)：142-148.

[4] 呂勇剛，汪國昭，楊勛年，等.單圓弧樣條保形插值算法[J].計算機學，2002，25(5)：483-489.

[5] 劉乃震，趙齊輝，盧毓周，等.CIFLog-GeoMatrix測井資料處理解釋一體化軟件系統(tǒng)操作手冊[M].北京：石油工業(yè)出版社，2013：382-389.

[6] 劉續(xù)征，雍俊海，鄭國勤，等.約束雙圓弧插值[J].計算機輔助設計與圖形學學報，2007，19(1)：1-7.

[7] 舒振宇，汪國昭.保形閉圓弧樣條插值的改進算法[J].浙江大學學報(理學版)，2006，33(2)：142-148.

[8] 程曉旭，耿魯靜，張海，等.C語言算法速查手冊[M].北京：人民郵電出版社，2009：287-292.

[9] 師晶，喻德生.一類三次代數曲線的插值和逼近的算法[J].計算機工程與設計，2011，32(5)：1691-1697.

[10] 李慶揚，王能超，易大義.數值分析[M].武漢：華中科技大學出版社，1986：34-37.

[11] 劉仕平，劉博. 三維圓弧插值方法的研究[J].華北水利水電大學學報(自然科學版),2012，33(1)：89-92.

[12] 朱大可，姜獻峰.圓弧插值樣條的約束生成方法及其應用[J].機電工程，1993(3):10-11.

[13] 張海瀾，蕭柏勛.測井儀器對井孔聲場影響原數值研究[J].生學學報，2000(5):435-439.

[14] 李恒，郭海敏，石耀，等.四十臂井徑測井處理方法改進及軟件實現[J].測井技術，2014,38(6)：708-712.

編輯 林樹龍

20160504；改回日期：20160912

中國石油天然氣集團公司科學研究與技術開發(fā)項目“重大工程關鍵技術裝備研究與應用/隨鉆電磁波成像與測錄井解釋支持系統(tǒng)研發(fā)”(2013E-3809)

劉越(1973-)，男，高級工程師，1995年畢業(yè)于沈陽工業(yè)大學焊接工藝與設備專業(yè)，2005年畢業(yè)于加拿大多倫多大學機械工程專業(yè)，獲博士學位，現從事測井方法研究和測井儀器研發(fā)工作。

10.3969/j.issn.1006-6535.2016.06.031

TE319

A

1006-6535(2016)06-0136-05

國家專利：一種基于超聲成像測井的裂縫定量評價方法(中國，ZL201210125518.9)