胡文玉，張 榮，趙惠妍，劉 婷

(贛南師范大學 數(shù)學與計算機科學學院，江西 贛州 341000)

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·應(yīng)用數(shù)學·

一種基于平面六點的射影不變量構(gòu)造方法*

胡文玉，張 榮，趙惠妍，劉 婷

(贛南師范大學 數(shù)學與計算機科學學院，江西 贛州 341000)

從代數(shù)曲線的經(jīng)典理論出發(fā)，利用特征數(shù)概念，給出了一種基于射影平面上六個點的射影不變量構(gòu)造方法，并用具體例子加以了驗證，且對其應(yīng)用前景進行了展望.

代數(shù)曲線；射影不變量；特征數(shù)；交比

1 引言

代數(shù)曲線是古老而經(jīng)典的數(shù)學(特別是代數(shù)幾何)研究對象，它在數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學的各個分支，以及工程領(lǐng)域如密碼系統(tǒng)、編碼理論、容錯編碼、數(shù)字圖像以及計算機視覺等領(lǐng)域的重要應(yīng)用.近年來，對它的研究特別是從計算角度的研究成為非常活躍的分支[1]，其中羅鐘鉉等[2-3]通過引入特征比的概念，提出了一個關(guān)于代數(shù)曲線特征數(shù)的概念，它能反映代數(shù)曲線的某些內(nèi)蘊性質(zhì)，使人們從不同的視角重新認識代數(shù)曲線及其應(yīng)用.

目前，應(yīng)用特征數(shù)得到了許多理論結(jié)果[2-4].例如，以特征數(shù)為工具，推廣了著名的Pascal定理(落在任意二次代數(shù)曲線上的任意六點，其三對頂點的連線或其延長線必交于一點)、重新證明了Chasles定理(兩條三次代數(shù)曲線恰相交于九個點，若第三條代數(shù)曲線過其中的八個點，則它必過另外一個點)，以及利用特征數(shù)解決了在Morgan-Scott三角剖分下的二元樣條函數(shù)空間的奇異性問題等.

圖1 二次代數(shù)曲線的特征數(shù)

可以證明特征數(shù)是在射影變換下保持不變的射影不變量(證明見定理2)，這使得它在計算機視覺和模式識別等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用場景.然而，由于定義特征數(shù)的點要求同時落在一條代數(shù)曲線上，這在實際問題中很難得以保證[5-6].為此，本文改進了特征數(shù)的計算方法，得到了一個基于平面六個點的射影不變量，其中點的位置不需要落在一條(二次)代數(shù)曲線上.

2 特征數(shù)定義

本節(jié)簡單介紹特征比和特征數(shù)兩個基本概念，及其相關(guān)結(jié)果.全文用記號P2表示2維射影平面，記號〈a,b〉表示射影平面P2內(nèi)兩條直線a和b的交點，(u,v)表示射影平面P2內(nèi)兩點u和v所連成的直線.

(1)

為p1,p2,…,pk關(guān)于基點(或基線)u,v的特征比.

(2)

為n次代數(shù)曲線Γn的特征數(shù)(Characteristic Number, CN).

注：(1)特征比不同于高等幾何中的交比.例如對于共線的四點(u,v;p1,p2),交比是比值(b1a2)/(b2a1)，而特征比是比值(b1b2)/(a1a2).(2)從定義可知，特征數(shù)是一個數(shù)值，與定義中所用到的三條直線a,b,c的選擇無關(guān).(3)文[3]利用特征數(shù)概念證明了代數(shù)曲線一條重要的內(nèi)蘊性質(zhì)，即：

定理1[3]任意n次代數(shù)曲線Γ2的特征數(shù)CN(Γn)=(-1)n總成立.

例如，當n=2時，如圖1所示，設(shè)Γn為射影平面P2上的一條二次代數(shù)曲線，其與直線a,b,c的交點分別為{p1,p2}=〈Γ2,a〉,{p3,p4}=〈Γ2,b〉,{p5,p6}=〈Γ2,c〉.同樣，記交點u=〈c,a〉,v=〈a,b〉,w=〈b,c〉.若p1,p2,…,p6關(guān)于u,v,w有如下關(guān)系式：

(3)

則二次代數(shù)曲線Γ2的特征數(shù)是

(4)

圖2 射影平面上四點及其交點示意圖

注意到，以上所討論的點p1,p2,…,p6必須落在同一條二次曲線上.若六個點中至少有一個點不落在同一條曲線上，則無法計算其特征數(shù).為解決該問題，本文討論射影平面上任意互異六點的特征數(shù)計算問題.

3 特征數(shù)計算

3.1 兩個重要引理

給定歐氏平面上的一點(x,y)，對任意的非零實數(shù)z，三元組(xz,yz,z)稱為該點在射影平面上的齊次坐標.可知，對任意非零的實數(shù)ρ，(x,y,z)和ρ(x,y,z)表示同一點.同時，約定(x,y,0)為無窮遠點.

引理1 設(shè)pi=ρi(ai,bi,ci)(i=1,2,3,4)是射影平面P2上的四個點，其中任意三點不共線(如圖2).則由直線(p1,p2)和(p3,p4)所決定的交點u=ρu(xu,yu,zu)的坐標為：

(5)

其中

證明 因為u是直線(p1,p2)和(p3,p4)的交點，故(xu,yu,zu)同時滿足如下方程：

即

因為p1,p2,p3,p4任意三點不共線，故上述方程組有唯一解.又因為齊次坐標(x,y,z)至少有一個分量不為0，不妨設(shè)z≠0.則求解得到

進一步，令

則

(6)

且有如下關(guān)系式：

引理2 設(shè)i1,i2,i3,i4∈{1,2,3,4,5,6}，且i1,i2,i3,i4互不相同，則有如下結(jié)論

(7)

證明 代入mijk和mij，再經(jīng)過簡單化簡，即可得結(jié)果.證畢！

注：引理2中，若取i1=1,i2=2,i3=4,i4=3，則式(7)變?yōu)閙23m143-m13m234=m43m123,再由式(6),得

類似地，若取i1=1,i2=2,i3=3,i4=4，則可得

3.2 基于平面六點的特征數(shù)構(gòu)造

設(shè)pi=ρi(xi,yi,1)(i=1,2,…,6)為射影平面上互異且任意三點不共線的六點(如圖3).設(shè)基點u=〈(p1,p2),(p5,p6)〉,v=〈(p1,p2),(p3,p4)〉,w=〈(p3,p4),(p5,p6)〉，且坐標分別為u=ρu(xu,yu,1),v=ρv(xv,yv,1),w=ρw(xw,yw,1)，則由引理1有：

進一步，有了基點坐標，可以找到如同式(3)的共線關(guān)系.即假設(shè)p1,p2,…,p6與u,v,w有如下關(guān)系式：

則利用上述線性(或共線)關(guān)系以及引理2的結(jié)論，可得

圖3 射影平面上任意互異六點示意圖

于是，根據(jù)特征數(shù)的定義，由p1,p2,…,p6所確定的特征數(shù)是：

(8)

3.3 特征數(shù)的射影不變性

本節(jié)證明定義2和式(8)中所定義的特征數(shù)在射影變換下都是保持不變的，即為射影不變量.

定義3[7]設(shè)在點場π,π′上各取定齊次射影坐標系，稱由

(9)

設(shè)u,v,p∈P2，如果p=au+bv，則經(jīng)射影變換后，

從而，

(10)

定理2 由定義2所定義的特征數(shù)是射影不變量.

同理可得

(11)

定理3 式(10)所定義的特征數(shù)是射影不變量.

證明 利用式(11)，可得

證畢！

4 數(shù)值例子

本節(jié)通過一個具體例子驗證第3.2節(jié)推導的正確性.

例1 設(shè)p1=ρ1(-2,4,1),p2=ρ2(-1,1,1),p3=ρ3(0,0,1),p4=ρ4(1,1,1),p5=ρ5(2,4,1),p6=ρ6(3,9,1)是射影平面P2上的六個點.根據(jù)式(8)，計算得

代入式(8)，計算得

以上計算結(jié)果表明CN(p1,p2,…,p6)的確是射影不變的.

5 結(jié)語

基于特征數(shù)理論，提出了一類平面六點的射影不變量構(gòu)造方法.由于射影不變量是幾何尤其是射影幾何重要的研究對象，它在計算機視覺和模式識別等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.如文[8-9]利用平面五點的交比(Cross Ratio, CR)(交比是射影不變量)

匹配多視角運動軌跡，其中αij表示直線〈pi,p5〉和〈pj,p5〉的夾角；文[5,10]構(gòu)造平面六點的射影不變量

來檢測人臉特征點，容易發(fā)現(xiàn)上射影不變量不同于本文提出的射影不變量；文[6,11]利用平面五點特征數(shù)

提出了基于層次化或時空域的上下文形狀特征提取算法.注意到本文提出的平面六點射影不變量雖形式上不同于以上幾類不變量，但是與它們具有類似的曲線形狀特征表達能力.因此，開展本文提出的平面六點射影不變量應(yīng)用研究將在下一步進行.

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The Construction of Projective Invariants on Six Planar Points

HU Wenyu, ZHANG Rong, ZHAO Huiyan, LIU Ting

(SchoolofMathematicsandComputerScience,GannanNormalUniversity,Ganzhou341000,China)

In this paper we bridged the gap between algebraic curve and projective invariant. From the classic theory of algebraic curve and definition of Characteristic Number (CN), we proposed an approach to construct a projective invariant that is defined by six points on the projective plane. The algorithmic effectiveness was validated by a numeric example. And the proposed invariant would have many applications.

algebraic curve; projective invariant; characteristic number; cross ratio

2016-05-01

10.13698/j.cnki.cn36-1346/c.2016.06.004

國家自然科學基金(61502107，11361005，11501126)；江西省自然科學基金(20151BAB211014，20161BAB202069)；贛南師范大學招標課題(14zb21)；高等學校青年骨干教師出國研修項目(“青骨項目”)；中央財政支撐地方高校發(fā)展專項基金“應(yīng)用數(shù)學創(chuàng)新團隊建設(shè)”

胡文玉(1982-)，男，江西吉安人，贛南師范大學數(shù)學與計算科學學院講師，研究方向：稀疏優(yōu)化與人體運動數(shù)據(jù)分析；張榮，男，贛南師范大學數(shù)學與計算機科學學院2014級研究生；趙惠妍，女，贛南師范大學數(shù)學與計算機科學學院2013級信息與計算科學專業(yè)本科生；劉婷，女，贛南師范大學數(shù)學與計算機科學學院2013級信息與計算科學專業(yè)本科生.

http://www.cnki.net/kcms/detail/36.1037.C.20161209.1500.010.html

TP391.41

A

1004-8332(2016)06-0017-06