李 楠，鄭子君，吳 恒，牛善洲,?

(贛南師范大學(xué) a.商學(xué)院;b.數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 贛州 341000)

?

·計算方法·

圖像恢復(fù)問題的混合譜梯度算法*

李 楠a，鄭子君b，吳 恒b，牛善洲b,?

(贛南師范大學(xué) a.商學(xué)院;b.數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 贛州 341000)

基于兩階段方法，本文提出了一個圖像恢復(fù)問題的混合譜梯度(Hybrid Spectral Gradient, HSG)算法，并在一定條件下證明了算法的全局收斂性. 數(shù)值實(shí)驗結(jié)果表明,HSG算法大大減少了計算時間同時可以保持圖像的邊緣以及紋理結(jié)構(gòu)信息.

圖像恢復(fù)；譜梯度方法；兩階段方法；全局收斂性

1 引言

圖像去噪是圖像恢復(fù)的一個基本問題，是圖像分析的基礎(chǔ).目前，去除脈沖噪聲的許多方法都是基于非線性濾波器[1].中值濾波器曾經(jīng)是一種去除噪聲的通用方法[2].此外，自適應(yīng)中值濾波器[3]和自適應(yīng)中心加權(quán)濾波器[4]也相繼被提出，這兩種方法可以恢復(fù)噪聲水平較高的圖像.由于沒有考慮到圖像的邊緣信息，其在去除噪聲的同時往往會破壞圖像的邊緣以及紋理結(jié)構(gòu)信息.

(1)

(2)

的擬牛頓方法和一類共軛梯度方法.基于兩階段算法，本文提出了一個求解問題(2)的混合譜梯度(Hybrid Spectral Gradient, HSG)算法,并在一定條件下證明了算法的全局收斂性.

2 HSG算法

設(shè)當(dāng)前迭代點(diǎn)為tk，其對應(yīng)的梯度為gk，則求解無約束優(yōu)化問題的譜梯度方法的迭代格式為：

(3)

其中tk由下面的式子給出

(4)

或者

(5)

其中，sk-1=uk-uk-1，yk-1=gk-gk-1.

最近，Yu[7]等提出了一個自適應(yīng)譜梯度算法， 其步長的選取方式為：

(6)

其中,0<β<1充分接近1.

Han 等[8]提出了一個多元譜梯度算法, 其迭代格式為：

(7)

(8)

考慮到多元譜梯度算法和自適應(yīng)梯度算法的數(shù)值表現(xiàn)， 我們將其結(jié)合起來提出了一個混合的多元譜梯度算法，其計算步驟如下:

步1：給定u0∈Rn，γ∈*0,1)，α0=1/‖g0‖∞，δ>0，0<σ1<σ2<1,0<ε<1,非負(fù)整數(shù)M≥0,k=0.

步2:如果‖gk‖=0, 則停止.

步6:令σ∈[σ1σ,σ2σ],轉(zhuǎn)步5.

步7:設(shè)置,轉(zhuǎn)k=k+1步2.

3 收斂性分析

定理1 設(shè)f∶Rn→R是連續(xù)可微的,集合Ω={u|f(u)

令c1=min(ε,δ),c2=max(1/ε,δ).則上述條件滿足文獻(xiàn)[9]中的所有假設(shè)，因此上述定理得證.

由文獻(xiàn)[6]中的性質(zhì)3和性質(zhì)4，可知函數(shù)Fα是Lipschitz連續(xù)且對應(yīng)的Hessian矩陣正定.因此，我們可以直接得到如下的收斂性定理：

定理2 設(shè)φα(t)是偶的,凸的,嚴(yán)格單調(diào)增加,連續(xù)可微以及Lipschitz連續(xù)的,{uk}為HSG算法產(chǎn)生的點(diǎn)列.則存在{uk}的子列收斂到Fα的全局最優(yōu)解u*.

4 數(shù)值實(shí)驗

本文，我們將HSG方法與文獻(xiàn)[9]中的Polak-Ribière 共軛梯度(PRCG)方法進(jìn)行比較.PRCG方法的搜索方向dk為:

圖1 噪聲水平70 %的圖像(第一行)，HSG方法恢復(fù)后圖像(第二行)

圖1為70%噪聲水平的圖像，以及HSG方法恢復(fù)的圖像.第一行為噪聲圖像，第二行為HSG方法去噪的圖像.圖像中的噪聲大大減少同時較好地保持了圖像的邊緣信息. 進(jìn)一步,為了定量比較HSG和PRCG方法,表1給出了用這兩種方法恢復(fù)幅受不同噪聲水平污染圖像的數(shù)值結(jié)果，“Niter”表示算法的迭代次數(shù)(10次測試的平均結(jié)果).從表中可以看出HSG方法比PRCG方法節(jié)省大約60%-80%的CPU計算時間.

表1 HSG方法和PRCG方法對比

5 結(jié)論

本文提出了一個圖像恢復(fù)問題的混合譜梯度方法，在一定條件下建立了算法的全局收斂性.數(shù)值實(shí)驗表明本文提出的方法比共軛梯度方法具有更高的峰值信噪比以及更少的計算時間.

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A Hybrid Spectral Gradient Method for Image Restoration

LI Nana, ZHENG Zijunb, WU Hengb, NIU Shanzhoub

(a.SchoolofBusiness;b.SchoolofMathematicsandComputerSciences,GannanNormalUniversity,Ganzhou341000,China)

In this paper, based on a two-phase scheme, a hybrid spectral gradient (HSG) method is proposed for image restoration. Moreover, under considerable assumptions, its global convergence can be established. Experimental results show that HSG method can effectively reduce the CPU time and preserve the edge details.

image restoration; spectral gradient method; two-phase method; global convergence

2017-07-01

10.13698/j.cnki.cn36-1346/c.2016.06.002

江西省青年科學(xué)基金項目(2016BAB212055)；江西省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項目(GJJ150994)；國家自然科學(xué)基金項目(11661007)

李楠，女，贛南師范大學(xué)商學(xué)院教師；鄭子君，贛南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院2015級研究生；昊恒，男，贛南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院2014級研究生.

http://www.cnki.net/kcms/detail/36.1037.C.20161209.1500.006.html

O224

A

1004-8332(2016)06-0008-04

? 通訊作者：牛善洲，贛南師范大學(xué)數(shù)學(xué)計算機(jī)科學(xué)學(xué)院教師，研究方向：最優(yōu)化理論方法及其應(yīng)用.