喬克林,韓建勤

(延安大學 數(shù)學與計算機科學學院,陜西 延安 716000)

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常紅利邊界下帶投資的復(fù)合Poisson-Geometric風險模型

喬克林,韓建勤

(延安大學 數(shù)學與計算機科學學院,陜西 延安 716000)

對常數(shù)紅利邊界策略下保費收入為復(fù)合Poisson過程,理賠支付服從復(fù)合Poisson-Geometric過程的帶投資的干擾風險模型進行研究,利用全期望公式和盈余過程的馬氏性,得到了直至破產(chǎn)時總紅利現(xiàn)值的期望、矩母函數(shù)及其n階矩所滿足的積分微分方程。

Poisson過程; Poisson-Geometric過程; 常紅利邊界;積分微分方程

0 引言

風險理論是對金融保險行業(yè)所面臨的各種風險進行數(shù)量分析的理論, 是經(jīng)營者或決策者對各種金融或保險風險進行定量分析和預(yù)測的重要工具, 是當前精算學和數(shù)學界研究的熱點, 如破產(chǎn)理論就是人們研究的重要課題, 并取得了許多有意義的結(jié)果[1-8], 為保險公司的穩(wěn)定經(jīng)營提供了理論保障。

近年來,隨著金融保險行業(yè)的發(fā)展,保險業(yè)競爭越來越激烈。保險公司為了吸引更多客戶投資,推出了分紅保險。因此對研究紅利邊界策略下的風險模型無疑已成為當前研究的熱點問題。1957年De Finetti[9]首次提出了紅利策略;Gerber和Shui在文獻[10]中考慮了帶紅利邊界策略的經(jīng)典風險模型;文獻[11]研究了帶利率和常數(shù)紅利邊界的對偶風險模型,分別給出破產(chǎn)為止紅利現(xiàn)值的期望和矩滿足的積分微分方程;文獻[12]研究了存在紅利界限和隨機干擾的保費收取過程為復(fù)合Poisson過程的風險模型,得到了破產(chǎn)概率滿足的Lundberg不等式,并給出了生存概率滿足的積分微分方程; 文獻[13]研究了常紅利邊界下保費收入為復(fù)合Poisson過程的風險模型,得到了直至破產(chǎn)時紅利付款的期望現(xiàn)值、矩母函數(shù)、n階矩以及模型的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)滿足的積分微分方程;文獻[14]研究了常紅利邊界下帶干擾的雙復(fù)合Poisson風險模型,得到了直至破產(chǎn)時紅利付款的期望現(xiàn)值、矩母函數(shù)、n階矩以及模型的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)滿足的積分微分方程。

本文在上述文獻的啟示下,結(jié)合當前金融保險行業(yè)實際, 考慮到再投資, 隨機干擾及保費為復(fù)合過程, 同時考慮到在保險事務(wù)中, 風險事件和理賠事件有可能不等價的事實, 特別是保險公司推出免賠額制度和無賠款折扣等制度的背景,建立以保費收入服從復(fù)合Poisson過程,理賠量服從復(fù)合Poisson-Geometric過程的帶投資的干擾風險模型, 使其更接近保險公司的實際經(jīng)營運作。

1 模型建立

定義1.1 在一個完備概率空間(Ω,F,P)上,設(shè)保險公司的盈余過程為

定義1.2 設(shè)定一紅利界限b(其中b為初值且b≤u),若保險公司的盈余在紅利界限b以下,則不發(fā)放紅利;若盈余超過紅利界限b,則超出部分全部用來分紅,于是在該邊界策略下的盈余過程為

dUb(t)=

定義1.3 破產(chǎn)時刻Tu,b=inf{t|Ub(t)<0|Ub(0)=u},若Tu,b=∞,則表示破產(chǎn)不會發(fā)生。

定義1.4 設(shè)D(t)為至時刻t為止保險公司的累積分紅，則定義

為直至破產(chǎn)時的總紅利現(xiàn)值，其中δ>0為折現(xiàn)因子,且對0≤u≤b,定義Du,b的均值、矩母函數(shù)和n階原點矩分別為

V(u;b)=E[Du,b|Ub(0)=u]

M(u,z;b)=E[ezDu,b|Ub(0)=u]

其中V0(u;b)=1。

2 預(yù)備引理

Pr(N2(t)=0)=e-λ2t=1-λ2t+o(t)

Pr(N2(t)=k)=αρkt+Ak(t)o(t) k=1,2,…

3 主要結(jié)論及證明

記F*k(y)為F(y)的k重卷積, f*k(y)為f(y)的k重卷積。并記

定理3.1 當0≤u≤b時,紅利付款的期望現(xiàn)值V(u;b)滿足的積分微分方程

當u>b時, V(u;b)=u-b+V(b;b)。

證明 當0≤u≤b時,對足夠小的時間t,結(jié)合引理2.1,在時間段(0,t]內(nèi)有下面4種情況

1)當保費收取和索賠發(fā)生次數(shù)都為0時,事件發(fā)生的概率為

Pr[N1(t)=0,N2(t)=0]=[1-λ1t+o(t)][1-λ2t+o(t)]=1-(λ1+λ2)t+o(t)

2)當保費收取0次,索賠發(fā)生k次時, 事件發(fā)生的概率為

Pr[N1(t)=0,N2(t)=k]=[1-λ1t+o(t)][αρkt+Ak(t)o(t)]=αρkt+Ak(t)o(t)

3)當保費收取1次,索賠發(fā)生0次時, 事件發(fā)生的概率為

Pr[N1(t)=1,N2(t)=0]=λ1t[1-λ2t+o(t)]=λ1t+o(t)

4)其它情況發(fā)生的概率為o(t)

對上述情況(2),當y>u+Fjt+σW(t)時,破產(chǎn)必然發(fā)生,此時V(u+Fjt+σW(t)-y;b)=0。利用全期望公式及盈余過程的馬氏性,有

(3.1)

對于E[V(u+Fjt+σW(t);b)],由Taylor公式及布朗運動的性質(zhì)得

(3.2)

又

(3.3)

(3.4)

把(3.2)-(3.4)式代入(3.1)式,化簡得

上式兩邊同時除以t,且令t→0時有

定理3.2 當0≤u≤b時,紅利付款現(xiàn)值的矩母函數(shù)M(u,z;b)滿足的積分微分方程

當u>b時, M(u,z;b)=e(u-b)M(b,z;b)。

證明 當0≤u≤b時,類似定理3.1的方法,應(yīng)用全期望公式

(3.5)

對于E[M(u+Fjt+σW(t),e-δtz;b)],由Taylor公式及布朗運動的性質(zhì)得

故(3.5)式可表示為

進一步有

對上式兩邊同時除以t,且令t→0時有

定理3.3 當0≤u≤b時,紅利付款現(xiàn)值的n階矩Vn(u;b)滿足的積分微分方程

證明 由定義1.4有

代入定理3.2,并比較zn的系數(shù)可得

[1] 張淑娜,陳紅燕,胡亦鈞.一類推廣的復(fù)合Poisson-Geometric風險模型破產(chǎn)概率[J].數(shù)學志,2009,29(4):567-572.

[2] 耿金輝,李志民.保費再投資下COX風險模型的破產(chǎn)概率[J].貴州師范大學學報(自然科學版),2014,32(5):91-93.

[3] 侯致武,喬克林,張璐.一類風險模型赤字分布的函數(shù)型不等式[J].貴州師范大學學報(自然科學版),2015,33(4):72-74.

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[16]湯珂.隨機過程與金融衍生品[M].北京:中國人民大學出版社,2014.

Compound Poisson-Geometric risk model with a constant dividend and investment

QIAO Kelin,HAN Jianqin

(School of Mathematics and Computer Science,Yan’an University,Yan’an,Shaanxi 716000,China)

In this paper, the risk model whose the premium income followed the compound Poisson process and the claim numbers were a compound Poisson-Geometric process was considered with the constant dividend barrier strategy. Integral-differential equations with boundary conditions for the expectation, the moment generating function and nth moment of the discounted dividend payments until ruin were given by the method of total expectation formula and strong Markov property of the surplus process.

Poission process; Poission-Geometric process; constant dividend barrier; integral-differential equations

1004—5570(2016)06-0065-05

2016-05-28

陜西省教育廳專項科研計劃項目(2013JK0576); 延安市科學技術(shù)研究發(fā)展計劃項目(2014ZC-6);延安大學研究生教育創(chuàng)新計劃項目(YCX201610)

喬克林(1964-),男,副教授,碩士,研究方向:金融數(shù)學及應(yīng)用概率統(tǒng)計E-mail：yadxqklin@163.com.

O211.5

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