常晏寧,王卓識,王 皓

(1.上海交通大學 上海市復雜薄板數(shù)字化制造重點實驗室,上海 200240; 2.上海交通大學 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室,上海 200240)

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遠中心柔順機構彈性單元剛度建模研究

常晏寧1,王卓識1,王 皓1、2

(1.上海交通大學 上海市復雜薄板數(shù)字化制造重點實驗室,上海 200240; 2.上海交通大學 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室,上海 200240)

為得到遠中心柔順機構(RCC)中常用的金屬梁單元、層疊彈性單元(ESP)的剛度性能，在材料力學四個基本假設下，根據(jù)彈性變形原理，對單元末端建立金屬梁剛度矩陣，并通過伴隨變換進行解耦，得到其對角形式。對端部具鉸鏈梁單元、U副梁單元、球關節(jié)梁等不同運動副的單元進行剛度建模，給出鉸鏈處的剛度矩陣，發(fā)現(xiàn)轉動副處的剛度矩陣無法解耦，而U副和球副可解耦。建立了ESP彈性單元的剛度模型，發(fā)現(xiàn)在一端固定條件下，末端自由、添加U副和添加球副均利于形成RCC機構的解耦剛度性能。研究為RCC機構的設計提供了參考。

遠中心柔順機構； 剛度性能； 梁單元； ESP單元； 運動關節(jié)； 剛度矩陣； 伴隨變換； 解耦

0 引言

RCC廣泛用于自動化裝配領域，遠中心柔順手腕使機器人具備一定的柔順能力，可完成間隙為微米級的插銷入孔裝配作業(yè)[1-2]。柔性桿或具有鉸鏈等結構的柔性桿是RCC裝置常用的變形結構，用于提供可觀的被動順應性能以保證軸孔插入裝配有效進行。在插軸入孔裝配操作任務中，柔順中心位置的設置十分重要，因此需對RCC機構中的彈性單元剛度進行分析[3]。RCC裝置常用的彈性單元主要有金屬梁單元、帶多種鉸鏈的金屬梁單元，以及具橡膠金屬片層疊結構的ESP單元。1986年，WHITNEY 首先介紹了用ESP單元設計RCC機構的方法，克服了傳統(tǒng)RCC機構在采用線性彈簧模型預測時，剛度和柔順中心誤差較大的問題[4]。此后，采用ESP彈性單元的孔軸裝配被動順應柔性手腕被廣泛應用。為提高裝配的靈活性和可靠性，提出了可變遠中心柔順機構(VRCC)的設計方案，其特點是柔順中心的位置可根據(jù)工作需要改變[5]。但彈性單元不利于通過變動VRCC裝置結構尺寸改變剛度性能，只能通過改變彈性單元長度或彈性部位實現(xiàn)可變的剛度性能，這種結構過于復雜且不利于懸掛較重零部件時的調節(jié)。一端具有轉動副、U副等運動副形式的彈性單元因其轉動副的適應能力，便于實現(xiàn)RCC裝置改變尺寸進而改變剛度性能，因此本文建立具有鉸鏈的金屬梁及ESP剛度模型。目前，針對RCC機構的研究主要是整體方案的設計及分析，未對構成RCC機構的彈性單元在不同鉸鏈下的剛度性能進行系統(tǒng)的分析和比較。關于彈性單元剛度性能的研究，文獻[6]給出了彈性梁的剛度矩陣算法，文獻[7]給出了變截面梁的剛度矩陣求法，但并未對剛度矩陣嘗試進行解耦。另對ESP單元剛度矩陣的建立及解耦方法則尚未有針對性研究。在材料力學的連續(xù)性、均勻性、各向同性、小變形四個基本假設前提下，本文對金屬桿和ESP等彈性單元末端的剛度性能矩陣建立進行了研究，并用伴隨變換將剛度矩陣轉為解耦形式的對角化剛度矩陣，判斷該單元的解耦性能，以此比較梁單元和ESP單元在不同運動關節(jié)連接時的剛度性能，為RCC設計中彈性元件的選取及剛度參數(shù)的優(yōu)化提供參考。

1 金屬梁剛度模型

金屬梁單元如圖1所示。柔性單元末端點O變形可表示為Δx=[uTγT]T。此處：u為末端三個方向的微小位移變形；γ為末端繞三軸的微小轉動變形。末端點O受力可表示為F=[fTτT]T。此處：f為末端受力；τ為末端所受彎矩。在滿足線性假設時，柔性單元的剛度可表示為

F=KOΔX.

(1)

圖1 金屬梁單元Fig.1 Metal beam element

RCC裝置梁單元的末端剛度性質不同于懸臂梁和固定梁，在工作過程中受定平臺和動平臺的約束，其剛度性能與有限單元方法中的梁單元相似。在滿足材料力學四個基本假設的前提下，等截面金屬梁單元的末端點O在O-xyz坐標系中的剛度性能可描述為

(2)

點E為等金屬梁軸線中點，其在O-xyz坐標系中矢量可表示為OE=[0 0 -l/2]T。由文獻[9]，將KO轉為至點E的伴隨變換矩陣可表示為

(3)

(4)

KO，KE間的轉換關系可表示為

KE=(AEO)TKOAEO.

(5)

經變換，梁單元在位置點E的剛度矩陣可表示為

(6)

由式(6)可知：在該點梁單元的剛度矩陣具對角矩陣形式，各方向剛度解耦。彈性單元具有該形式的剛度矩陣，利于形成遠中心順應機構的末端解耦剛度性能。

2 運動副梁單元剛度模型

2.1 鉸鏈梁單元剛度模型

如圖2所示為一端固定，另一端鉸鏈連接的金屬梁單元。O-xyz坐標系與鉸鏈固定端固結，點O位于梁中心點，Ox軸與鉸鏈旋轉軸重合。慣性坐標系O0-x0y0z0位于梁單元中心點，建立末端點O的剛度模型。理想條件下，鉸鏈未改變ux，uz，γy，γz向的約束，以上四個方向具有與普通等截面梁單元相同的剛度性能，只需對uy，γx向進行剛度建模。

圖2 鉸鏈金屬梁單元Fig.2 Hinged metal beam element

先對uy向進行剛度建模。在橫向力fy和扭轉力矩τx的作用下，末端點O的uy變形可表示為

uy=ub+us.

(7)

式中：ub為由力矩τx引起的位移；us為由剪切力fy引起的位移。兩者線性疊加構成該點的變形位移。us，ub的變形特征可表示為

(8)

(9)

由于末端點O鉸鏈不受扭轉力矩，故τx=0，即理論上鉸鏈光滑不受力。將以上關系聯(lián)立代入式(7)可得

(10)

固定端點O0不會發(fā)生形變，同時鉸鏈梁單元末端不受彎矩作用，其受力產生的彎曲在固定端將完全取決于鉸鏈端的剪切力。歸納以下兩個變形約束條件：

b)x=-l時，uy=0。

將兩約束條件代入式(10)，可算得式中常數(shù)項為

(11)

(12)

O-xyz坐標系中梁末端點O處x=0，則該點在y向變形

(13)

以上表示y向的柔度性能，轉為剛度方程形式可得

(14)

分別對fy，τx求uy的導數(shù)，可得

(15)

(16)

τx對uy影響的形變量為零可理解為鉸鏈固定端受τx的扭矩作用，但該扭矩并不能傳遞至鉸接梁單元，因此其γx向不產生形變，柔度無窮大。順應機構末端受到該方向的扭矩作用時，由于存在多個彈性單元，所受扭矩可轉為多個大小相等方向相反的力或該扭矩作用于具該方向剛度的彈性元件上。

再對γx向進行剛度建模。因τx不會傳導至梁單元，且梁末端受固結于RCC裝置上，fy不會產生γx向變形，故γx向不會產生變形，其剛度矩陣中各項可表示為

(17)

(18)

綜上所述，鉸鏈梁單元末端點O的剛度矩陣可表示為

(19)

2.2 U副梁單元剛度模型

建立末端有U副的梁單元剛度模型，結構如圖3所示。

圖3 U副金屬梁單元Fig.3 Universal jointed metal beam element

末端有U副的金屬梁單元相當于在末端具有兩個軸線垂直相交，轉動軸與梁軸線相交于一點的彈性單元，因此其剛度性能可按兩個鉸鏈機構建模。由式(19)可得U副梁單元的剛度模型為

(20)

2.3 球關節(jié)梁單元剛度模型

建立球關節(jié)梁單元剛度模型，結構如圖4所示。

圖4 球關節(jié)梁單元Fig.4 Ball-jointed metal beam element

對末端具有球鉸鏈的梁單元，末端球鉸鏈處不承受扭轉力矩，ux，uy，γx，γy向剛度性能與2.2節(jié)中U副梁單元相同。uz向剛度不受球鉸鏈存在的影響，γz向的扭轉剛度為零，因此球鉸鏈梁的剛度性能表示為

(21)

3 ESP彈性單元剛度模型

ESP單元的結構如圖5所示。其中每個橡膠片與金屬片構成一個彈性層，是ESP彈性結構的基礎單元。設彈性層長度為t，稱為彈性層節(jié)距；δ為橡膠層厚度；r0為有效承載橫截面的半徑。ESP彈性單元有n層彈性層，每層可視作簡單梁單元。因金屬片剛度遠大于橡膠材料，故模型中不考慮金屬片的剛度，即假想金屬片為剛體，進而可通過剛度疊加原理組合橡膠層剛度得到整個彈性桿末端的剛度性能[10]。橡膠材料的拉壓剛度相差較大，需用等效彈性模量概念分析橡膠的純彎曲變形[11]。

圖5 ESP結構Fig.5 Structure diagram of ESP

由于方形截面的ESP單元具有金屬粘結性不足，可能出現(xiàn)受力集中的問題，ESP單元采用圓形橫截面結構，進行剛度分析，其結構如圖6所示。圖中：點O0為彈性單元固定端截面中心點，作為ESP單元起始點；點O為彈性單元末端中心點；點Oi為第i個彈性層末端橫截面上中心點。

圖6 ESP彈性單元Fig.6 ESP Element

各彈性層末端中心點Oi的剛度矩陣可表示為

(22)

點E為等截面梁軸線上一點，其位置距點O距離L=(n-1)t+δ/2。各彈性層末端點Oi相對點E的距離為li=-L/2+(i-1)t，在O-xyz坐標系中獲得矢量OiE=[0 0li]T，將KOi轉為至點E的伴隨變換矩陣可表示為

(23)

式中：

(24)

KOi由伴隨變換轉換得到在點E處各彈性層的剛度性能并疊加。因各彈性層為串聯(lián)連接，故需用柔度疊加的方法計算KE，有

(25)

轉換后得點E位置的剛度矩陣為

KE=diag(K1,K2,K3,K4,K5,K6).

(26)

式中:

由此可知：在該點梁單元的剛度矩陣具對角矩陣形式，各方向剛度解耦。

4 U副ESP彈性單元剛度模型

同鉸鏈金屬彈性單元的剛度性質類似，有一個鉸鏈的ESP彈性單元不具通過變換獲得對角陣形式剛度矩陣的性質。因此建立末端為U副的ESP單元剛度模型，其結構如圖7所示。

圖7 U副ESP單元Fig.7 Universal-jointed ESP element

點O0至點O1為ESP彈性單元，點O1至點O為剛性連接桿，長度為l0。在U副彈性單元轉動副一端沿x軸方向施加力Fx于點O，在點O1將產生力Fx和力矩Fxl0。點O1的ESP彈性元件受力可表示為

F=[fx0 0 0 τy0]T.

(27)

式中：fx=Fx；τy=Fx·l0。由外力同變形量關系式為

ΔXO1=(KO1)-1F.

(28)

可得點O1變形量為

ΔXO1=[ux0 0 0 γy0]T.

(29)

因點O的U副固定端不產生角度變化，則點O變形量可表示為

ΔXO=[ux+γyl00 0 0 0 0]T.

(30)

則點O的x向位移剛度可表示為

(31)

同理可得點O的y向位移剛度，由于U副不傳遞x、y軸向的扭矩，因此其剛度矩陣可表示為

KO=diag(KOx,KOy,KOz,0,0,Kτz).

(32)

KO=diag(KOx,KOy,KOz,0,0,0).

(33)

5 結束語

本文根據(jù)材料力學原理建立了具有金屬梁或ESP結構的不同彈性單元的剛度模型，并通過伴隨變換進行解耦。同時，在彈性單元末端添加轉動副、U副和球副，分析其剛度矩陣的解耦性，證明了在金屬梁單元或ESP單元末端添加轉動副(鉸鏈)后，其剛度矩陣無法解耦，而U副和球副可解耦。通過對RCC機構中常用的兩種彈性單元在不同鉸鏈約束下的剛度性能進行比較，可為基于上述兩種單元的RCC機構設計提供借鑒和參考。在后續(xù)研究中，可用上述單元設計簡單的RCC機構，以檢驗本文剛度模型的實際應用效果。

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Research on Stiffness Modeling of Elastic Element in RCC

CHANG Yan-ning1, WANG Zhuo-shi1, WANG Hao1, 2

(1. Shanghai Key Laboratory of Digital Manufacture for Thin-Walled Structures, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China; 2. State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

To obtain the stiffness performance of the metal beam element and elastomer shear pad (ESP) element in common use in the remote center compliance (RCC), the stiffness matrices were built according to the principle of elastic deformation and four basic hypothesis in the theory of material mechanics. The stiffness matrices were built at the end of each element and decoupled through adjoint transformation and the block-diagonal form were finally obtained. The stiffness models of the elastic element with different joints at the end were also built and stiffness matrices for the location of joints were given. It is found that stiffness matrices of universal joint and spherical joint can be decoupled, while revolute joint can not. Therefore, when the two kinds of elastic elements are fixed at one end, the decoupling stiffness performance for RCC can be achieved with no joint, universal joint and spherical joint at the other end. The research offers a reference to the design of RCC.

Remote center compliance; Stiffness performance; Beam element; ESP element; Moving joint; Stiffness matrix; Adjoint transformation; Decoupling

1006-1630(2016)05-0057-06

2016-07-05；

2016-08-01

國家自然科學基金資助(11472172)；973計劃(2014CB046600)

常晏寧(1992-)，男，碩士生，主要研究方向為機器人學。

TP273

A

10.19328/j.cnki.1006-1630.2016.05.009