馮仕猛,羅乾杰,劉嘉欣,顧琳慧,唐曉峰,張 紅

(1.上海交通大學(xué) 物理與天文系,上海 200240; 2.上海航天技術(shù)研究院,上海 201109;3.上海機(jī)電工程研究所,上海 201109)

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超隔熱材料理論探究

馮仕猛1,羅乾杰1,劉嘉欣1,顧琳慧1,唐曉峰2,張 紅3

(1.上海交通大學(xué) 物理與天文系,上海 200240; 2.上海航天技術(shù)研究院,上海 201109;3.上海機(jī)電工程研究所,上海 201109)

為新型超隔熱材料研究提供理論依據(jù)，給出一種超材料簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)模型，根據(jù)原子振動(dòng)波傳播的基本理論，用轉(zhuǎn)移矩陣?yán)碚摵筒煌瑓^(qū)間邊界上應(yīng)力，以及振幅連續(xù)關(guān)系推導(dǎo)出超材料中聲子的本征方程。它清楚表明了聲子頻率與原子層結(jié)構(gòu)參數(shù)及特性參數(shù)的非線性關(guān)系。討論了不同條件下聲子的模數(shù)與頻率，給出了兩種特定條件下的初步解。初步解表明：不同的原子層結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，聲子頻率不同，聲子振動(dòng)模數(shù)也不同。只要選擇合適的原子層結(jié)構(gòu)，就能降低聲子振動(dòng)模數(shù)和調(diào)節(jié)聲子振動(dòng)頻率，從而降低材料熱傳導(dǎo)系數(shù)。對(duì)某些特定設(shè)計(jì)的超級(jí)材料，有不存在聲子振動(dòng)模的可能，這樣的材料不能傳播熱聲子，也就不能有效傳遞熱量，這對(duì)新型隔熱材料研究是非常有意義的。

超材料； 矩陣?yán)碚摚?聲子； 本征方程； 原子層結(jié)構(gòu)； 振動(dòng)模； 熱傳導(dǎo)系數(shù)； 絕熱

0 引言

熱防護(hù)技術(shù)是保證航天器在上升段和再入段的外部加熱環(huán)境中不發(fā)生過熱和燒毀的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)，同時(shí)也是保證導(dǎo)彈在氣動(dòng)加熱環(huán)境中正常工作和保證火箭發(fā)動(dòng)機(jī)在嚴(yán)酷的內(nèi)部加熱環(huán)境中正常工作的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)。傳統(tǒng)的隔熱材料以陶瓷復(fù)合材料為基礎(chǔ)(氧化硅纖維+硼化物+碳化硅)，再添加其它化合物以實(shí)現(xiàn)低熱傳導(dǎo)隔熱材料，在航天器上獲得了廣泛應(yīng)用[1-7]。如航天飛機(jī)上大量使用的陶瓷纖維隔熱瓦由68%石英纖維(直徑1～3 μm)+12%硼硅酸鹽纖維(1～3 μm)+20%氧化鋁纖維(5～10 μm)組成(質(zhì)量分?jǐn)?shù))，是一種非常好的隔熱材料；以SiC為添加劑料+高溫的陶瓷ZrB2隔熱材料，使導(dǎo)彈在飛行過程中能長(zhǎng)時(shí)間承受3 000 ℃的高溫，另外也有其它材料作為高速飛行器隔熱材料的探索試驗(yàn)[8-9]。這些研究以大量實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)，通過材料配比優(yōu)化實(shí)現(xiàn)其優(yōu)異的隔熱性能。超材料是一種新型材料，通過人工組裝，有效調(diào)控原子層數(shù)，調(diào)控原子的種類，實(shí)現(xiàn)材料性能的有效調(diào)控。但超級(jí)材料研究主要集中于反常電磁性能，大多討論介電常數(shù)呈負(fù)的材料理論和實(shí)驗(yàn)研究[10-17]。通過精確設(shè)計(jì)材料的結(jié)構(gòu)，能對(duì)相對(duì)介電常數(shù)和有效相對(duì)磁導(dǎo)率進(jìn)行控制。如超材料的質(zhì)量密度或體積模量?jī)烧咧皇秦?fù)數(shù)，構(gòu)造的超材料就是一種類似聲子晶體的帶隙材料，可阻擋聲音的傳播[18]。若質(zhì)量密度和彈性模量同時(shí)為負(fù)數(shù)，則此人工超材料是一種雙負(fù)材料，能實(shí)現(xiàn)材料的負(fù)折射[19]。上述研究多涉及材料電磁參數(shù)的理論處理或器件的模擬設(shè)計(jì)，但關(guān)于超隔熱材料性能的研究很少。

理想的絕熱材料，即完全隔熱材料是目前超高速飛行器研究中的一個(gè)熱點(diǎn)[20-21]。對(duì)實(shí)現(xiàn)材料的完全隔熱，使熱量無(wú)法在材料中傳播，目前尚無(wú)完整的機(jī)理描述，相關(guān)的基本理論研究報(bào)道很少。材料的熱傳遞是以原子熱振動(dòng)或聲子傳播為基礎(chǔ)，如能使材料無(wú)法傳播熱聲子，就可實(shí)現(xiàn)材料的理想化絕熱。本文試建立一種超級(jí)材料的結(jié)構(gòu)模型，根據(jù)原子振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，由熱振動(dòng)在邊界上的連續(xù)條件和矩陣?yán)碚摻o出了熱聲子在材料中傳播的本征方程，分析了不同條件下聲子振動(dòng)頻率與超級(jí)材料原子結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系，討論不同條件下傳播熱聲子的模數(shù)和頻率，并在此基礎(chǔ)上給出了降低材料熱傳導(dǎo)可能的物理途徑，以拓寬研究新型隔熱材料的理論思路。

1 新型材料熱傳導(dǎo)的基本理論

熱在材料中傳播，一種模式是通過紅外電磁波透過材料而傳遞熱量，另一種方式是通過材料中原子振動(dòng)傳播熱量，即依靠聲子傳播熱量。超材料可通過在材料的關(guān)鍵物理尺度上的有序設(shè)計(jì)，有效控制原子振動(dòng)頻率，減小聲子的振動(dòng)模數(shù)，從而使材料導(dǎo)熱系數(shù)降低，達(dá)到隔熱效果。

本文設(shè)計(jì)一種簡(jiǎn)單的超級(jí)材料結(jié)構(gòu)模型：由甲乙兩種不同的原子在一維方向上呈周期性排列。其中甲原子的原子層數(shù)為N1，乙原子的原子層數(shù)為N2，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 一種簡(jiǎn)單的超級(jí)材料結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Simple model of metamaterial

在圖1模型中，設(shè)甲原子構(gòu)成的區(qū)間定為1區(qū)，乙原子構(gòu)成的區(qū)間為2區(qū)。根據(jù)原子振動(dòng)波方程，在1、2區(qū)間內(nèi)，其對(duì)應(yīng)原子振動(dòng)波方程分別為

(1)

式中：A1，A，A′，B，B′為波方程的系數(shù)；y0，y1，y2，y3為不同區(qū)間原子振動(dòng)的振幅；N為超材料中周期層數(shù)；q1，q2分別為區(qū)間1、2波方程對(duì)應(yīng)的波矢；ω為離子或原子的振動(dòng)頻率；a為1區(qū)N1個(gè)原子構(gòu)成的長(zhǎng)度；b為2區(qū)N2個(gè)原子構(gòu)成的長(zhǎng)度；β′為波在邊界上的衰減系數(shù)；i為虛數(shù)單位。

在1區(qū)間，成立

(2)

(3)

(4)

用相同方法，可得x=a處有

(5)

由式(5)可得

(6)

式(6)的矩陣形式為

(7)

將式(7)代入式(4)，有

(8)

簡(jiǎn)化式(8)，可得

(9)

用相同方法，在2區(qū)可得

(10)

式中：k2為2區(qū)對(duì)應(yīng)材料的彈性模量；k2f′(a)為b區(qū)x=a處的應(yīng)力。

(11)

對(duì)由N個(gè)周期層構(gòu)成的超級(jí)材料，則有

(12)

展開式(12)，有

(13)

式中：

在材料表面，由式(1)分別可得

a)x≤0時(shí)，

(14)

b)x≥l時(shí)，

(15)

式中：l，k′分別為超級(jí)材料的寬度和表面彈性系數(shù)。將式(14)、(15)代入式(13)得

(16)

(17)

用多項(xiàng)式可得

(18)

(19)

式(19)即為研究超材料的基礎(chǔ)方程。

2 討論

2.1 超材料性能與空間尺寸關(guān)系

將式(19)展開后得

2βUN-2(χ)+m21UN-1(χ)-βm11UN-1(χ)+

(20)

化簡(jiǎn)式(20)得

(21)

式中：a1為1區(qū)相鄰兩個(gè)原子間的距離；m為1區(qū)原子質(zhì)量；β1為1區(qū)原子間的彈性系數(shù)；ω為原子振蕩頻率。代入式(21)，得

(22)

式中：b1為2區(qū)相鄰兩個(gè)原子間的距離；M為2區(qū)間原子質(zhì)量；β2為2區(qū)間原子間的彈性系數(shù)；N2為1區(qū)原子的層數(shù)；N2為2區(qū)原子的層數(shù)；N為總周期數(shù)。

式(22)是超級(jí)材料中熱聲子的本征方程，滿足該式頻率的聲子才能在超級(jí)材料中傳播。由式(22)可知：超級(jí)材料中原子的振動(dòng)頻率不僅與材料本身的性質(zhì)有關(guān)，而且與原子層數(shù)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)。不同的材料組合，傳播聲子的振動(dòng)頻率各異；在材料組合確定的條件下，原子層數(shù)結(jié)構(gòu)參數(shù)不同，聲子頻率也不同。因此，理論上僅需調(diào)節(jié)1區(qū)和2區(qū)原子的結(jié)構(gòu)參數(shù)，就能控制聲子振動(dòng)模數(shù)及頻率，這是調(diào)節(jié)超級(jí)材料性能的物理基礎(chǔ)。

2.2χ=0的超級(jí)材料

tan(q1a)tan(q2b)=

(23)

將χ=0 代入式(18)，展開得

-βm11+m21+β2m12-βm22=0.

(24)

將 m11,m21,m12,m22代入式(24)，化簡(jiǎn)得

(25)

則

(26)

代入式(26)，得

(27)

或

(28)

同理，由式(23)、(25)還可得

(29)

或

(30)

對(duì)χ=0的超級(jí)材料，其原子振動(dòng)頻率必須同時(shí)滿足式(28)、(30)。由式(28、(30)可知：原子振動(dòng)頻率與材料本身的性質(zhì)、原子結(jié)構(gòu)參數(shù)呈明顯的非線性關(guān)系，不同尺寸的超級(jí)材料有不同的原子振動(dòng)頻率。因此，只需優(yōu)化1、2區(qū)原子層結(jié)構(gòu)參數(shù)，就能降低聲子的振動(dòng)模數(shù)，這對(duì)降低材料熱傳導(dǎo)系數(shù)非常有用。

特別是當(dāng)χ=0，如β2-2(q2)2(k2)2<0或(q1)2(k1)2-β2<0，則式(28)、(30)中根號(hào)內(nèi)為虛數(shù)，這表明滿足本征方程的頻率存在一個(gè)虛數(shù)，也就是不存在能傳播的熱聲子。因此，只要材料表面彈性系數(shù)非常大或非常小，對(duì)應(yīng)的材料無(wú)法傳播熱聲子，使這種材料的導(dǎo)熱系數(shù)非常低，理論上這是一種非常好的絕熱材料。因此，若技術(shù)上能實(shí)現(xiàn)上述條件的原子排列，則能獲得導(dǎo)熱系數(shù)非常小的隔熱材料。

2.3χ=1的超材料

當(dāng)χ=1, 由式(18)得

2β+m21-βm11-βm22+β2m12=0.

(31)

將 m11,m21,m12,m22代入式(31)，化簡(jiǎn)得

(32)

代入式(32)，得

(33)

或

(34)

式(34)是滿足χ=1的超級(jí)材料熱聲子傳播的本征方程。由式(34)可知：聲子頻率與原子層結(jié)構(gòu)參數(shù)間呈非線性關(guān)系；不同材料的組合，熱聲子頻率各異，聲子振動(dòng)模數(shù)亦不同；在材料組合確定條件下，原子層結(jié)構(gòu)參數(shù)不同，聲子振動(dòng)頻率和振動(dòng)模數(shù)也不同。

特別地，當(dāng)N1?N2，由式(34)可得

滿足該條件的材料只能傳播一種頻率的聲子，這會(huì)使該種材料導(dǎo)熱性能非常低，這對(duì)未來(lái)超低導(dǎo)熱材料的研究非常有意義。

綜上所述，對(duì)超級(jí)隔熱材料，通過一定的技術(shù)方法實(shí)現(xiàn)不同原子有規(guī)律的組裝，就能有效控制聲子的振動(dòng)頻率和聲子的振動(dòng)模數(shù)。在滿足一定的條件下，可獲得非常少或?yàn)榱阏駝?dòng)模的超材料，其對(duì)應(yīng)的導(dǎo)熱率就非常低，這是將來(lái)彈頭隔熱材料研究發(fā)展的一個(gè)方向。

3 結(jié)論

本文通過一個(gè)不同材料在空間有規(guī)律排列的模型，利用物理原理推導(dǎo)了超隔熱材料傳導(dǎo)的本征方程，給出了兩種典型結(jié)構(gòu)的超材料本征方程的初步解，分析了對(duì)應(yīng)聲子振動(dòng)模數(shù)及頻率與結(jié)構(gòu)參數(shù)間的關(guān)系，獲得了一些初步結(jié)論：超材料中聲子頻率及模數(shù)與原子層結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)呈非線性關(guān)系。不同原子層結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，聲子頻率和聲子振動(dòng)模數(shù)不相同。對(duì)某種特殊設(shè)計(jì)的超隔熱材料，可使超材料的本征方程無(wú)解，也就不存在能傳播的熱聲子。因此，這樣的材料導(dǎo)熱系數(shù)非常低，理論上是一種非常好的絕熱材料。傳統(tǒng)以陶瓷復(fù)合材料為基礎(chǔ)的隔熱材料，實(shí)際上是多種材料的混合體，材料空間結(jié)構(gòu)缺少規(guī)律性，需要大量的實(shí)驗(yàn)才能找到性能較好的隔熱材料。未來(lái)超隔熱材料的研究，理論上需確定多種原子排列的結(jié)構(gòu)模型，再通過一定的技術(shù)方式實(shí)現(xiàn)兩種或兩種以上不同原子有規(guī)律的組裝，才能有效控制聲子的振動(dòng)頻率與模數(shù)，甚至使聲子振動(dòng)模數(shù)趨向零和使材料導(dǎo)熱系數(shù)降至一個(gè)非常低的水平，從而實(shí)現(xiàn)最佳的隔熱或絕熱效果，這是未來(lái)彈頭以及超高聲速飛行器超隔熱材料研究發(fā)展的一個(gè)方向。本文研究對(duì)高速飛行器的新型隔熱材料研制有一定的參考意義。

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Theoretical Investigation of Insulation Heat Property of Super-Material

FENG Shi-meng1, LUO Qian-jie1, LIU Jia-xin1, GU Lin-hui1, TANG Xiao-feng2, ZHANG Hong3

(1. Department of Physics and Astronomy, Shanghai Jiao Tong University, Shanghi 200240， China; 2. Shanghai Academy of Spaceflight Technology, Shanghai 201109, China; 3. Shanghai Electromechanical Engineering Institute, Shanghai, 201109, China)

For the study of super-material theory, a simple model of super material was presented. According to the basic theory of mechanical wave propagation, using the transfer matrix and continuous stress and amplitude at the different boundary, one eigenequation of phonon was derived which clearly described the nonlinear relationship of phonon frequency with the designed parameters of atomic layer structure and the property parameter of material. The modular and frequency of phonon were discussed under various conditions. The preliminary solution of the equation was given under two specific conditions. The preliminary solution shows that the phonon frequency changes with the change of the design of atomic layer. Generally, the phonon frequency and the number of phonon vibration mode would be different when the structure parameter of atomic layer is different. It can reduce phonon frequency and the number of phonon vibration module as long as choosing appropriate atomic layer structure, which leads to the low coefficient of thermal conductivity. Especially, for specific design of the super material, it may have no phonon vibration mode, and can't spread thermal phonons. That is to say, it will not be able to transfer heat efficiently. This new type insulation material is very significant for the research of new heat insulation materials.

Super-material; Matrix theory; Phonon; Eigenequation; Atomic layer structure; Vibration mode; Coefficient of thermal conductivity; Heat insulation

1006-1630(2016)05-0050-07

2016-07-12；

2016-08-07

馮仕猛(1964—)，男，博士，主要從事新穎材料物理研究。

TB34

A

10.19328/j.cnki.1006-1630.2016.05.008