劉 濤,韓 涵,唐國(guó)安,崔琦峰,咸奎成,彭志龍

(1.復(fù)旦大學(xué) 航空航天系,上海 200433; 2.上海宇航系統(tǒng)工程研究所,上海201109)

?

伸展機(jī)構(gòu)地面屈曲試驗(yàn)的重力影響及修正方法研究

劉 濤1、2,韓 涵2,唐國(guó)安1,崔琦峰2,咸奎成2,彭志龍2

(1.復(fù)旦大學(xué) 航空航天系,上海 200433; 2.上海宇航系統(tǒng)工程研究所,上海201109)

針對(duì)重力造成的空間伸展機(jī)構(gòu)在軌環(huán)境與地面試驗(yàn)環(huán)境的差異，根據(jù)伸展機(jī)構(gòu)的邊界條件將其簡(jiǎn)化為根部固支、端部自由的懸臂梁模型，梁受均布力，理論計(jì)算了均布力和集中載荷對(duì)梁屈曲的影響。建立了14，30 m兩種伸展機(jī)構(gòu)的有限元模型，對(duì)伸展機(jī)構(gòu)施加重力載荷，計(jì)算了其靜態(tài)非線性，將特征值法獲取的伸展機(jī)構(gòu)非線性屈曲模態(tài)引入弧長(zhǎng)法求解伸展機(jī)構(gòu)的屈曲承載能力。結(jié)果表明：當(dāng)伸展機(jī)構(gòu)達(dá)到一定高度后，須對(duì)地面試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行修正；均布載荷可近似等效為在伸展機(jī)構(gòu)的端部施加0.32倍的集中力載荷。分析結(jié)果對(duì)指導(dǎo)同類伸展機(jī)構(gòu)的靜力試驗(yàn)有一定的指導(dǎo)意義。

伸展機(jī)構(gòu)； 重力； 屈曲； 弧長(zhǎng)法； 均布載荷； 集中力載荷； 地面試驗(yàn)； 修正

0 引言

空間伸展機(jī)構(gòu)是目前在軌應(yīng)用較多的大面積柔性太陽翼支撐機(jī)構(gòu)[1-6]。其中，盤繞式伸展機(jī)構(gòu)先后用于美國(guó)E0S AM-1中分辨率成像光譜儀搭載平臺(tái)和日本SFU自由飛行平臺(tái)，AEC-Able公司研制的FASTMast伸展機(jī)構(gòu)被用于國(guó)際空間站，在軌展開長(zhǎng)度達(dá)32 m，可支撐太陽翼面積276 m2。我國(guó)在建的空間站也將采用柔性太陽翼技術(shù)。伸展機(jī)構(gòu)因其展收可靠性高、重量輕和構(gòu)造簡(jiǎn)單等特點(diǎn)在大型航天器中的應(yīng)用前景十分廣闊?？臻g伸展機(jī)構(gòu)在軌工作時(shí)所受的軸壓載荷主要源于電池陣面張緊力，伸展機(jī)構(gòu)的頭部與根部的軸壓載荷基本相同。地面試驗(yàn)時(shí)伸展機(jī)構(gòu)除受端部施加的軸向載荷外，還有自身重力產(chǎn)生的均布載荷。隨著伸展機(jī)構(gòu)高度增加，伸展機(jī)構(gòu)兩端的載荷差異趨于明顯，試驗(yàn)獲得的屈曲承載能力將小于實(shí)際在軌承載能力，影響地面試驗(yàn)的有效性。對(duì)重力誘發(fā)的穩(wěn)定性問題進(jìn)行了一定的研究，文獻(xiàn)[7]研究了豎立、水平放置懸臂梁在均布載荷作用下的后屈曲問題；文獻(xiàn)[8]研究了細(xì)長(zhǎng)梁在均布力和集中力共同作用下的后屈曲問題；文獻(xiàn)[9]用有限元法對(duì)等曲率有重鉆柱屈曲過程進(jìn)行了分析，力學(xué)模型中考慮了重力；文獻(xiàn)[10]用瑞利-里茲法對(duì)閉口薄壁橋墩進(jìn)行分析，并導(dǎo)出了自重下橋墩的穩(wěn)定性計(jì)算公式。上述文獻(xiàn)中的研究對(duì)象多為梁柱結(jié)構(gòu)，從理論角度進(jìn)行研究，未深入涉及工程結(jié)構(gòu)和試驗(yàn)。伸展機(jī)構(gòu)展開長(zhǎng)度可達(dá)數(shù)十米，是典型的細(xì)長(zhǎng)結(jié)構(gòu)，屈曲試驗(yàn)中自身重力誘發(fā)的屈曲問題雖未見研究，但非常值得關(guān)注。本文將伸展機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)化為懸臂梁，分析了集中載荷與均布載荷共同作用下梁的屈曲問題。以盤繞式伸展機(jī)構(gòu)為例，針對(duì)其非線性特點(diǎn)，采用弧長(zhǎng)法對(duì)比分析了不同尺寸伸展機(jī)構(gòu)在空間與地面環(huán)境中的屈曲，以供伸展機(jī)構(gòu)仿真與地面試驗(yàn)參考[11-12]。

1 理論計(jì)算

根據(jù)伸展機(jī)構(gòu)的邊界條件，可將其簡(jiǎn)化為根部固支和端部自由的懸臂梁模型，梁受均布力q，如圖1所示。

圖1 均布載荷梁模型Fig.1 Uniformly distributed load beam

懸臂梁的臨界載荷可用能量法求解。對(duì)梁的撓曲線方程采用三角級(jí)數(shù)近似

式中：δ1，δ2為三角級(jí)數(shù)的系數(shù)[12]。

任意截面的彎矩和彎曲應(yīng)變能分別為

式中：E為材料彈性模量；I為彎曲慣性矩。

均布載荷所作的功為

當(dāng)ΔU=ΔT時(shí)可得結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的臨界載荷

0=

則可得

(1)

式(1)可用Bessel函數(shù)法計(jì)算。對(duì)不同的β值，可得對(duì)應(yīng)的α值見表1，如圖2所示。

表1 α與β對(duì)應(yīng)關(guān)系

圖2 α-β曲線Fig.2 α-β curve

圖2表明：β，α近似呈線性關(guān)系，有α=π2/4-0.78β。因此對(duì)懸臂梁來說，均布載荷ql的影響相當(dāng)于在梁的端部施加0.32ql的集中載荷，即在集中載荷與均布載荷共同作用下的軸壓屈曲臨界載荷可近似為

(2)

式(2)表明重力在一定程度上降低了伸展機(jī)構(gòu)的承載能力?？深A(yù)見當(dāng)伸展機(jī)構(gòu)越長(zhǎng)，其影響越明顯。

2 有限元分析建模

根據(jù)線性梁理論進(jìn)行的理論推導(dǎo)，在研究伸展機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性時(shí)還需考慮鋼絲繩松弛和機(jī)構(gòu)大變形產(chǎn)生的幾何非線性影響。為研究重力對(duì)伸展機(jī)構(gòu)的非線性屈曲的影響，本文用有限元法進(jìn)行建模分析。

伸展機(jī)構(gòu)有限元建模時(shí)，縱桿和橫框選用梁?jiǎn)卧?，縱桿與橫框間不存在相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，兩者采用共節(jié)點(diǎn)的連接；縱桿和橫框的材料為玻璃纖維，彈性模量50 GPa，泊松比0.3。伸展機(jī)構(gòu)的對(duì)角張緊拉索只能受拉，不能受壓，在受力過程中部分拉索松弛，部分拉索將進(jìn)一步張緊，此時(shí)伸展機(jī)構(gòu)剛度與初始狀態(tài)相比將有很大改變。為準(zhǔn)確描述鋼絲繩的力學(xué)行為，用非線性彈簧單元模擬，定義彈簧的受壓剛度為0，受拉剛度為1 000 N/mm(試驗(yàn)測(cè)得)，則可得彈簧位移-力曲線如圖3所示。其中，0位移下的縱坐標(biāo)值為對(duì)角拉索的初始預(yù)緊力。

圖3 非線性彈簧的力-位移曲線Fig.3 Force-displacement curve of nonlinear spring

因特征值法無法有效求解伸展機(jī)構(gòu)的非線性屈曲問題，本文用Abaqus中的弧長(zhǎng)法進(jìn)行求解[13]。計(jì)算分兩步：第一步對(duì)伸展機(jī)構(gòu)施加重力載荷，計(jì)算靜態(tài)非線性；第二步用特征值法獲取伸展機(jī)構(gòu)的線性屈曲模態(tài)，并將其作為初始缺陷引入弧長(zhǎng)法計(jì)算中，獲取伸展機(jī)構(gòu)的屈曲承載能力。伸展機(jī)構(gòu)的有限元模型(部分)如圖4所示。

圖4 3節(jié)伸展機(jī)構(gòu)有限元模型Fig.4 3-bay finite element model of coil-able mast

分別計(jì)算14，30 m兩種尺寸伸展機(jī)構(gòu)軸壓穩(wěn)定性，分析地面試驗(yàn)環(huán)境和空間環(huán)境中伸展機(jī)構(gòu)軸向屈曲。其中：14 m伸展機(jī)構(gòu)質(zhì)量約11.6 kg；30 m伸展機(jī)構(gòu)質(zhì)量約25.1 kg。

用弧長(zhǎng)法分析非線性屈曲，增量迭代方程為

KTΔu=ΔλP+R.

式中：KT為切線剛度；Δu為節(jié)點(diǎn)位移增量；Δλ為載荷因子；P為參考載荷向量；R為殘余力向量。

為匹配未知數(shù)與方程數(shù)，還需增加約束方程

(Δu)TΔu+(Δλ)2(ΔP)TΔP=(Δl)2.

式中：Δl為弧長(zhǎng)增量。

對(duì)上述增量方程進(jìn)行迭代求解，直至ΔλP+R在允許的范圍內(nèi)。當(dāng)結(jié)構(gòu)的|KT|>0時(shí)，結(jié)構(gòu)位移隨載荷增加而增大；當(dāng)|KT|<0時(shí)，結(jié)構(gòu)載荷隨位移增加而減??；當(dāng)|KT|=0時(shí)，載荷出現(xiàn)極值點(diǎn)即為結(jié)構(gòu)的屈曲載荷。

3 試驗(yàn)驗(yàn)證與結(jié)果分析

為驗(yàn)證伸展機(jī)構(gòu)非線性屈曲分析的正確性，對(duì)14 m的伸展機(jī)構(gòu)進(jìn)行了軸壓屈曲試驗(yàn)。試驗(yàn)時(shí)，伸展機(jī)構(gòu)末節(jié)固定于底部工裝，通過底部工裝的周向螺栓將其固定于試驗(yàn)臺(tái)上，伸展機(jī)構(gòu)頭部橫框與頂盤連接，通過頂盤的加載孔懸下足夠長(zhǎng)度的鋼絲繩，鋼絲繩與地面液壓缸相連，通過液壓缸將軸壓作用力施加到加載盤上。試驗(yàn)方案如圖5所示。試驗(yàn)中在載荷加載至1 465 N時(shí)，伸展機(jī)構(gòu)出現(xiàn)垮塌，無法繼續(xù)加載，并伴有典型的歐拉屈曲特征。

圖5 14 m伸展機(jī)構(gòu)頭部與根部狀態(tài)Fig.5 Experimental status of 14 m coil-able mast

仿真所得該伸展機(jī)構(gòu)的軸壓屈曲載荷曲線如圖6所示。表明空間環(huán)境中伸展機(jī)構(gòu)的軸壓屈曲載荷為1 542 N，地面試驗(yàn)環(huán)境中屈曲載荷1 501 N，兩者相差41 N，14 m伸展機(jī)構(gòu)的質(zhì)量11.6 kg，差值約為重力的0.34倍。伸展機(jī)構(gòu)試驗(yàn)和仿真的屈曲模態(tài)如圖7所示。屈曲載荷的地面試驗(yàn)值1 465 N，考慮重力與否均得到了與地面試驗(yàn)一致的模態(tài)和結(jié)果，這是由于重力僅為伸展機(jī)構(gòu)屈曲載荷約8%，重力的影響可不考慮。此外比較試驗(yàn)與計(jì)算結(jié)果表明：用弧長(zhǎng)法算得的伸展機(jī)構(gòu)非線性屈曲正確。

圖6 14 m伸展機(jī)構(gòu)軸壓屈曲載荷Fig.6 Buckling load of 14 m coil-able mast

圖7 14 m伸展機(jī)構(gòu)屈曲模態(tài)Fig.7 Axial compression buckling mode

圖8 30 m伸展機(jī)構(gòu)軸壓承載能力Fig.8 Buckling load of 30 m coil-able mast

計(jì)算30 m伸展機(jī)構(gòu)的軸壓屈曲，所得軸壓屈曲載荷如圖8所示。仿真表明：空間環(huán)境中伸展機(jī)構(gòu)的軸壓屈曲載荷669 N，地面環(huán)境伸展機(jī)構(gòu)屈曲載荷561 N，兩者相差約100 N，約為重力的0.4倍，大于理論推導(dǎo)的0.32倍。分析認(rèn)為這是由伸展機(jī)構(gòu)的幾何非線性造成的。隨著伸展機(jī)構(gòu)高度和質(zhì)量的增加，重力對(duì)伸展機(jī)構(gòu)承載能力的影響也趨于明顯，此時(shí)在地面試驗(yàn)中必須考慮重力因素。

通過上述兩種尺寸伸展機(jī)構(gòu)的軸壓承載能力計(jì)算，在不考慮伸展機(jī)構(gòu)非線性情況下，可采用試驗(yàn)載荷加0.32倍重力進(jìn)行修正。

4 結(jié)束語

本文對(duì)伸展機(jī)構(gòu)地面屈曲試驗(yàn)的重力影響及修正方法進(jìn)行了研究，給出了懸臂梁模型并進(jìn)行了理論計(jì)算，建立了有限元模型，討論了重力對(duì)14，30 m兩種伸展機(jī)構(gòu)非線性屈曲的影響。研究發(fā)現(xiàn)地面環(huán)境中伸展機(jī)構(gòu)的屈曲載荷低于空間環(huán)境。隨著伸展機(jī)構(gòu)高度和質(zhì)量的增加，兩者相差趨于明顯。在地面試驗(yàn)中必須考慮重力對(duì)試驗(yàn)有效性的影響，對(duì)試驗(yàn)值進(jìn)行修正。理論計(jì)算表明均布載荷ql可近似考慮為0.32ql的集中載荷。由于伸展機(jī)構(gòu)的幾何非線性原因，數(shù)值計(jì)算獲得的重力等效因子略大于0.32。但從保守角度考慮，伸展的在軌承載能力可按地面試驗(yàn)值加0.32倍重力進(jìn)行修正。該方法為其它同類機(jī)構(gòu)的地面試驗(yàn)及修正提供了參考依據(jù)。

[1] KITAMURA T, YUMASHIRO K, OBATA A, et al. Development of a high stiffness and retractable mast “HIMAT” for space applications: 31stAIAA/ASME-ASCE /AHS/ASC Structures, Structural Dynamics and Materials Conference[C]// Long Beach: AIAA, 1990.

[2] LAKE M S. Mechanism design principle for optical-precision deployable instruments[R]. AIAA, 2000-1409, 2000.

[3] TAKAYUKI K, KAKUMA O. Development of a “Hingeless Mast” and its application[J]. Acta Astronautica, 1998, 17(3): 341-346.

[4] EIDEN M, BRUNNER O, STAVRINIDIS C. Deployment analysis of the Olympus astromast and comparison with test measure-elements[J]. Journal of Spacecraft and Rockets, 1987, 24(1): 63-68.

[5] 劉濤, 金玉龍, 呂榕新, 等. FASTMast伸展機(jī)構(gòu)屈曲模式的理論分析與試驗(yàn)[J].宇航學(xué)報(bào), 2015, 36(4): 404-409.

[6] 孫宏麗, 張少偉, 譚天樂. 航天器可展附件展開動(dòng)力學(xué)建模研究[J]. 上海航天， 2015， 32(1)： 1-4.

[7] FRISCH-FAY R. The analysis of a vertical and horizontal cantilever under a uniformly distributed load[J]. Journal of the Franklin Institute, 1961, 271: 192-199.

[8] VAZ M A, MASCARO G. H W. Post-buckling analysis of slender elastic vertical rods subjected to terminal forces and self-weight[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 2005, 40(7): 1049-1056.

[9] 劉峰, 王鑫偉. 等斜率井中有重鉆柱屈曲的非線性有限元分析[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào), 2005, 37(5): 593-599.

[10] 白青俠, 郝憲武. 考慮重力條件下高薄壁橋墩彈性穩(wěn)定性分析[J]. 西北建筑工程學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2001, 18(1): 37-41.

[11] CRISFIELD M A. A fast increamental interative solution procedure that handles “snap-through”[J]. Computers and Structures, 1981, 13(1-3): 55-62.

[12] 葉康生, 吳可偉. 空間桿系結(jié)構(gòu)的彈塑性大位移分析[J]. 工程力學(xué), 2013, 30(11): 1-8.

[13] 鐵摩辛柯S P, 蓋萊J M. 彈性穩(wěn)定性理論[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 1985: 107-114.

Study of Gravity Effects on Ground Experimental Buckling of Deployable Truss Structure and Its Correction Methodology

LIU Tao1, 2, HAN Han2, TANG Guo-an1, CUI Qi-feng2, XIAN Kui-cheng2, PENG Zhi-long2

(1. Department of Aeronautics and Astronautics, Fudan University, Shanghai 200433, China; 2. Aerospace System Engineering Shanghai, Shanghai 201109, China)

According to the difference between the space environment and ground environment caused by gravity, the deployable truss structure was simplified as the cantilever beam with the fixed root and free end according to the boundary condition of the truss in this paper. The beam was forced by uniformly distributed load. The effects of gravity on the buckling of the cantilever beam were analyzed theoretically. The two finite element models of 14 and 20 m truss were established. The gravity was forced on the truss and the static nonlinearity was calculated. The modular of nonlinear bucking of the truss obtained by eigenvalue method was introduced into arc-length method to solve the bucking ability of the truss. The analysis result shows that the ground experimental result must be corrected when the truss reaches a certain height and the gravity will be equivalent to 0.32 times the concentrated load applied to the head of the truss. The study will provide some valuable information for studying other similar structures in future.

Deployable truss structure; Gravity; Buckling; Arc-length method; Uniformly distributed load; Concentrated force load; Ground test; Correction methodology

1006-1630(2016)05-0012-05

2015-11-19；

2016-01-27

國(guó)家自然科學(xué)基金資助(11202052)

劉 濤(1987—)，男，博士生，主要研究方向?yàn)槿嵝越Y(jié)構(gòu)的非線性力學(xué)計(jì)算。

TU311.3

A

10.19328/j.cnki.1006-1630.2016.05.002