趙凱恒，伍光新，王建明

(南京電子技術研究所, 南京 210039)

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·信號處理·

基于壓縮感知的多普勒超分辨模型研究

趙凱恒，伍光新，王建明

(南京電子技術研究所, 南京 210039)

低脈沖重復頻率(PRF)雷達是解決多目標多普勒模糊的關鍵技術之一，基于此雷達工作體制，提出一種基于壓縮感知(CS)理論的多普勒超分辨處理方法，利用該方式下回波信號在相參積累時間內(nèi)的時域欠采樣特性及多普勒域的稀疏特性，構建了多普勒超分辨的CS模型，并采用正交匹配追蹤算法對多目標進行超分辨處理。同時，提出了一種改進算法，即基于SVD分解的二次測量及動態(tài)感知聯(lián)合優(yōu)化算法模型，仿真結果驗證了算法的有效性及可靠性。

多普勒超分辨；壓縮感知；多重復頻率；SVD分解；感知矩陣；動態(tài)感知

0 引 言

多普勒超分辨是信號處理中的重要研究內(nèi)容之一，在雷達成像、機群分辨等軍事領域尤為重要。傳統(tǒng)的多普勒處理方式是將接收信號通過一個多普勒濾波器組來實現(xiàn)，相干積累時間的大小限制了多普勒分辨率的提高。若目標在雷達波束照射期間或者雷達波束處于掃描狀態(tài)時發(fā)生越距離單元走動，目標的有效相干積累時間將受到極大的限制[1]。

2004年，Donoho與Cands等人提出壓縮感知理論，一個充分利用信號稀疏性或可壓縮性的全新信號采集與編解碼理論。該理論表明，當信號具有稀疏性或可壓縮性時，通過采集少量的信號投影值就可實現(xiàn)信號的準確或近似重構[2]。

在雷達場景中，由于目標在多普勒域的稀疏特性，因此可以應用壓縮感知理論，在有限的相干積累時間內(nèi)實現(xiàn)目標的多普勒超分辨[3]。然而稀疏字典的非正交性影響了多普勒信號的重構精度和重構概率，限制了其超分辨的能力。

基于此，本文提出一種動態(tài)感知聯(lián)合優(yōu)化算法模型(SVD-TSM DP)優(yōu)化算法，其是在原超分辨模型的基礎上增加一測量步驟，通過降低感知矩陣的相關性來提高重構概率和重構能力；同時，為了以最大概率重構出原始信號，提出一種動態(tài)生成測量矩陣的聯(lián)合優(yōu)化算法，相關理論框圖如圖1所示。

圖1 多重PRF壓縮感知模型與SVD-TSM DP優(yōu)化模型對比圖

1 多重PRF基本采樣模型

脈沖重復頻率(PRF)[4]是脈沖體制雷達的主要參數(shù)之一，本文在張玉璽等[5]提出的基于壓縮感知理論的多普勒解模糊處理的基礎上進行多普勒超分辨工作，模型的論證過程可參考文獻[5]。

基于壓縮感知的多普勒解模糊模型[5]為

min‖s‖1st.As=y

(1)

式中：s為信號多普勒頻譜響應；y為慢時間域非均勻采樣序列；A由雷達各PRF值、感興趣目標的多普勒頻率范圍fmax、每個采樣脈沖所對應的慢時間取樣時刻tm(m= 0,1,…,M-1)、相參時間內(nèi)總的脈沖采樣數(shù)M以及多普勒頻率抽樣位置fn(n=0, 1,…,N-1)決定

(2)

當考慮噪聲的情況，上述模型轉化為

min‖s‖1st.As+n=y

(3)

式(3)即為本文進行多普勒超分辨的基礎模型。

2 SVD-TSM DP算法

2.1 SVD矩陣優(yōu)化

在壓縮感知理論中，矩陣的RIP性質(zhì)決定了信號的恢復能力，并且通過定義RIP常數(shù)來刻畫某一矩陣性質(zhì)的好壞[6]。

文獻[6]中給出了判斷一個矩陣是否滿足RIP性質(zhì)的計算也是比較繁瑣和困難的。除RIP理論可以衡量一個矩陣處理稀疏信號的能力外，人們提出了相關性判別理論、矩陣Spark判別理論、測量算子零空間理論及k-neighborly理論等。在這些理論中，只有相關性判別理論能夠較為直觀地判別某一矩陣的形態(tài)[6]。因此本文主要通過相關性判別理論作為優(yōu)化算法的前提。

感知矩陣A的各列間的互相關系數(shù)[7]可以用下式求得

S=AHA

(4)

式中：S對角線上為各列的自相關系數(shù)，其他元素為對應列之間的互相關系數(shù)，我們的目標是使S盡可能的逼近單位矩陣I，下面開始進行SVD優(yōu)化算法理論分析。

基于壓縮感知理論的多重復頻率信號多普勒信號超分辨的求解模型為

min‖s‖1st.As+n=y

式中：A為M×N矩陣；s為N×1向量，M遠遠小于N。為了保證模型的重構能力，我們在選取雷達PRF參數(shù)時保證A行滿秩條件。

現(xiàn)在對以上模型兩邊同時乘以一個M×M的矩陣Ψ，此處稱之為優(yōu)化矩陣，得到新的方程為y′=ΨAs，另y′=y，得y=ΨAs，我們的最終目標是使新得到的壓縮感知矩陣ΨA的相關矩陣近似逼近單位陣。

S=BHB=AHΨHΨA

(5)

整理得

(6)

(7)

(8)

將λ1=[λΘ] 代入式(8)得

(9)

由于λ和λ2均為對角陣，另

(10)

(11)

式(9)可以寫為

(12)

由于V1為酉矩陣，因此令

βi=1/|αi|2， i=1,2,…,M

(13)

則S近似為單位陣。因此我們得到

(14)

因為Φ=ΨHΨ，所以我們另

(15)

我們得到了二次測量矩陣Ψ基于原始測量矩陣A的表達式。

基于壓縮感知理論的多重復頻率信號多普勒信號超分辨的二次測量求解模型模型為

min‖s‖1st.ΨAs+Ψn=y

(16)

稱之為SVD-STM算法模型。

2.2 SVD-TSM DP算法

在SVD-STM模型中，由于稀疏字典的冗余性，使得SVD-TSM算法的性能大大降低，同時OMP算法[8]具有很復雜的運算，使得本算法執(zhí)行效率偏低。因此，提出一種動態(tài)矩陣形成的聯(lián)合優(yōu)化算法。本算法首先通過常規(guī)多普勒解模糊方法確定目標多普勒位置，然后根據(jù)目標的多普勒位置動態(tài)選擇多普勒頻率值f，再由f確定壓縮感知算法所需的感知矩陣，此時模型的稀疏字典由于只包含目標位置附近的稀疏基向量，因此對于分辨率相同的情況下，由于多普勒頻率范圍的縮小，N可以選擇相對較小的值。在此基礎上進行原始壓縮感知模型的多普勒超分辨處理以及二次測量多普勒超分辨處理，根據(jù)常規(guī)解模糊處理的結果選擇重構效果最好的一個，從而得到我們想要的超分辨處理結果。算法流程圖如圖2所示。

動態(tài)生成感知矩陣的規(guī)則為：首先，確定稀疏字典的規(guī)模，即選定M和N；然后，應用常規(guī)多普勒解模糊算法得出多普勒頻率所在的num個位置；第三步，根據(jù)所得的頻率大概位置在每個頻率點附近開頻率窗，頻率窗大小為L=N/num，如圖3所示。

圖2 SVD-TSM DP算法流程圖

圖3 多普勒頻率開窗示意圖

判別規(guī)則為：將相同窗內(nèi)的多普勒超分辨處理結果與常規(guī)解模糊處理結果的頻率進行比較，小于偏離門限則超分辨結果成功。

3 仿真分析

對于多重參差方式，仿真所采用的三種PRF值分別為fr1=1 048 Hz，fr2=905 Hz，fr3=1 097 Hz；每種PRF發(fā)射的子脈沖數(shù)為85個，總相參處理時間內(nèi)的脈沖數(shù)為M=255。通過分析可知常規(guī)算法的分辨率為10 Hz左右。

3.1 矩陣RIP性質(zhì)驗證

(17)

采用本文上述基于壓縮感知理論的多普勒超分辨處理， 設置多普勒門寬度Δf =0.8Hz、2.4Hz、5.6Hz、10Hz，N=2 000，頻率范圍從0-Δf ×N。按式(2)構造CS矩陣A，對不同K-稀疏情況下的RIP屬性驗證結果如圖4所示，隨機驗證次數(shù)為10×K ×N次[4]，RIC近似值按式(17)計算。根據(jù)圖4的結果，超分辨處理中所用的確定型CS矩陣A在Δf=0.8Hz時不滿足無失真條件，在其他Δf處滿足無失真重構條件，并且SVD優(yōu)化算法可以提高矩陣的RIP性，相較未優(yōu)化前有更好的重構性能，可以保證對多普勒譜s的有效估計。

圖4 RIC近似值

3.2 SVD-TSM DP算法仿真驗證

3.2.1 相鄰目標分辨能力仿真實驗

設定k=2，M=255，原始超分辨模型、SVD-STM模型采用N=2 000，SVD-STM DP模型多普勒頻率總的窗大小選擇N= 500，多普勒分辨率Δf從0.4到10，不加噪聲，通過蒙特卡洛實驗來統(tǒng)計其在不同多普勒分辨率下原始超分辨模型、SVD-STM模型和SVD-STM DP模型的重構概率，重建算法采用OMP算法，結果如圖5所示。

圖5 不同多普勒分辨率情況下三種模型重構概率對比圖

如圖所示，多普勒分辨率大于2 Hz時，SVD-STM算法效果明顯優(yōu)于原始模型，并且當多普勒分辨率大于6 Hz時重構概率100%，而在小于2 Hz時原始模型優(yōu)于SVD-STM算法，而SVD-STM DP算法則綜合利用了兩種模型的優(yōu)點，重構性能大幅提升，尤其在分辨率為2.4 Hz時重構概率達到了99.4%，明顯優(yōu)于傳統(tǒng)處理算法的分辨率。

3.2.2 多個目標分辨能力仿真實驗

設定M=255，原始超分辨模型、SVD-STM模型采用N=2 000，SVD-STM DP模型多普勒頻率總的窗大小選擇N=500，分辨率為2.4 Hz，k從1到20，不加噪聲，通過蒙特卡洛實驗來統(tǒng)計其在不同稀疏度下原始超分辨模型、SVD-STM模型和SVD-STM DP模型的重構概率，重構算法采用OMP算法，結果如圖6所示。

圖6 不同稀疏度情況下三種模型重構概率對比圖

如圖6所示，原始模型在稀疏度為3時其重構概率已經(jīng)降到了14.4%，而SVD-STM模型的重構性能相比原始模型有了很大提高。當k=7時，重構概率降到了15.4%，而基于動態(tài)感知的SVD-STM DP算法相對前兩種算法其性能有了顯著提升；當k=10時，其重構概率為57.4%；當k=13時，其重構概率降到了10.2%，其多目標分辨能力有了顯著提升。

3.2.3 不同信噪比下重構性能仿真實驗

設定M=255， SVD-STM DP模型多普勒頻率總的窗大小選擇N=500，分辨率為2.4 Hz，k=2，目標多普勒頻率為f1=69.6 Hz,f2=530.4 Hz，信噪比從0 dB到40 dB，對SVD-STM DP進行仿真，統(tǒng)計的相對誤差如圖7所示。

圖7 不同信噪比下SVD-STM DP算法相對誤差性能曲線

由圖7所示，當信噪比大于0 dB的時候，相對誤差隨著信噪比的增加線性減小，當信噪比大于10 dB時，相對誤差比降到10%以內(nèi)，20 dB時相對誤差比降到1%以內(nèi)，因此本算法在信噪比大于0 dB時具有較好的性能。

4 結束語

本文提出了基于壓縮感知的多普勒超分辨模型，感知矩陣滿足RIP條件。提出的SVD-STM DP算法本質(zhì)上采用SVD分解進行感知矩陣的RIP性能優(yōu)化，改善了傳統(tǒng)壓縮感知重構算法的適用范圍，提升了同時多目標分辨能力，能夠在低信噪比環(huán)境下適用，且明顯降低了運算量，相對傳統(tǒng)多普勒處理算法具有更高的分辨率及更優(yōu)的估計性能，是一種適應性很強的超分辨算法。

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趙凱恒 男，1988年生,碩士研究生。研究方向為壓縮感知,雷達總體系統(tǒng)研究等。

伍光新 男, 1980年生,博士,高級工程師。研究方向為相控陣雷達總體技術, 雷達目標識別技術等。

王建明 男，1970年生，博士,研究員級高工。研究方向為雷達系統(tǒng)工程，自適應陣列處理等。

A Study on Doppler Super Resolution Algorithm Model Based on Compressive Sensing

ZHAO Kaiheng，WU Guangxin，WANG Jianming

(Nanjing Research Institute of Electronics Technology, Nanjing 210039, China)

Low pulse repetition frequency (PRF) radar is one of the key technologies for Doppler ambiguity resolution of multiple targets. With the traditional radar system, a Doppler super resolution method based on compressive sensing is proposed. Under the analysis of the sub sampling characteristics in time domain and sparse characteristics in Doppler domain during the coherent processing interval, the CS model of Doppler super resolution is established,and the OMP algorithm is used in the processing. On the basis of the original algorithm, an improved algorithm is proposed named joint optimization algorithm of SVD-two step measurement and dynamic perception (SVD-TSM DP), and the simulation results verify the effectiveness and reliability of the improved algorithm.

Doppler super resolution; compressive sensing; low pulse repetition frequency; singular value decomposition; sensing matrix; dynamic perception

10.16592/ j.cnki.1004-7859.2016.03.008

趙凱恒 Email：zkheng2010@126.com

2015-10-11

2015-12-18

TN911.7

A

1004-7859(2016)03-0038-05