劉津升

(南京工程學(xué)院數(shù)理部 江蘇 南京 211167)

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阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究

劉津升

(南京工程學(xué)院數(shù)理部 江蘇 南京 211167)

首先對(duì)3種不同情況下的阻尼振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行定量地分析研究，再利用指數(shù)方程推導(dǎo)受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，分析振子振幅、速度、初相位與驅(qū)動(dòng)力角頻率間的關(guān)系.分析結(jié)果對(duì)實(shí)際教學(xué)和后續(xù)科研有一定幫助.

阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng) 共振

諧振動(dòng)是指系統(tǒng)不受外力作用，只在保守內(nèi)力作用下的物體的周期性往復(fù)運(yùn)動(dòng).而現(xiàn)實(shí)中，物體的運(yùn)動(dòng)總是會(huì)受到阻力作用，振幅也會(huì)逐漸減小，直至停止.只在回復(fù)力和阻力作用下的振動(dòng)被稱為阻尼振動(dòng).有時(shí)，為了獲得穩(wěn)定的振動(dòng)，需要對(duì)系統(tǒng)施加一周期性的外驅(qū)動(dòng)力，形成受迫振動(dòng).振動(dòng)在生產(chǎn)和科研領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用[1].而教學(xué)過(guò)程中，許多教材在介紹阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)時(shí)，只是直接給出相關(guān)結(jié)果，并未進(jìn)行深入地推導(dǎo)和分析.下面利用水平彈簧振子模型對(duì)阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)進(jìn)行定量分析研究.

1 阻尼振動(dòng)

圖1所示為一水平彈簧振動(dòng)系統(tǒng)，彈簧的勁度系數(shù)為κ，振子質(zhì)量為m,阻力系數(shù)為γ.

圖1 水平彈簧振動(dòng)系統(tǒng)

假設(shè)受到的阻尼力滿足f=-γv，則系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可寫為

(1)

式(1)為二階齊次微分方程，其特征方程為

(2)

特征方程根的判別式為

(3)

為了方便計(jì)算，令

ω0稱為振動(dòng)系統(tǒng)的固有角頻率，δ稱為阻尼系數(shù).設(shè)振動(dòng)系統(tǒng)的初始條件滿足t=0時(shí)，x=A，v=0.很明顯對(duì)于特征方程式(2)的解有3種情況，下面分別進(jìn)行展開(kāi)討論.

(1)當(dāng)Δ>0，即δ>ω0時(shí)，特征方程式(2)具有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即

微分方程式(1)的解為

(4)

式中，A1和A2為待定系數(shù).代入初始條件有

(5)

圖2所示為δ>ω0時(shí)，不同阻尼系數(shù)下的振動(dòng)曲線.當(dāng)δ=0時(shí)，振子做周期性諧振動(dòng).隨著阻尼系數(shù)值的增大，振子從初始位置回到平衡位置所需的時(shí)間逐漸變長(zhǎng)，此時(shí)振子做非周期性振動(dòng)，這種情況稱之為過(guò)阻尼.

圖2 δ>ω0時(shí)，不同阻尼系數(shù)下的振動(dòng)曲線

(2)當(dāng)Δ<0,即δ<ω0時(shí)，特征方程的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)根為

微分方程的解為

(6)

利用歐拉公式

eiθ=cos θ+isin θ

e-iθ=cos θ-isin θ

式(6)可變換為

x=A1e-δtcos ωt+A2e-δtsin ωt

(7)

(8)

對(duì)式(8)再利用和差化積公式，有

(9)

其阻尼系數(shù)δ愈大，振動(dòng)周期愈長(zhǎng)，且振幅減小得愈快.而隨著阻尼系數(shù)δ的減小，系統(tǒng)也逐漸接近無(wú)阻尼條件下諧振動(dòng)的情況.此時(shí)振子做準(zhǔn)周期性振動(dòng)，這種情況稱之為欠阻尼.當(dāng)阻尼系數(shù)足夠小，即δ=0時(shí)，則上式可改寫為x=Acos(ωt+φ)，此時(shí)又回歸到簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)形式.

圖3 δ<ω0不同阻尼系數(shù)下的阻尼振動(dòng)曲線

(3)當(dāng)Δ=0,即δ=ω0時(shí)，特征方程的兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根為

r1=r2=-δ

微分方程的解為

x=(A1+A2t)e-δt

(10)

式中，A1和A2為待定系數(shù).代入初始條件，有

x=A(1+ω0t)e-ω0t

(11)

圖4所示為不同阻尼條件下的振動(dòng)曲線，從圖可以看出，當(dāng)δ=ω0時(shí)，振子經(jīng)過(guò)一個(gè)較長(zhǎng)的時(shí)間最終剛好回到平衡位置，這種情況稱為臨界阻尼.對(duì)于無(wú)阻尼振動(dòng)來(lái)說(shuō)，振子做周期性的往復(fù)振動(dòng).相對(duì)于過(guò)阻尼狀態(tài)，臨界阻尼狀態(tài)下振子回到平衡位置的時(shí)間最短.欠阻尼狀態(tài)時(shí)，振子做準(zhǔn)周期性的運(yùn)動(dòng)，其振幅呈指數(shù)減小.臨界阻尼處于準(zhǔn)周期性向非周期性過(guò)渡的臨界狀態(tài).

圖4 不同阻尼系數(shù)下的振動(dòng)曲線

對(duì)于阻尼振動(dòng)，其任意時(shí)刻的機(jī)械能可寫為

(12)

機(jī)械能隨時(shí)間的變化率為

(13)

由于ma+κx=-γv，所以

(14)

式(14)中右式恒為負(fù)數(shù)，所以系統(tǒng)的機(jī)械能不斷減小，且減小量等于阻力對(duì)振子所做的功隨時(shí)間的變化率-γv2=fv，符合能量守恒定律.

2 受迫振動(dòng)

為了維持穩(wěn)定的振動(dòng)，需對(duì)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)施加周期性的外驅(qū)動(dòng)力，教材中一般使用余弦函數(shù)形式[2,3]，但利用指數(shù)形式可以更為方便地解釋和說(shuō)明受迫振動(dòng)的一些性質(zhì).設(shè)外在驅(qū)動(dòng)力為F0e-iωdt(實(shí)際問(wèn)題只取其實(shí)部)，則振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可寫為

(15)

式中ωd為驅(qū)動(dòng)力的角頻率，根據(jù)方程的特征，其解的形式應(yīng)為x=A′e-iωdt，代入式(15)中，利用歐拉公式，有

(16)

于是式(15)解為

(17)

其中φ′為受迫振動(dòng)的初相，其值為

我們只討論式(17)的實(shí)部

x=Acos(ωdt+φ′)

(18)

式中，A為受迫振動(dòng)的振幅，其值為

且是ωd的函數(shù).受迫振動(dòng)的振幅和初相隨驅(qū)動(dòng)力角頻率的關(guān)系曲線如圖5所示.當(dāng)振幅最大時(shí)，滿足

此時(shí)

隨著阻尼系數(shù)δ的減小，ωd趨近于彈簧系統(tǒng)的固有角頻率ω0，系統(tǒng)初相也趨近于諧振動(dòng)的初相，其位移振幅也逐漸增大，這種情況稱之為位移共振.

圖5 位移共振時(shí)的受迫振動(dòng)的振幅、相位與ωd間的關(guān)系

任意時(shí)刻，受迫振動(dòng)系統(tǒng)的振子速度為

(19)

其中，vm為振子的最大速度，其值為

圖6 速度共振時(shí)的受迫振動(dòng)的速度、相位與ωd間的關(guān)系

通過(guò)以上討論，我們對(duì)不同阻尼系數(shù)下的振動(dòng)系統(tǒng)做了定量地分析研究，利用指數(shù)方程可以方便地推導(dǎo)和解釋受迫振動(dòng)的相關(guān)問(wèn)題.分析結(jié)果對(duì)教學(xué)和后續(xù)科研有一定幫助.

1 Shao Lei, Fang Caihong, Chen Huanjun, et al. Distinct plasmonic manifestation on gold nanorods induced by the spatial perturbation of small gold nanospheres. Nano Letters, 2012, 12(3):1 424～1 430

2 程守洙, 江之永. 普通物理學(xué)(下冊(cè))(第6版). 北京：高等教育出版社, 2006

3 鄧鐵如, 孟大敏, 徐元英，等. 西爾斯當(dāng)代大學(xué)物理. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社, 2009

*南京工程學(xué)院科研啟動(dòng)基金項(xiàng)目，項(xiàng)目編號(hào)：YKJ201538

劉津升(1984- ),男，博士，講師，主要研究方向?yàn)榧{米材料.

2016-07-17)