汪鐿林,田增山

(重慶郵電大學(xué) 移動通信技術(shù)重慶市重點實驗室，重慶 400065)

?

等式約束最小二乘在“北斗”姿態(tài)測量中的應(yīng)用*

汪鐿林**,田增山

(重慶郵電大學(xué) 移動通信技術(shù)重慶市重點實驗室，重慶 400065)

針對傳統(tǒng)無約束的姿態(tài)測量中整周模糊度求解成功率不高的問題，提出利用等式約束快速求解整周模糊度的算法，并將其應(yīng)用于“北斗”姿態(tài)測量。該算法充分利用基線的先驗信息，在整周模糊度的求解過程中加入等式約束，同時利用拉格朗日乘子法求解約束整數(shù)最小二乘問題，提高了姿態(tài)測量中整周模糊度和姿態(tài)角的求解成功率。采用靜態(tài)測試和動態(tài)測試驗證該算法，結(jié)果表明在“北斗”單歷元條件下，整周模糊度及姿態(tài)角的求解成功率提升30%左右。

“北斗”衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)；姿態(tài)測量；整周模糊度；等式約束；拉格朗日乘子

1 引 言

在“北斗”衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)中，高精度的載波相位技術(shù)可以應(yīng)用在高精度定位和姿態(tài)測量中，利用載波相位進(jìn)行高精度姿態(tài)測量的核心問題是整周模糊度的求解，尤其是在單歷元的實時應(yīng)用方面。整周模糊度求解方法有很多種，目前應(yīng)用最為廣泛的是最小二乘模糊度去相關(guān)平差(Least Squares Ambiguity Decorrelation Adjustment,LAMBDA)算法[1]。LAMBDA算法高效解決了無約束的整周模糊度問題。在傳統(tǒng)的姿態(tài)測量中，例如單歷元情況下，無約束的LAMBDA算法求解成功率不高。為了提高LAMBDA算法在單歷元的實時姿態(tài)測量情況下的求解成功率，文獻(xiàn)[2]利用基線信息作為先驗信息來提高浮點解的精度，文獻(xiàn)[3]利用基線長度作為簡單約束條件，在LAMBDA算法搜索部分篩選待選解，以提升整周模糊度求解的成功率。

本文提出一種利用基線長度作為先驗信息的改進(jìn)LAMBDA算法，將約束條件應(yīng)用于LAMBDA算法的搜索部分，通過更強(qiáng)的等式約束整數(shù)最小二乘，優(yōu)化整周模糊度的搜索空間，提升“北斗”姿態(tài)測量中整周模糊度求解成功率。實驗結(jié)果顯示即使單歷元條件下也能有效提升整周模糊度成功率，驗證了該方法的有效性。

2 “北斗”姿態(tài)測量模型

“北斗”姿態(tài)測量模型中，單歷元的觀測條件下，雙差偽距和載波相位觀測方程[4]線性化后得

E(y)=Aa+Bb,D(y)=Qy。

(1)

式中：y是觀測量；a是整周模糊度；b是基線向量；A是含有載波波長的矩陣；B是單位矢量矩陣；Qy是觀測量的協(xié)方差矩陣?！氨倍贰弊藨B(tài)測量模型的無約束的整數(shù)最小二乘問題：

(2)

(3)

3 等式約束的LAMBDA算法

3.1 等式約束最小二乘

“北斗”姿態(tài)測量模型中約束部分的核心算法是等式約束整數(shù)最小二乘。等式約束最小二乘描述如下：

x=argmin{xTAx-2bTx},xTx=l2。

(4)

其中約束條件為

xTx=l2。

(5)

式中：A∈n×n為對稱矩陣;l≠0且為常數(shù)。

這種約束優(yōu)化問題可以用Lagrange乘數(shù)法求解。令損失函數(shù)為

J(x,λ)=xTAx-2bTx+λ(c2-xTx),

(6)

(A-λI)x=b,xTx=l2,

(7)

令x=(A-λI)y，并將其代入式(7)得

(A-λI)2y=b。

(8)

利用x=(A-λI)y及A為對稱矩陣的性質(zhì)，于是xTx=l2可等價為

yTb=l2，

(9)

由此得

b=byTb/l2=bbTy/l2。

(10)

又由yTb=bTy,將式(10)代入式(8)，即有

[λ2I-2λA+(A2-l-2bbT)]y=0。

(11)

由矩陣A的對稱特性，方程(11)為一個對稱的二次特征值問題[6]。

二次特征值問題的求解步驟如下：

(1)求解二次特征值問題式(11)，得到特征值λi;

(2)確定最小的特征值λmin;

(3)約束最小二乘問題式(4)的解由x=(A-λminI)-1b給出。

3.2 等式約束的LAMBDA算法

“北斗”姿態(tài)測量模型中，無約束的LAMBDA算法只求解了使得式(2)中的第二項取得最小值的解，得到對應(yīng)的基線向量的最優(yōu)解。等式約束整數(shù)最小二乘式(3)將基線長度的先驗信息‖b‖2=l2應(yīng)用于整周模糊度解求解和搜索過程。由于增加基線約束條件，使得式(3)的第二項取得最小值的整數(shù)向量不一定同時滿足使得第三項取得最小值。因此,本文提出一種判斷模糊度和基線向量兩個殘差的和最小方法，擴(kuò)展了無約束LAMBDA算法，提高了單歷元條件下整周模糊度的求解成功率。

根據(jù)式(3)的正交分解，令

(12)

其中等式約束基線向量的最優(yōu)解

(13)

采用拉格朗日乘子法，可得最優(yōu)解

(14)

Ω(χ2)={a∈n|F(a)≤χ2}。

(15)

具體步驟如下：

(2)通過原始的LAMBDA算法[7]及MLAMBDA算法[8]，選取空間內(nèi)的所有整數(shù)向量,如式(16)所示：

(16)

3.3 改進(jìn)等式約束的LAMBDA搜索方法

(17)

根據(jù)式(17)中的兩個上下界函數(shù)F1(a)和F2(a)，可求得對應(yīng)的上下界搜索空間:

(18)

且Ω1(χ2)、Ω(χ2)和Ω2(χ2)滿足關(guān)系：

Ω2(χ2)≤Ω(χ2)≤Ω1(χ2)。

(19)

則改進(jìn)后的等式約束的LAMBDA的搜索方法歸納為：

(1)設(shè)定空間初值χ0，初值的選擇可以根據(jù)bootstrapping算法[9]獲得；

(20)

(3)如果沒有找到整數(shù)向量，則增加搜索空間的值，即返回第2步直到找到滿足條件的整數(shù)向量。

4 仿真結(jié)果分析

為驗證等式約束最小二乘在“北斗”姿態(tài)測量算法的應(yīng)用，我們采集“北斗”的原始觀測數(shù)據(jù)并進(jìn)行仿真分析。測試場地為重慶郵電大學(xué)逸夫科技樓頂樓(29.5316°N，106.5849°E)，測試接收機(jī)為Novatel公司的OEM617D“北斗”接收機(jī)?？紤]到短基線相較于長基線有更大的應(yīng)用優(yōu)勢，對各種載體都更適配安裝，選擇的單基線長度為1.01 m。測試內(nèi)容包括靜態(tài)測試和動態(tài)測試，前者將雙“北斗”測量天線固定在不銹鋼材質(zhì)的基線上，基線方向向東(航向角90°)，觀測多組不同歷元的數(shù)據(jù)并仿真；后者將基線固定在自制轉(zhuǎn)臺上，順時針旋轉(zhuǎn)一周，觀測并仿真。以上方法都是將數(shù)據(jù)存儲到文件中，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真分析。靜態(tài)和動態(tài)測試都是可重復(fù)測試，以下分析選取的是部分測試結(jié)果。

4.1 靜態(tài)測試分析

靜態(tài)測試結(jié)果有兩組數(shù)據(jù)，第一組測試數(shù)據(jù)共2 070個歷元，第二組測試數(shù)據(jù)共2 102個歷元。圖1是靜態(tài)測試仿真結(jié)果圖，其中(a)、(b)為第一組仿真結(jié)果，(c)、(d)為第二組仿真結(jié)果。第一組仿真結(jié)果中,(a)是無約束原始LAMBDA算法的結(jié)果，(b)是等式約束最小二乘算法的結(jié)果。第二組仿真結(jié)果中,(c)是無約束原始LAMBDA算法的結(jié)果，(d)是等式約束最小二乘算法的結(jié)果。

(a)靜態(tài)無約束“北斗”姿態(tài)角1

(b)靜態(tài)約束“北斗”姿態(tài)角1

(c)靜態(tài)無約束“北斗”姿態(tài)角2

(d)靜態(tài)無約束“北斗”姿態(tài)角2

Fig.1 Static attitude angle

由圖1中(a)、(c)可知，靜態(tài)測量情況下，無約束原始LAMBDA算法求解成功率低，姿態(tài)角求解成功率不高，并且存在較大的波動。這是因為在單歷元情況下，方程模型中加入偽距觀測量，整周模糊度浮點解精度降低。由(b)、(d)結(jié)果可知，增加等式約束后，整周模糊度的求解過程加入了更多的先驗約束信息，使姿態(tài)角的求解成功率有很大提升,且所求的姿態(tài)角的波動性較小。

表1給出了無約束原始LAMBDA算法和等式約束最小二乘算法成功率的對比結(jié)果。

表1 無約束LAMBDA和等式約束LAMBDA成功率

Tab.1 Unconstrained LAMBDA and equality constraints LAMBDA success rate

數(shù)據(jù)無約束的LAMBDA/%航向角俯仰角等式約束LAMBDA/%航向角俯仰角172.011.9100.053.3274.812.199.980.9

4.2 動態(tài)測試分析

動態(tài)測試過程是在步進(jìn)電機(jī)轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)條件下完成，模擬了真實應(yīng)用中的低動態(tài)環(huán)境，轉(zhuǎn)臺在旋轉(zhuǎn)過程中速度較快(約50 秒/周)，受測量條件限制，因此動態(tài)測試持續(xù)時間較短。對動態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真，得到無約束原始LAMBDA算法和等式約束最小二乘算法仿真結(jié)果如圖2所示。

(a)動態(tài)無約束“北斗”姿態(tài)角

(b)動態(tài)約束“北斗”姿態(tài)角

(c)約束基線長度

圖2 動態(tài)姿態(tài)角及基線長度

Fig.2 Dynamic attitude angle and the baseline length

圖2中，(a)為無約束原始LAMBDA算法仿真結(jié)果，(b)是等式約束最小二乘算法仿真結(jié)果，(c)是約束條件下測得的基線長度值結(jié)果，可見解算的基線長度值具有較小的波動。

5 結(jié) 論

本文基于拉格朗日乘子求解等式約束最小二乘方法，并將其應(yīng)用在“北斗”姿態(tài)測量模型中基線約束的LAMBDA算法的搜索部分，提出了減小搜索空間計算量，快速求解整周模糊度的算法。該算法通過加入載體基線的先驗信息，加入等式約束于整周模糊度的搜索中，使整周模糊度求解成功率有效提升。測試仿真結(jié)果表明，相比于無約束條件的“北斗”姿態(tài)測量，本文提出的等式約束最小二乘算法對單歷元條件下的“北斗”姿態(tài)測量姿態(tài)角的求解成功率提升30%左右，可應(yīng)用于實時的姿態(tài)測量中。

[1] TEUNISSEN P J G.The least-squares ambiguity decorrelation adjustment:a method for fast GPS integer ambiguity estimation[J].Journal of Geodesy,1995,70(1-2):65-82.

[2] 唐衛(wèi)明,孫紅星,劉經(jīng)南.附有基線長度約束的單頻數(shù)據(jù)單歷元LAMBDA方法整周模糊度確定[J].武漢大學(xué)學(xué)報(信息科學(xué)版),2005,30(5):444-446. TANG Weiming,SUN Hongxing,LIU Jingnan.Ambiguity resolution of single epoch single frequency data with baseline length constraint using LAMBDA algorithm[J].Geomatics and Information Science of Wuhan University,2005,30(5):444-446.(in Chinese)

[3] 王振杰,喬永杰.附有基線長度約束的模糊度快速解算方法[J].全球定位系統(tǒng),2013,38(2):19-22. WANG Zhenjie,QIAO Yongjie.Fast ambiguity resolution with the baseline length constraint[J].GNSS World of China,2013,38(2):19-22.(in Chinese)

[4] TEUNISSEN P J G.Integer least-squares theory for the GNSS compass[J].Journal of Geodesy,2010,84(7):433-447.

[5] TEUNISSEN P.The LAMBDA method for the GNSS compass[J].Artificial Satellites,2006,41(3):89-103.

[6] GOLUB G H,VON MATTU.Quadratically constrained least squares and quadratic problems[J].Numerische Mathematik,1991,59(1):561-580.

[7] JONGE P,TIBERIUS C.The LAMBDA method for integer ambiguity estimation:implementation aspects[R].Netherlands:Publications of the Delft Computing Centre,1996.

[8] CHANG X W,YANG X,ZHOU T.MLAMBDA:a modified LAMBDA method for integer least-squares estimation[J].Journal of Geodesy,2005,79(9):552-565.

[9] TEUNISSEN P J G.Influence of ambiguity precision on the success rate of GNSS integer ambiguity bootstrapping[J].Journal of Geodesy,2007,81(5):351-358.

汪鐿林(1988—)，男，四川瀘縣人，碩士研究生，主要研究方向為“北斗”姿態(tài)測量;

WANG Yilin was born in Luxian,Sichuan Province,in 1988.He is now a graduate student.His research concerns BDS attitude determination.

Email：vixylin@163.com

田增山(1968—)，男，河南人，1999年于電子科技大學(xué)獲博士學(xué)位，現(xiàn)為教授，主要研究方向為“北斗”姿態(tài)測量、個人通信、衛(wèi)星導(dǎo)航、無線定位、信號檢測與估計。

TIAN Zengshan was born in Henan Province,in 1968.He received the Ph.D. degree from University of Electronic Science and Technology of China in 2002.He is now a professor.His research concerns BDS attitude determination,personal communications,satellite navigation,wireless localization and signal detection and estimation.

Application of Equality Constrained Least Squares in BDS Attitude Determination

WANG Yilin，TIAN Zengshan

(Chongqing Key Laboratory of Mobile Communications Technology,Chongqing University of Posts and Telecommunications,Chongqing 400065,China)

For the low success rate problem of ambiguity resolution in traditional unconstrained attitude determination,this paper proposes an algorithm that uses quadratic equality constraint to fast determine integer ambiguity,and applies it to Beidou Navigation Satellite System(BDS) attitude determination.This algorithm makes full use of a priori information baseline,adds equality constraints in the process of solving the ambiguity,and takes advantage of the Lagrange multiplier method for solving constrained integer least squares problems,thus improving the success rates of integer ambiguity resolution and attitude angle resolution.Static tests and dynamic tests validate that the algorithm can dramatically improve the success rates of integer ambiguity resolution and BDS attitude determination by about 30% under the condition of the BDS single epoch.

Beidou navigation satellite system;attitude determination;integer ambiguity;equality constrained;Lagrange multiplier

10.3969/j.issn.1001-893x.2016.07.008

汪鐿林,田增山.等式約束最小二乘在“北斗”姿態(tài)測量中的應(yīng)用[J].電訊技術(shù)，2016,56(7):760-764.[WANG Yilin，TIAN Zengshan.Application of equality constrained least squares in BDS attitude determination[J].Telecommunication Engineering,2016,56(7):760-764.]

2015-12-03；

2016-03-03 Received date:2015-12-03；Revised date：2016-03-03

重慶市基礎(chǔ)與前沿研究計劃項目(cstc2013jcyjA40032)

Foundation Item:The Fundamental and Frontier Research Project of Chongqing(cstc2013jcyjA40032)

TN965;P228

A

1001-893X(2016)07-0760-05

**通信作者：vixylin@163.com Corresponding author：vixylin@163.com