馬棟梁 周 濤 齊 實 陳 杰 夏榜樣 肖澤軍1（華北電力大學(xué) 核科學(xué)與工程學(xué)院 北京 102206）

2（華北電力大學(xué) 核熱工安全與標(biāo)準(zhǔn)化研究所 北京 102206）

3（非能動核能安全技術(shù)北京市重點實驗室 北京 102206）

4（中國核動力研究設(shè)計院 核反應(yīng)堆系統(tǒng)設(shè)計技術(shù)重點實驗室 成都 610041）

5（中國核動力研究設(shè)計院 核反應(yīng)堆熱工水力技術(shù)重點實驗室 成都 610041）

超臨界水?dāng)M臨界點的熱膨脹系數(shù)計算研究

馬棟梁1,2,3周 濤1,2,3齊 實1,2,3陳 杰1,2,3夏榜樣4,5肖澤軍4,51（華北電力大學(xué) 核科學(xué)與工程學(xué)院 北京 102206）

2（華北電力大學(xué) 核熱工安全與標(biāo)準(zhǔn)化研究所 北京 102206）

3（非能動核能安全技術(shù)北京市重點實驗室 北京 102206）

4（中國核動力研究設(shè)計院 核反應(yīng)堆系統(tǒng)設(shè)計技術(shù)重點實驗室 成都 610041）

5（中國核動力研究設(shè)計院 核反應(yīng)堆熱工水力技術(shù)重點實驗室 成都 610041）

在臨界點附近時，超臨界水的熱膨脹系數(shù)很大，隨著壓力的升高，擬臨界點的熱膨脹系數(shù)迅速下降，擬臨界點的熱膨脹系數(shù)是計算臨界相變轉(zhuǎn)換數(shù)的基礎(chǔ)，對于分析超臨界壓力下的流動不穩(wěn)定性非常重要。因此，計算超臨界水在擬臨界點的熱膨脹系數(shù)，對于了解和掌握超臨界水堆中能量的轉(zhuǎn)換或熱量傳遞非常重要。運用MATLAB曲線擬合工具箱，對超臨界水的擬臨界點的膨脹系數(shù)進行了擬合回歸分析。擬合得出了超臨界水的擬臨界點的熱膨脹系數(shù)的計算公式。該公式具有結(jié)構(gòu)簡單易于計算的特點，最大絕對誤差為0.20 K-1，最大的相對誤差為0.19%，計算精度滿足工業(yè)研究與分析的要求。

超臨界水，擬臨界點，膨脹系數(shù)，擬合公式

在超臨界狀態(tài)下，液態(tài)水和汽態(tài)水是沒有明顯分界點的。在超臨界區(qū)，用擬臨界階段狀態(tài)點（擬臨界點）作為區(qū)分擬液態(tài)和擬汽態(tài)的分界點。在擬臨界點時，對應(yīng)的溫度值為擬臨界點溫度值，對應(yīng)此時的定壓比熱容達到最大值。在超臨界水從液態(tài)向汽態(tài)逐漸轉(zhuǎn)變的過程中，其熱力學(xué)的各種物性參數(shù)會有著各種較為奇特的變化趨勢。所以在這些物性參數(shù)中，熱膨脹系數(shù)作為一個導(dǎo)出變量，是一個重要的參數(shù)。該參數(shù)在超臨界核反應(yīng)堆的流動不穩(wěn)定性及換熱分析計算中具有重要的應(yīng)用。Ambrosini等[1]在分析超臨界壓力下的流動不穩(wěn)定的時候，提出了臨界相變轉(zhuǎn)換數(shù)(Trans-pseudocritical Number, NTPC)的概念。在臨界相變轉(zhuǎn)換數(shù)的計算公式中，擬臨界點熱膨脹系數(shù)是其中需要計算的一個重要變量。擬臨界點的膨脹系數(shù)，即為在一定超臨界壓力下，對應(yīng)在擬臨界溫度點時的熱膨脹系數(shù)。值得一提的是，“超臨界熱膨脹系數(shù)”跟“擬臨界點的熱膨脹系數(shù)”兩者概念是不同的?！俺R界熱膨脹系數(shù)”是在一定壓力下，隨著溫度變化時由連續(xù)變化的一組數(shù)值組成。而“擬臨界點的熱膨脹系數(shù)”是“超臨界熱膨脹系數(shù)”中的峰值點[2]。計算超臨界水在擬臨界點的熱膨脹系數(shù)，對于理解和掌握超臨界水堆中能量的轉(zhuǎn)換或熱量的傳遞非常重要。在能源動力工程中的其他各個領(lǐng)域分析研究中，超臨界水的擬臨界點的熱膨脹系數(shù)的計算亦有著重要而廣泛的應(yīng)用。但是在大量的能源與動力類的文獻[2-7]中，超臨界水的擬臨界點的熱膨脹系數(shù)的具體計算數(shù)值卻鮮有報道。依據(jù)國際水和水蒸汽性質(zhì)協(xié)會(International Association for the Properties of Water and Steam, IAPWS)提供的1997年工業(yè)用計算標(biāo)準(zhǔn)(IAPWS-IF97)[8]，利用液態(tài)水和汽態(tài)水的熱膨脹系數(shù)差值計算的方法，可以直接計算得到在不同超臨界壓力下的液態(tài)水和汽態(tài)水的熱膨脹系數(shù)。確定擬臨界點溫度之后，從而可以相應(yīng)得到擬臨界點的熱膨脹系數(shù)。但是直接計算時，計算工作量往往過大，且計算過程較為繁瑣。超臨界水的擬臨界點的熱膨脹系數(shù)計算模型的提出，能夠簡單迅速地計算得到在各種不同壓力下的擬臨界點的熱膨脹系數(shù)值，且精度范圍滿足超臨界水的擬臨界點的熱膨脹系數(shù)分析的要求。該公式的提出，為進一步編程分析計算超臨界水的相變轉(zhuǎn)換數(shù)等參數(shù)具有重要意義，為便捷快速地量化分析超臨界水的流動換熱特性奠定了基礎(chǔ)，有利于更好地對超臨界水進行流動不穩(wěn)定性分析。

1 超臨界水熱膨脹系數(shù)計算模型

1.1 計算范圍

IAPSW-IF97公式將液態(tài)水和汽態(tài)水的整個有效區(qū)域劃分為5個子區(qū)域，如圖1所示。

圖1 IAPWS-IF97的分區(qū)Fig.1 IAPWS-IF97 subregion.

在圖1中的分區(qū)計算公式中，第三區(qū)為超臨界區(qū)，為需要計算熱膨脹系數(shù)的區(qū)域。其中劃分第三區(qū)和第二區(qū)的邊界計算公式為：

超臨界區(qū)的計算公式適用范圍如下：623.15K≤T≤T(P)Eq.(1)，Ps(T)≤P≤100MPa。

1.2 定義公式

根據(jù)工程熱力學(xué)的定義，液態(tài)水和汽態(tài)水的熱膨脹系數(shù)是在等壓情況下比體積隨著溫度的變化率。計算公式如下：

式中：pβ為熱膨脹系數(shù)，K-1；υ為比體積，m3·kg-1；T為熱力學(xué)溫度，K。

在超臨界區(qū)域范圍內(nèi)，第三區(qū)給出的基本方程形式是Helmholtz比自由能方程(,T)fρ（對應(yīng)的無量綱形式的Helmholtz比自由能方程為(,)φ δ τ）。在超臨界區(qū)域中，(,)φ δ τ以折算密度δ和折算溫度τ為獨立的變量。壓力的關(guān)系表達式如下：

式中：ρ為密度，kg·m-3；φδ為φ( δ ,τ)對折算密度的偏導(dǎo)數(shù)；基準(zhǔn)密度ρc=322 kg·m-3。

1.3 計算公式

因為在超臨界區(qū)域中給出的基本方程不是直接以P和T為獨立變量的，所以，要使用隱含導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)的方法，將P看成是相對于T獨立的變量，然后將壓力的關(guān)系方程兩邊同時對T求偏導(dǎo)數(shù)，即：

解上述方程可得：

將式(6)帶入熱膨脹系數(shù)的定義式(3)中，得到熱膨脹系數(shù)的計算公式如下：

式中：δτφ為(,)φ δ τ對折算密度和折算溫度的二階偏導(dǎo)數(shù)；δδφ為(,)φ δ τ對折算密度的二階偏導(dǎo)數(shù)。

2 超臨界水熱膨脹系數(shù)參數(shù)分析

2.1 不同壓力的熱膨脹系數(shù)

當(dāng)水在超臨界狀態(tài)下，液態(tài)水和汽態(tài)水是沒有明顯分界點的。當(dāng)水處于溫度較低時，可以認為此時水的狀態(tài)是和亞臨界以下的液態(tài)水是一致的。當(dāng)水處于溫度較高時，可以認為此時水的狀態(tài)是和亞臨界以下的汽態(tài)水是一致的。但是在從液態(tài)水向汽態(tài)水過渡的過程中，此時處于一種液態(tài)水和汽態(tài)水的混合狀態(tài)。在一定的壓力條件下，在某一臨界溫度點附近時，此時液態(tài)水和汽態(tài)水的熱膨脹系數(shù)達到最大值，之后迅速減小。超臨界水在不同壓力條件下的熱膨脹系數(shù)變化趨勢如圖2所示。

圖2 不同壓力下超臨界水的熱膨脹系數(shù)變化趨勢Fig.2 Thermal expansion coefficient of supercritical water under different pressure.

由圖2可見，在壓力一定的條件下，超臨界水在從液態(tài)水向汽態(tài)水狀態(tài)轉(zhuǎn)變的過程中，熱膨脹系數(shù)首先迅速升高，達到峰值之后又迅速下降。超臨界水的熱膨脹系數(shù)所對應(yīng)的溫度在擬臨界溫度點附近，此時的熱膨脹系數(shù)為擬臨界點的熱膨脹系數(shù)。隨著壓力的升高，擬臨界點的熱膨脹系數(shù)的峰值逐漸降低，同時對應(yīng)的擬臨界溫度值卻在逐漸升高。

通過對式(3)進行差值計算，選擇其中熱膨脹系數(shù)的峰值，從而得出不同壓力下的擬臨界點的溫度值和擬臨界點的熱膨脹系數(shù)的數(shù)值，如表1所示。

通過表1計算得出超臨界水的擬臨界點的熱膨脹系數(shù)，可以直觀地看出在各種壓力下的擬臨界點的熱膨脹系數(shù)數(shù)值的大小，可以供相關(guān)研究人員對超臨界壓力下的水的擬臨界點的熱膨脹系數(shù)進行查詢參考使用。

表1 不同壓力對應(yīng)的擬臨界點的熱膨脹系數(shù)Table1 Pseudo-critical thermal expansion coefficient under different pressure.

2.2 擬臨界點的熱膨脹系數(shù)變化趨勢

在不同壓力下的超臨界水?dāng)M臨界溫度值和擬臨界點的熱膨脹系數(shù)的變化趨勢情況如圖3所示。

圖3 擬臨界溫度和擬臨界點的熱膨脹系數(shù)變化趨勢Fig.3 Trend of pseudo-critical temperature and pseudo-critical thermal expansion coefficient.

通過圖3可以看出，隨著壓力升高，超臨界水的擬臨界溫度值逐漸升高，而超臨界水的擬臨界點的熱膨脹系數(shù)是迅速下降的，下降速度呈現(xiàn)為指數(shù)級別的速度下降。當(dāng)下降到一定程度之后，擬臨界點的熱膨脹系數(shù)變化趨勢趨于平緩，說明達到一定壓力之后，隨著溫度的變化，超臨界水的熱膨脹變化是比較小的。

3 擬合公式的確定及驗證

3.1 公式的確定

由于在表1中計算所得的各壓力下的擬臨界點的熱膨脹系數(shù)是通過逐點溫度差值計算熱膨脹系數(shù)而得到的，計算工作量較大，且工作較為繁瑣。所以根據(jù)表1中計算得到的擬臨界點的熱膨脹系數(shù)的原始數(shù)據(jù)，利用MATLAB擬合數(shù)據(jù)工具箱對超臨界水的擬臨界點的熱膨脹系數(shù)值進行了擬合分析。通過擬合分析得到了如下兩種公式結(jié)構(gòu)的擬合公式，計算結(jié)果的回歸情況較為理想。擬合公式分別如下：

式中：c1=0.327(0.317,0.337)；c2=-7.112(-7.342, -6.882)；d1=-44(-44.01,-43.98)；d2=484(483.7, 484.3)。其中括弧內(nèi)的系數(shù)參數(shù)范圍為回歸系數(shù)為95%置信區(qū)間的界限參數(shù)。

3.2 公式的驗證

擬合公式一和擬合公式二計算擬臨界膨脹系數(shù)的計算結(jié)果及相對誤差和絕對誤差如表2、3所示。

為了將表2、3中的擬合公式計算結(jié)果進行直觀對比，表2、3中直接計算結(jié)果和擬合公式一和擬合公式二得出的結(jié)果對比情況如圖4所示。

通過圖4中擬合公式中的計算結(jié)果和直接計算得出的擬臨界點的熱膨脹系數(shù)的對比可以看出，擬合公式一在壓力較低時與實際計算得出的數(shù)值誤差較小，但是壓力超過23MPa之后擬合公式一得出的計算結(jié)果普遍比實際值偏高。擬合公式二的誤差平方和(Sum of the Squared Errors, SSE)跟公式一的誤差平方和相比較小，均方根誤差(Root Mean Square Error, RMSE)也比公式一的均方根誤差要小很多。擬合公式二的回歸系數(shù)為1，表明擬合結(jié)果的實際趨勢和實際計算結(jié)果的趨勢是完全線性相關(guān)的。但是在壓力低于23MPa的壓力范圍內(nèi)，通過擬合公式二計算得出的結(jié)果跟擬合公式一相比偏高較多。

表2 擬合公式一和擬臨界點的熱膨脹系數(shù)的結(jié)果對比Table2 Contrast of pseudo-critical thermal expansion coefficient with the result of fitting Formula 1.

表3 擬合公式二和擬臨界點的熱膨脹系數(shù)的結(jié)果對比Table3 Contrast of pseudo-critical thermal expansion coefficient with the result of fitting Formula 2.

圖4 直接計算結(jié)果和擬合公式一(a)、擬合公式二(b)計算結(jié)果的對比Fig.4 Contrast of directly calculation result with the result of fitting Formula 1 (a) and fitting Formula 2 (b).

3.3 誤差分析

擬合公式一和擬合公式二的計算結(jié)果的絕對誤差和相對誤差分布情況如圖5所示。通過圖5(b)在公式一和公式二的相對誤差分布情況也可以看出，在壓力較低時公式一的相對誤差較小，在壓力較高時公式二的相對誤差較小。所以綜合考慮后確定，當(dāng)超臨界壓力小于等于22.5MPa時，建議選用公式一；當(dāng)超臨界壓力大于等于23.0MPa時，建議選用公式二。當(dāng)超臨界壓力介于22.5MPa和23.0MPa之間時，則采用擬合公式一和擬合公式二組合的方式計算。具體組合過渡形式見§3.4的最終公式。組合計算形式的采用，保證了擬臨界點的熱膨脹系數(shù)的計算在不同壓力區(qū)間變化時的計算結(jié)果具有連續(xù)光滑性。

圖5 擬合公式一與擬合公式二的絕對誤差(a)和相對誤差(b)對比Fig.5 Absolute error contrast (a) and relative error contrast (b) between fitting Formula 1 and fitting Formula 2.

3.4 公式最終形式

經(jīng)過§3.3的誤差分析，最終確定的公式形式如式(13)所示：

用IAPWS-IF97標(biāo)準(zhǔn)計算擬臨界點的熱膨脹系數(shù)時，需要首先計算已知壓力下對應(yīng)的擬臨界點溫度，進而通過壓力和溫度，計算出該壓力和溫度下的熱膨脹系數(shù)，即擬臨界點的熱膨脹系數(shù)。而采用新擬合的式(13)計算擬臨界點的熱膨脹系數(shù)時，由于擬臨界點的熱膨脹系數(shù)是壓力的函數(shù)，所以僅知道壓力，即可通過擬合公式求出該超臨界壓力下對應(yīng)擬臨界點的熱膨脹系數(shù)。對比該兩種不同的計算方法，運用本文公式可以加快反應(yīng)堆程序的計算速率，進而減少計算時間。

4 結(jié)語

根據(jù)液態(tài)水和汽態(tài)水的熱膨脹系數(shù)計算定義，直接計算得出了超臨界水在各個壓力下的擬臨界點的熱膨脹系數(shù)。然后根據(jù)直接計算得出的各個壓力下的擬臨界點的熱膨脹系數(shù)，運用MATLAB曲線擬合工具箱，對超臨界水的擬臨界點的熱膨脹系數(shù)進行了擬合回歸分析，并得出了兩組計算超臨界水的擬臨界點的熱膨脹系數(shù)的計算公式。

1) 超臨界水?dāng)M臨界點的熱膨脹系數(shù)，在臨界點附近時達到最大值，隨著壓力的上升，擬臨界點的熱膨脹系數(shù)迅速下降，當(dāng)壓力超過25.0MPa之后，擬臨界點的熱膨脹系數(shù)的變化趨于平緩。

2) 當(dāng)超臨界壓力低于22.5MPa時，建議選用擬合公式一計算擬臨界膨脹系數(shù)；當(dāng)超臨界壓力大于等于23.0MPa時，建議選用擬合公式二計算擬臨界膨脹系數(shù)。當(dāng)壓力介于22.5MPa和23.0MPa之間時，采用上述兩公式組合的方式進行計算。最終推薦計算公式形式如式(13)所示。最終計算公式最大的絕對誤差為0.201K-1，最大的相對誤差為0.19%，滿足計算分析擬臨界點的熱膨脹系數(shù)的要求，且具有結(jié)構(gòu)簡單易于編程計算的特點。

1 Ambrosini W, Sharabi M. Dimensionless parameters in stability analysis of heated channels with fluids at supercritical pressures[J]. Nuclear Engineering and Design, 2008, 238: 1917-1929. DOI: 10.1016/j. nucengdes.2007.09.008

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Calculation research on pseudo-critical thermal expansion coefficient of supercritical water

MA Dongliang1,2,3ZHOU Tao1,2,3QI Shi1,2,3CHEN Jie1,2,3XIA Bangyang4,5XIAO Zejun4,51(School of Nuclear Science and Engineering, North China Electric Power University, Beijing 102206, China)
2(Institute of Nuclear Thermal-hydraulic Safety and Standardization, North China Electric Power University, Beijing 102206, China)
3(Beijing Key Laboratory of Passive Safety Technology for Nuclear Energy, Beijing 102206, China)
4(Key Laboratory of Reactor System Design Technology, Nuclear Power Institute of China, Chengdu 610041, China)
5(Science and Technology on Reactor System Design Technology Laboratory, Nuclear Power Institute of China, Chengdu 610041, China)

Background: The supercritical water thermal expansion coefficient is very large when the reactor is approaching the critical point, but drops rapidly with the increase of pressure. The pseudo-critical thermal expansion coefficient is the basis for calculation of the critical phase transition transformation number which is of great importance in the analysis of flow instability of supercritical pressure water, therefore its calculation is very important to understand and master the conversion of energy or heat transfer in supercritical water reactor. Purpose: This study aims to derive a fitting formula for direct calculation of the pseudo-critical expansion coefficient. It is useful for thermal-hydraulic program analysis. Methods: First of all, the pseudo-critical temperature need to be calculated, then a regression analysis for the pseudo-critical thermal expansion coefficient of supercritical water is fitted by using

Supercritical water, Pseudo-critical, Thermal expansion coefficient, Fitting formula

MA Dongliang, male, born in 1982, graduated from North China Electric Power University with a master’s degree in 2008, doctoral student, focusing on nuclear thermal hydraulic and safety

ZHOU Tao, E-mail: zhoutao@ncepu.edu.cn

TL99

10.11889/j.0253-3219.2016.hjs.39.120601

中核核反應(yīng)堆熱工水力技術(shù)重點實驗室基金(No.20130901)、核反應(yīng)堆系統(tǒng)設(shè)計技術(shù)重點實驗室基金(No.2015BJ0151)資助

馬棟梁，男，1982年出生，2008年于華北電力大學(xué)獲碩士學(xué)位，博士研究生，研究方向為核熱工水力與安全

周濤，E-mail: zhoutao@ncepu.edu.cn

Supported by Nuclear Reactor Thermal Hydraulic Technology Key Laboratory Fund (No.20130901), Key Laboratory of Nuclear Reactor System Design Technology (No.2015BJ0151)

2016-10-12，

2016-11-10

MATLAB curve fitting toolbox. The fitting calculation formula about the pseudo-critical thermal expansion coefficient is derived from those fitting data in the form of combination formula. Results: The calculation result is continuous smoothness with maximum absolute error no more than 0.20 K-1, and the biggest relative error is 0.19%. Conclusion: The formula is simple in structure and easy to calculate with high efficiency, and the calculation precision meets the requirements of industry research and analysis.