杜文超，劉亞相

（西北農(nóng)林科技大學(xué) 理學(xué)院，陜西 楊凌 712100）

新Lorenz曲線模型及應(yīng)用

杜文超，劉亞相

（西北農(nóng)林科技大學(xué) 理學(xué)院，陜西 楊凌 712100）

Lorenz曲線作為分析國(guó)家收入分配狀況的重要工具，近年來(lái)得到廣大學(xué)者的關(guān)注和廣泛應(yīng)用。文章提出了新的Lorenz曲線模型，通過(guò)Monte Carlo數(shù)值模擬及實(shí)際應(yīng)用分析，并與十個(gè)經(jīng)典的Lorenz曲線模型作對(duì)比，來(lái)說(shuō)明新模型的優(yōu)越性和合理性。

Lorenz曲線；新模型；數(shù)值模擬；實(shí)際應(yīng)用

0 引言

在經(jīng)濟(jì)學(xué)研究領(lǐng)域，Lorenz曲線是分析國(guó)民收入和財(cái)富分配狀況的重要工具，并受到廣泛應(yīng)用。Lorenz曲線首先由Max Otto Lorenz提出，隨后受到許多學(xué)者的關(guān)注。目前，Lorenz曲線模型的建立主要有3種方法：幾何算法、曲線擬合法和分布函數(shù)法。本文討論的內(nèi)容屬于曲線擬合法，基于前人的研究，根據(jù)Lorenz曲線所具有的性質(zhì)，構(gòu)造了新的Lorenz曲線模型。

1 模型的建立

1.1 orenz曲線的定義

Lorenz曲線L(p)表示的是收入小于或等于x的人口所擁有的收入占總收入的比例，即:

其中，μ是平均收入，x表示收入，f(x)是收入分配的密度函數(shù)。記收入分布函數(shù)為F(x)，p=F(x)表示收入小于或等于x的人口比例，F(xiàn)-1(p)表示F(x)的反函數(shù)，那么Lorenz曲線還可以表示為:

1.2 Lorenz曲線的性質(zhì)

由定義可知Lorenz曲線L(p)具有如下性質(zhì)，

性質(zhì)1也是使函數(shù)L() p成為L(zhǎng)orenz曲線的充分必要條件。1999年Jose-Maria Sarabia等人研究了Lorenz曲線的衍生模型，提出如下性質(zhì):

性 質(zhì)2：若 L(p )是 一 個(gè)Lorenz曲 線 ，考 慮Lα(p)=pαL(p)，α≥0，

當(dāng)α≥1時(shí)，Lα(p)是一個(gè)Lorenz曲線；

當(dāng)0＜α≤1，且L?(p)≥0時(shí)，Lα(p)是一個(gè)Lorenz曲線。

2011年，王祖祥等人在Sarabia等人研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析了Lorenz曲線，擴(kuò)充了Lorenz曲線的性質(zhì)，提出性質(zhì)3。

性質(zhì)3：假設(shè) f(p)和g(p)都是Lorenz曲線。那么L(p)=f(p)αg(p)υ也是Lorenz曲線，只要下面任一條件成立：

①α≥1，υ≥1；

[ ]

0，1上遞增；

1.3 新模型的構(gòu)建

Kakwani和Podder（1923）提出了較早的Lorenz曲線模型：

隨后，Rasche et al（1980）、Gupta（1984）、Chotikapanich（1993）、Jose-Maria Sarabia和Enrique Castillo（1997）相繼提出如下Lorenz曲線的經(jīng)典模型：

2009年，Wang等人根據(jù)Schader和Schmid于1994年提出的模型

在模型（7）的基礎(chǔ)上用e-γp替換了ηpγ，提出了如下模型：

并指出該模型比基于Pareto分布而得到的Lorenz曲線基礎(chǔ)模型：

具有更高的擬合精度。此外，國(guó)內(nèi)外學(xué)者還提出了許多衍生的Lorenz曲線模型，例如：

本文利用Lorenz曲線的性質(zhì)，基于前人提出的基礎(chǔ)模型，構(gòu)造了如下四個(gè)新模型：

令f(p)=1-e-ap(1 -p)b，g(p)=1-(1-p)c。則當(dāng)0＜b≤1，0≤a+b≤時(shí)，f(p)為L(zhǎng)orenz曲線模型（8）且f?(p)≥0；當(dāng)0＜c≤1時(shí)，g(p)為L(zhǎng)orenz曲線基礎(chǔ)模型（10）；當(dāng)0＜c≤1，d≥1時(shí)，g(p)d為L(zhǎng)orenz曲線模型（5）。由 Lorenz曲線的性質(zhì) 1可知，當(dāng) 0＜b≤1，0≤a+b≤， 0＜c≤1 時(shí) ， 均 有f′(p)≥0，f″(p)≥0，g′(p)≥0，g″(p)≥0，進(jìn)而當(dāng)m∈[0 ，1]時(shí)有 L11′(p)≥0，L11′(p)≥0，p∈[0 ，1] 。且 L11(p)滿足L11(0)=0，L11(1)=1。故L11(p)為L(zhǎng)orenz曲線模型。同理可知當(dāng)0＜b≤1，0≤a+b≤，0＜c≤1，d≥1，m∈[0 ，1]時(shí)，L12(p)也為L(zhǎng)orenz曲線模型。再根據(jù)性質(zhì)3可得，當(dāng)0＜b≤1，0≤a+b≤，0＜c≤1，d≥1時(shí)，L13(p)為L(zhǎng)orenz曲線模型；當(dāng)0＜b≤1，0≤a+b≤，0＜c≤1，d≥1時(shí)，L(p)也為L(zhǎng)orenz曲線模型。14

2 模型數(shù)值模擬比較

基于Monte Carlo數(shù)值模型，對(duì)本文提出的四個(gè)Lorenz曲線新模型與已有的十個(gè)經(jīng)典Lorenz曲線模型的擬合結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，來(lái)表明其擬合效果。

成邦文（2005）指出，社會(huì)經(jīng)濟(jì)規(guī)模指標(biāo)近似服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。由此，本文假定收入變量X～lnN(μ ，σ)，F(xiàn)(x)為X的分布函數(shù)，則Lorenz曲線上任一點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)滿足p=F(x)，且Lorenz曲線滿足L(p)=Φ(Φ-1(p)-σ)，其中Φ與Φ-1分別表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)及其逆函數(shù)。由Lorenz曲線與收入分布函數(shù)之間關(guān)系，利用Monte Carlo數(shù)值模擬方法，生成服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，再分別計(jì)算收入分布函數(shù)值及Lorenz曲線函數(shù)值，進(jìn)而估計(jì)Lorenz曲線模型。

本文采用最常用的三個(gè)指標(biāo)來(lái)比較擬合效果：均方根誤差（RMSE）、平均絕對(duì)誤差（MAE）以及最大絕對(duì)誤差（MAS）。為使得模擬結(jié)果不失一般性，本文取μ=0，σ=1，模擬100次，結(jié)果如圖1至圖3所示。圖1至圖3分別給出了模型L1～L14擬合效果指標(biāo)RMSE、MAE、MAS的箱線圖。在圖中，箱線圖的高低代表了模型擬合誤差的大小，箱體觸須的長(zhǎng)短則代表了模型擬合效果的穩(wěn)定程度。在圖1中，本文提出的模型L14擬合效果最好，其次為L(zhǎng)12、L13和L7；在圖2中，L14仍表現(xiàn)最佳，其次為L(zhǎng)12和L13；在圖3中，模型L14要較之其他模型有明顯的優(yōu)勢(shì)，其次為L(zhǎng)12和L13。綜合圖1至圖3，可以看出本文提出的模型L14具有非常好的擬合效果，并且擬合結(jié)果穩(wěn)定；其次，本文提出的模型L12、L13相較于已有模型也具有較好的擬合效果，L11略次之。

圖1 均方根誤差箱線圖

圖2 平均絕對(duì)誤差箱線圖

圖3 最大絕對(duì)誤差箱線圖

3 模型的實(shí)際應(yīng)用

本文選用2013年第十屆華為杯全國(guó)研究生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽“中等收入定位與人口度量模型研究”中的數(shù)據(jù)來(lái)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?shí)用性。本文所使用的原始數(shù)據(jù)見(jiàn)表1至表3所示。其中，競(jìng)賽E題表1收入分配分組數(shù)據(jù)用來(lái)比較新模型與已有模型的擬合效果；表2和表3收入分配分組數(shù)據(jù)則用來(lái)檢驗(yàn)新模型對(duì)Lorenz曲線的描述能力。

表1 收入分配分組數(shù)據(jù)

表2 收入分配分組數(shù)據(jù)(地區(qū)A，年份之一)

表3 收入分配分組數(shù)據(jù)(地區(qū)A，年份之二)

3.1 擬合效果比較

運(yùn)用Lorenz曲線模型L1(p)～L14(p)分別對(duì)競(jìng)賽E題中的表1收入分配分組數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，擬合效果如表4所示。從表中可以看出，擬合效果最好的為本文提出的四個(gè)模型L11(p)、L12(p)、L13(p)、L14(p)，并且相較于已有模型，具有明顯的優(yōu)越性，其中L14(p)表現(xiàn)最佳，誤差最小。

表4 Lorenz曲線模型擬合結(jié)果

3.2 新模型實(shí)際應(yīng)用

為更好地說(shuō)明新模型的優(yōu)越性和合理性，本文選用L12(p)和L14(p)模型對(duì)競(jìng)賽E題中表2和表3收入分配分組數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，從而檢驗(yàn)新模型的實(shí)用性及對(duì)Lorenz曲線的描述能力。

L12(p)、L14(p)對(duì)地區(qū)A在年份一和年份二的收入分配分組數(shù)據(jù)擬合效果如圖4和圖5所示，其中黑色實(shí)線是真實(shí)Lorenz曲線，黑色虛線是模型擬合的Lorenz曲線。

圖4 地區(qū)A在 L12(p)模型下擬合的Lorenz曲線

從圖4和圖5中可以看出L12(p)與L14(p)模型擬合出的Lorenz曲線幾乎與真實(shí)Lorenz曲線完全重合。在圖4中，新模型L12(p)對(duì)年份一和年份二數(shù)據(jù)的擬合都表現(xiàn)出當(dāng)p=0.7至p=0.9時(shí)誤差變大，該模型低估了高分位點(diǎn)的總收入比重，因此由該模型計(jì)算的Gini系數(shù)將比真實(shí)值偏大。在圖5中，新模型L14(p)對(duì)數(shù)據(jù)的擬合也出現(xiàn)了低估高分位點(diǎn)總收入比重的情況；在年份一中，當(dāng)p處于0.8附近時(shí)，該情況表現(xiàn)明顯；在年份二中，該情況得到明顯的改觀，擬合曲線幾乎完全逼近真實(shí)曲線。總體來(lái)說(shuō)，新模型L12(p)和L14(p)均具有很好的擬合效果，都能夠幾乎準(zhǔn)確的表現(xiàn)真實(shí)Lorenz曲線，其中L14(p)表現(xiàn)更好，誤差更小。

圖5 地區(qū)A在L14(p)模型下擬合的Lorenz曲線

4 結(jié)論

本文利用Lorenz曲線的性質(zhì)，在前人研究的基礎(chǔ)上，提出了四個(gè)新Lorenz曲線模型，通過(guò)數(shù)值模擬和實(shí)際應(yīng)用，新模型較之已有模型，表現(xiàn)出明顯的優(yōu)越性和有效性，新模型能很好的逼近真實(shí)Lorenz曲線，更加精確地描述真實(shí)Lorenz曲線，反映收入分布狀況。新模型對(duì)于計(jì)算Gini系數(shù)以及更深一步的研究，具有很好的利用價(jià)值和參考意義。

[1]Ogwang J,Rao U L G.Hybrid Models of the Lorenz Curve[J].Econom?ics Letters,2000,(69).

[2]Sarabia J M,Castillo E,Pascual M,et al.Mixture Lorenz Curves[J].Eco?nomics Letters,2005,(89).

[3]Wang Z X,Ng Y K,Smyth R.A General Method for Creating Lorenz Curves[J].Review of Income and Wealth,2011,57(3).

[4]Wang Z X,Smyth R.A Hybrid Method for Creating Lorenz Curves[J]. Economics Letters,2015,(129).

[5]許啟發(fā).一個(gè)新的Lorenz曲線模型[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究, 2014,(11).

[6]成邦文.基于對(duì)數(shù)正態(tài)分布的洛倫茲曲線與基尼系數(shù)[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究,2005,(2).

[7]楊寶瑩.廣義Lorenz曲線的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷[J].中國(guó)科學(xué)：數(shù)學(xué), 2012,(3).

（責(zé)任編輯/浩 天）

F222.3

A

1002-6487（2016）23-0077-03

杜文超（1991—），女，黑龍江伊春人，碩士研究生，研究方向：居民收入分配及消費(fèi)。

（通訊作者）劉亞相（1962—），男，陜西寶雞人，博士，教授，研究方向：博弈論、金融數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)。