劉付成,孫宏麗,朱東方,孫 俊

(1.上海市空間智能控制技術(shù)重點實驗室,上海 201109; 2.上海航天控制技術(shù)研究所,上海 201109)

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空間索網(wǎng)天線展開遞推動力學(xué)建模方法研究

劉付成1、 2,孫宏麗1、 2,朱東方1、 2,孫 俊1、 2

(1.上海市空間智能控制技術(shù)重點實驗室,上海 201109; 2.上海航天控制技術(shù)研究所,上海 201109)

針對大型空間可展開天線自由度多、非線性強特點，為對其展開實施有效控制，提出一種周邊桁架空間機構(gòu)的多自由度系統(tǒng)快速遞推建模方法。用有限段方法處理桿件彈性部分，用等效力矩代替腹桿的驅(qū)動和鎖定作用，將周邊桁架雙重閉環(huán)構(gòu)型等價為鏈式多體系統(tǒng)。對索網(wǎng)大型天線用空間算子代數(shù)遞推建模，求解動力學(xué)響應(yīng)可模擬獲得天線變形的運動和所需各驅(qū)動力矩。數(shù)值算例中獲取了加速段和減速段關(guān)節(jié)空間的角位移和角速度，以及關(guān)節(jié)空間驅(qū)動力矩。研究表明該法是一種高精度、高效率的動力學(xué)遞推建模方法，可適于大型可展開機構(gòu)的快速計算，對實際工程中天線展開的參數(shù)設(shè)計和力學(xué)分析有一定的指導(dǎo)意義。

空間索網(wǎng)天線； 展開過程； 等效力矩； 周邊桁架雙重閉環(huán)構(gòu)型； 鏈式多體系統(tǒng)； 空間算子代數(shù)； 角位移； 角速度； 空間驅(qū)動力矩

0 引言

隨著航天任務(wù)多樣化，星載大型桁架式網(wǎng)狀拋物面天線是滿足移動通信、對地遙感和深空探測等空間應(yīng)用的關(guān)鍵設(shè)備。這種天線質(zhì)量小、強度高，在空間展開式天線領(lǐng)域也有廣闊的發(fā)展前景[1]。展開過程動力學(xué)分析是空間可展結(jié)構(gòu)研究的關(guān)鍵之一，但其幾何拓撲關(guān)系復(fù)雜，桿件和節(jié)點多，機構(gòu)自由度多，若用經(jīng)典多體力學(xué)理論分析桁架結(jié)構(gòu)的展開運動過程，未知量多、建模復(fù)雜、效率低[2-3]。另由于彈性的存在，彈性變形成為不可忽略的因素，與整體的剛性大位移存在強耦合，使展開過程的動力特性十分復(fù)雜，對其展開過程的控制涉及振動、軌跡、展開速度控制等多方面[4]。文獻[5]基于多剛體系統(tǒng)動力學(xué)Lagrange方法，采用廣義坐標法并考慮耗散力、鉸鏈處扭簧的驅(qū)動力及索網(wǎng)預(yù)張力對展開過程的影響，建立了周邊桁架可展天線展開過程的動力學(xué)模型，根據(jù)規(guī)劃的天線展開運動得出相應(yīng)的驅(qū)動力。文獻[6]在可展結(jié)構(gòu)中設(shè)置剛性體以有效提高展開效率，保證形狀精度。文獻[7]用遞推動力學(xué)建模方法對星載天線機構(gòu)進行了動力學(xué)分析，表明該算法可滿足動力學(xué)實時仿真及控制系統(tǒng)設(shè)計要求。索網(wǎng)天線的剛度和強度主要是由桁架的豎桿提供，中間部分的拉索只用于調(diào)節(jié)網(wǎng)狀形面精度[8-9]。商業(yè)軟件雖能對索網(wǎng)活動節(jié)點位置進行預(yù)測，但難以進行控制應(yīng)用[10]。為此，本文用剛度分析方法對天線展開過程系統(tǒng)參數(shù)預(yù)估及其受力狀態(tài)設(shè)計進行了研究。

1 索網(wǎng)天線展開建模方法

1.1 基本空間算子定義

定義第k個剛體于內(nèi)鉸Ok處建立連體坐標系。常用基本算子有：剛性力移位算子φ(k+1,k)；為鉸Ok+1，Ok間位移矢量的叉乘矩陣；Rk+1,k為第k+1，k個連體坐標系間旋轉(zhuǎn)變換矩陣；第k體空間慣量質(zhì)量；J(k)∈R3×3為相對Ok處的慣量張量；p(k)為第k體質(zhì)心至連體坐標系原點的位移矢量；為位移矢量對應(yīng)的叉乘矩陣；m(k)為第k體質(zhì)量；H(k)∈Rnr(k)×6為從狀態(tài)空間至關(guān)節(jié)空間的投影算子；nr(k)為第k個鉸關(guān)節(jié)的自由度。

1.2 一般樹形拓撲結(jié)構(gòu)說明

圖1 一般樹形多體系統(tǒng)拓撲結(jié)構(gòu)Fig.1 Tree topology of multibody system dynamics

表1 低序體列陣

由表1可知：Pa(k)列中未出現(xiàn)的體號1、2、5屬末端體，重復(fù)出現(xiàn)的體號4、7屬分枝體，且重復(fù)出現(xiàn)數(shù)次，表明有多個分枝(此處為2個)。鏈式系統(tǒng)是樹形系統(tǒng)的特例，因其Pa(k)=k+1。組成的低序體列陣中，不被其它列包含的低序體列陣為一個分支鏈，此處一個分鏈由體1、4、7、8組成；一個分鏈由體2、3、4、7、8組成；另一個分鏈由體5、6、7、8組成。

1.3 混合動力學(xué)遞推算法

根據(jù)機構(gòu)各鉸關(guān)節(jié)狀態(tài)，可將問題歸為兩類：反向動力學(xué)用于求出各驅(qū)動關(guān)節(jié)力或力矩；正向動力學(xué)用于求出各關(guān)節(jié)的角加速度。混合動力學(xué)可同時計算上述兩類問題，特別適于欠驅(qū)動系統(tǒng)的動力學(xué)建模。索網(wǎng)天線鉸驅(qū)動關(guān)節(jié)按預(yù)定軌跡展開，屬于反向動力學(xué)問題。展開過程會影響衛(wèi)星本體的姿態(tài)指向，為正向動力學(xué)問題。

混合遞推與正向動力學(xué)建模相似，可包括以下步驟：按鉸接體慣量方法計算系統(tǒng)的慣量；從頂端n體到基體1體的殘余力的遞推計算；正向動力學(xué)加速度計算。

a)鉸接體慣量計算

P+(0)=0；

fork=1，…，n，

P(k)=φ(k,k-1)P+(k-1)φ*(k,k-1)+Mm(k)∈R，

ifk∈Ia，

else

D(k)=H(k)P(k)H*(k)∈R，

G(k)=P(k)H*(k)(D(k))-1∈R，

K(k+1,k)=φ(k+1,k)G(k)∈R，

end if

b)冗余力遞推計算

z+(0)=0，

fori=1，…，n，

ifk∈Ia，

z(k)=φ(k,k-1)z+(k-1)+P(k)×a(k)+H*(k)β(k)+b(k)+K(k)?(k)，

z+(k)=z(k)，

else

z(k)=φ(k,k-1)z+(k-1)+P(k)×a(k)+b(k)+K(k)?(k)，

ε(k)=T(k)-H(k)z(k)，

v(k)=(D(k))-1ε(k)，

z+(k)=z(k)+G(k)ε(k)，

end if

end loop

式中：z+(0)為分支末端體外結(jié)點處偏置力；a(k)為第k個體的哥氏加速度、離心加速度算子；β(k)為鉸關(guān)節(jié)空間速度；b(k)為第k個剛體哥氏力、離心力算子；K(k)為剛體移位Kalman增益算子；?(k)為關(guān)節(jié)角度；ε(k)為關(guān)節(jié)驅(qū)動遞推移位算子；T(k)為狀態(tài)空間力偶；v(k)為關(guān)節(jié)空間加速度。

c)系統(tǒng)加速度和主動力遞推計算

α(N+1)=0，

fori=1，……，n，

ifk∈Ia，

T(k)=H*(k)f(k)，

else

end if

end loop

式中：α(k)，f(k)，T(k)，χ(k)分別為第k體加速度、關(guān)節(jié)廣義力、狀態(tài)空間廣義力和絕對加速度。借鑒Kalman濾波方法的計算結(jié)構(gòu)，即分為向內(nèi)的濾波過程和向外的遞推過程平滑。通過找到滿足與離散卡爾曼濾波的Riccati方程類似的微分方程實現(xiàn)。

2 索網(wǎng)天線展開過程等效模型

兩個桁架單元的展開如圖2所示。展開原理為連續(xù)的展開索依次穿過桁架單元的可伸縮對角桿，通過電機帶動展開索收縮展開環(huán)形桁架。在結(jié)點B、D、F處各有同步齒輪1對，保證整個桁架在展開過程中的同步，即在展開過程中各矩形單元始終保持形狀相同。當桁架運動至完全展開狀態(tài)時，可伸縮對角桿AE、CE中的細管分別頂在頂點A、C，阻止其進一步運動，同時弦桿運動至與豎桿垂直位置，節(jié)點蓋板間的填充限位件與弦桿連接件緊密接觸，阻止其轉(zhuǎn)動。

(a)收縮狀態(tài) (b)展開過程中 (c)完全展開圖2 兩個桁架單元展開Fig.2 Deploying sketch map of two truss cell

分析發(fā)現(xiàn)其中含雙重閉環(huán)，問題非常復(fù)雜，對其進行簡化，先去除腹桿，只剩下3主桿根，用等效力矩替代腹桿的驅(qū)動和鎖定作用，則就轉(zhuǎn)為對鏈式結(jié)構(gòu)進行動力學(xué)建模，如圖3所示。

圖3 用等效力矩簡化Fig.3 Simplification by equivalent moment

3 數(shù)值實例

本文以周邊桁架天線展開為研究對象，仿真中取參數(shù)為：彈性模量90 GPa，泊松比0.33，天線桿件直徑0.035 m，每個豎桿和橫桿的長度1.414 m，豎桿、橫桿、對角桿密度1 900 kg/m3，衛(wèi)星本體質(zhì)量3 404.5 kg，質(zhì)心位置(1 069，-2，2 340)，轉(zhuǎn)動慣量

設(shè)衛(wèi)星初始位置和速度置分別為

桁架展開過程規(guī)劃經(jīng)歷加速-勻速-減速過程，共用時1 800 s，不同時間的規(guī)劃展開鉸鏈角速度如圖4所示。

圖4 規(guī)劃的鉸鏈展開角速度Fig.4 Angle velocity of joint deploying

仿真時間2 000 s，分別對50個桁架單元的桁架結(jié)構(gòu)展開進行數(shù)學(xué)仿真計算，其中加速段0～200 s中部分關(guān)節(jié)鉸鏈的驅(qū)動力矩如圖5、6所示；減速段1 600～1 800 s內(nèi)關(guān)節(jié)鉸鏈的驅(qū)動力矩如圖7、8所示。不同自由度展開機構(gòu)展開過程所需時間：桁架單元50個為47.971 s；桁架單元100個為1 min 32.483 0 s；桁架單元1 000個為15 min 45.202 0 s。

圖5 加速段關(guān)節(jié)1鉸鏈驅(qū)動力矩Fig.5 Drive moment of joint 1

圖6 加速段加速段關(guān)節(jié)10鉸鏈驅(qū)動力矩Fig.6 Drive moment of joint 10

圖7 減速段關(guān)節(jié)1鉸鏈驅(qū)動力矩Fig.7 Drive moment of joint 1

圖8 減速段關(guān)節(jié)10鉸鏈驅(qū)動力矩Fig.8 Drive moment of joint 10

由仿真結(jié)果可知：按電機驅(qū)動角速度設(shè)計策略桁架能保持平穩(wěn)展開。分析鉸鏈中間處鉸鏈展開驅(qū)動力矩，可發(fā)現(xiàn)在加速和降速段，鉸鏈1處的最大力矩分別為13，2.2 N·m，最小力矩分別為約-15.5，-2.5 N·m；鉸鏈10處的最大力矩分別為22 000，7 500 N·m，最小力矩分別為約-18 000，-7 800 N·m?？傮w來說，本文規(guī)劃能使桁架有效展開，用遞推動力學(xué)建模算法對多自由度大型桁架或天線結(jié)構(gòu)的展開計算分析可行。

4 結(jié)束語

本文用空間算子代數(shù)動力學(xué)遞推建模方法，將

含雙閉環(huán)索拓撲結(jié)構(gòu)的網(wǎng)動力學(xué)建模轉(zhuǎn)為采用等價力矩的鏈式多體系統(tǒng)動力學(xué)模型，理論上提高了動力學(xué)模型的復(fù)雜性和計算速度。該方法適于大型可展開機構(gòu)的快速計算。對實際工程中天線的展開過程的參數(shù)設(shè)計、力學(xué)性能分析具有一定的指導(dǎo)意義，但實用性還有待試驗確認。

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Study on Recursive Dynamic Modeling and Simulation of a Cable-Truss Deployable Space Antenna

LIU Fu-cheng1, 2, SUN Hong-li1, 2, ZHU Dong-fang1, 2, SUN Jun1, 2

(1. Shanghai Space Intellective Control Technology Lab, Shanghai 201109, China; 2. Shanghai Institute of Spaceflight Control Technology, Shanghai 201109, China)

Due to many degrees of freedom and nonlinearity of large deployable space antenna, a fast recursive modeling with multi-degree of freedom system of a cable truss deployable space mechanism was given in this paper in order to give a better control to the deployment. The elastic parts were treated by the finite segment, and meanwhile the driven and locking of brace were replaced by the equivalent moment. As a result, the large cable-truss double closed loop was equivalent to the chain multi-body system. Large cable-truss antenna was modeled by spatial operator algebra, and the antenna deformation motion and driven moment were obtained by computation of solving dynamic response. The spatial angular displacement, angular velocity and driving moment of the joint in acceleration and deceleration phase were gained in a sample. The study showed that the method proposed was a recursive dynamic modeling with high accuracy and efficiency which was suitable to the fast computation of large deployable mechanism. The study is valuable to the parameter design and mechanic analysis of the antenna deployment in engineering.

Cable-truss deployable space antenna; Deployable process; Equivalent moment; Cable truss double closed loop; Chain multibody system; Spatial operator algebra; Angular displacement; Angular velocity; Spatial driving moment

1006-1630(2016)04-0021-05

2015-12-13；

2016-04-26

上海市自然科學(xué)基金資助(16ZR1415700)

劉付成(1973—)，男，研究員，主要從事航天器姿態(tài)控制研究。

V443.4； TP391.9

A

10.19328/j.cnki.1006-1630.2016.04.004