F.+Herrmann

摘 要：本文通過對珠鏈噴泉的模型建構(gòu)，用動量流和能流的概念定量地討論了這一有趣的現(xiàn)象，畫出了珠鏈中的動量流圖和能流圖。

關(guān)鍵詞：珠鏈噴泉；對流動量流；傳導動量流；能流

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2016）11-0014-4

自從《紐約時報》上發(fā)表“珠鏈噴泉”（chain fountain）現(xiàn)象以來，它至少已成為世界各地的物理學家們餐桌上討論的話題之一[1，2]。人們不只一次地要筆者用動量流來解釋這一現(xiàn)象。確實，珠鏈噴泉似乎注定要成為演示動量流概念的例子。

人們會問，為什么珠鏈會上升，即為什么它不直接從容器的邊緣流出？筆者將計算在沒有能量耗散的條件下（除珠鏈撞擊地面外）噴泉的高度，如圖1中所示的h，同時也將定義一個開始時各鏈的連接處無耗散的必要條件。

為此，我們先分析其動量流，然后再分析其能流。最后我們將討論，為了滿足無耗散的條件，開始時（或珠鏈連接處上跳時）的情況。

由于我們將多次提到珠鏈的構(gòu)成，我們將給出珠鏈連接處的設(shè)計情況，如圖2所示，每個連接由一根桿組成，在桿上固定著一個珠子。珠子攜帶著珠鏈的全部質(zhì)量，因而桿子被假定為無質(zhì)量，且可彈性地彎曲。桿與桿之間用鉸鏈連接。每個珠子在桿子上的情況基本符合珠鏈噴泉的工作原理。這一點將在第3節(jié)中討論。

1 動量流

根據(jù)需要，我們只考慮動量的豎直分量（即z分量），并規(guī)定向下為運動的正方向。

一支運動著的、處于拉伸狀態(tài)的珠鏈傳輸著動量。其中，有兩種動量流：對流動量流（convective current）和傳導動量流（conductive current）。

（1）對流動量流

對流動量流的提出基于每個珠子由于具有質(zhì)量和速度因而具有動量這一事實。由于珠子在運動，所以動量隨珠子一起流動。

傳導動量流的提出基于桿子處于拉伸狀態(tài)這一事實。這一動量流的分量與珠鏈的運動無關(guān)。它的強度等于我們通常所說的力。

我們可以認為，珠子攜帶著對流動量流，桿子攜帶著傳導動量流。

我們設(shè)：

Fc=對流動量流，

Fs=傳導動量流[下標“s”表示桿子（stick）]。

對流動量流等于速度和質(zhì)量流Im的乘積：

Fc=v·Im；

質(zhì)量流可以寫為：

Im=λ·v，

式中λ是單位長度珠鏈的質(zhì)量。

這樣，對流動量流可表示為：

Fc=v·Im=λv2。

珠鏈的每一位置具有相同的對流動量流的絕對值。在珠鏈的豎直部分（左右兩部分）的動量流的方向均為豎直向下，如圖3所示。在珠鏈的右部分，正的動量向下流動；在左部分，負的動量向上流動（等效于正的動量向下流動）。

珠鏈左右豎直部分的對流動量流（淺色部分）相等。用淺色表示的對流動量流向下流，用深色表示的傳導動量流向上流。在流的過程中，新的動量流通過引力場從地球流入珠鏈。

（2）傳導動量流

由于桿子處于拉伸狀態(tài)，在左右兩部分的桿子中的傳導動量流的z分量均向上流，如圖3所示。并且，在向上的方向上，其絕對值不斷增大，這是因為在向上的方向上有動量通過引力場從地球流入珠子。每一長度l所增加的動量流為：

FG/l=λ·g。

在珠鏈右邊的豎直段的最低端（即C點），傳導動量流為零。在頂部（即A點），傳導動量流為：

FG=λ·g·（h0+h）。

現(xiàn)在我們來分析珠鏈左邊的豎直段。

在U形頂部轉(zhuǎn)折處A點，珠鏈左右段之間沒有相互交換的z動量流。在頂部，對流動量流和傳導動量流的z分量均為零。因此，在這一點沒有z動量流流過。由于這個原因，向下流動的對流動量流的絕對值等于向上流動的傳導動量流的絕對值。我們來分析在珠鏈頂部（實際上在彎曲部分的下方）的傳導動量流FS，A：

FS，A=FC=λv2。

在底部（即B點），傳導動量流比A點的小λ·g·h。因此，我們有：

FS，B=FS，A-λ·g·h=λv2-λ·g·h。

到達B點的對流動量流λv2必定流到了某處，然而，向上的傳導動量流是不充足的。我們必須避免λv2向上流，但只有（λv2-λ·g·h）向上流。這里有多余的部分λ·g·h。如果沒有其他動量流流出，這一項將為零，h也將為零，珠鏈就不可能發(fā)生噴泉現(xiàn)象。額外的動量流只能流到盛珠鏈的容器中，最終流入地球（E）。珠鏈能產(chǎn)生噴泉現(xiàn)象的事實表明，這流出的動量是存在的。我們尚不知道這動量流FE為什么和怎樣離開珠鏈進入地球，但我們知道它必定等于

FE=λ·g·h（1）

在頂部A處，向上的動量是如何轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛳碌膭恿康模筷P(guān)于這一點，我們再說一句。這一過程并不剛好發(fā)生在所確定的高度，而是發(fā)生在珠鏈從豎直向水平開始彎曲的地方。

2 能流

我們可以用分解動量流的方法來分解珠鏈中的能流。

對流動量流伴隨著動能一起流動：

跟對流動量流一樣，能流的這一分量在珠鏈各處具有相同的值。在珠鏈的左部分，它向上流，即與動量流的方向相反；在右部分，它向下流，即與動量流的方向相同，如圖4所示。

能量從引力場流入珠鏈的右部分。在右部分，這能流向上流；在左部分，它向下流。因而，它的一部分流入珠鏈，然后流回引力場。它的剩余部分被用來加速珠子。然后，它以動能的形式與珠子一起流動，最后在C處（珠子與地面撞擊處）耗散。

另外，能量通過桿子與傳導動量流一起流動。它與傳導動量流之間的關(guān)系為：

PS=v·FS。

與傳導動量流一樣，它在向上的方向上逐漸增大。這是由于它與引力場之間有能量交換：在右部分，能量流入珠鏈；在左部分，能量從珠鏈流出。在長度Δz的那一段珠鏈上，流向引力場或從引力場流入的能量傳輸率為：

我們來分析裝置的上半部分。其長度為Δz=h。在右邊流入珠鏈的能流為：

在左邊有相同的能流從珠鏈流出。對這兩部分能流，我們不感興趣，因為它們對總能流沒有貢獻，它們僅僅穿過這個系統(tǒng)。我們感興趣的是流入珠鏈右下部分的能流。它等于：

該部分能流向上流，然后沿珠鏈向左轉(zhuǎn)彎，再向下流，用于加速在容器B處的珠子。

3 耗 散

珠子的加速過程可以被看作碰撞過程。運動部分的珠鏈與下一個容器中的珠子相連。它好比這樣一個物體，其質(zhì)量明顯大于正在被加速的珠子的質(zhì)量。

根據(jù)珠鏈連接處不同的設(shè)計情況，此碰撞過程（至少在理論上）可以被看成是彈性程度不同（從完全非彈性碰撞到完全彈性碰撞）的碰撞。

如果它是一個完全彈性碰撞過程，所有流入的能流全部用來給珠子加速：

由此，我們得到：

v2=gh0。

因此，我們得到總的結(jié)論為：

gh0≤v2≤2gh0。

這里我們忽略了其他能量損失或耗散。

4 各種不同類型的碰撞

下面我們來分析靜止在水平地面上單獨一鏈的情況。在某一瞬間，它將受到（在前一時刻已被加速的）旁邊的一鏈所施加的向上的拉力。我們根據(jù)珠子在桿上的不同位置分幾種情況來討論。

首先，我們假定珠子在桿子的右端，如圖5中的a所示。這時，珠子的速度就是珠鏈的速度。我們知道，這情況跟大質(zhì)量物體與小質(zhì)量物體的完全非彈性碰撞相同。在這一過程中有一半能量耗散了。然而，珠鏈的各部分都是彈性的，為何這個過程是完全非彈性的？即使初始的碰撞是部分彈性的，有一半能量必定會流走，很可能由于碰撞而很快消失。結(jié)果，它必定以珠鏈的速度運動。這就意味著，有一半能量耗散了。

如果我們把珠子稍向運離鉸鏈的方向移動，其碰撞后速度將變小，能量耗散也將變小。如果把它移到桿的中點，如圖5中的b所示，它碰撞后的速度剛好等于珠鏈的運動速度，這時沒有能量耗散。如果再將它向左移動，它碰撞后的速度將減小，碰撞又變成非彈性碰撞。當它靠近下一個鉸鏈時，相應(yīng)的碰撞為非彈性碰撞。只有當珠子處于桿的中間位置時，碰撞才是彈性的。

我們來看一個有趣的事實：角動量的作用。如果珠子被放在桿的中點，碰撞（運動珠鏈的拉動）將導致桿轉(zhuǎn)動。盡管其轉(zhuǎn)動慣量很?。U長珠子小），它不會轉(zhuǎn)動。地球?qū)⒆柚蛊滢D(zhuǎn)動。相同的動量從右端連接處流出，沿珠鏈向上流；它同樣從左端連接處流向地球。

因此，珠子獲得了相同數(shù)量的“負動量”。在這過程中，兩份角動量流入桿子，并相互抵消。

最后，我們弄清了額外的動量流FE的來源[見方程（1）]。這動量流決定了噴泉的高度：

在無能量耗散的情況下，我們有：

v2=2gh0，

噴泉的最大高度為：

hmax=h0。

實際上，不僅僅在我們所討論的碰撞過程中有能量耗散。因此，我們可以給出噴泉的高度和速度的區(qū)間：

0≤h≤h0，

gh0≤v2≤2gh0。

參考文獻：

[1]http：//www.nytimes.com/2014/03/04/science/the-chain-

fountain-explained.html？-r=0

[2]http：//www.youtube.com/watch？annotation-id=annotation-625777&feature=iv&src-vid=-dQJBBklpQQ&v=6ukMld5fli0

（欄目編輯 趙保鋼）