薛朝暉
重視課本習題,舉一反三
薛朝暉
蘇科版七(下)第七章30頁習題7.5第4題:
如圖1,已知AB∥CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD.射線BE與CE交于點E.求證:BE⊥CE.
又由AB∥CD,知∠ABC+∠BCD=180°,
即BE⊥CE.
【分析一】由角平分線的定義,易得∠1、∠2與∠BCD、∠ABC之間的倍分關系,再利用“兩直線平行,同旁內角互補”的結論進行整體代換,即可解決問題.
解法1(整體轉化法)
又AB∥CD,∴∠BCD+∠ABC=180°,
∴∠E=180°-(∠1+∠2)=180°-90°= 90°,即BE⊥CE.
【分析二】作平行線,把∠E分成兩個角,并將這兩個角與∠1、∠2聯(lián)系起來,進行有效轉化.
解法2(分解轉化法)
解:如圖2,過點E作EF∥AB,交BC于F,
又AB∥CD,∴AB∥EF∥CD.
【分析三】要求∠E,只需求出∠E的鄰補角,延長BE后,出現(xiàn)新的△CEM(如圖3),△CEM的三個內角分別與△BEC的三個內角相等,用對應思想便可解決問題.
解法3(對應轉換法)
解:延長BE交CD于點M.
∵AB∥CD,∴∠CME=∠ABE=∠2,
又∠1+∠2+∠BEC=∠ECM+∠CME+∠CEM=180,
而∠1=∠ECM,∠2=∠CME,
∴∠BEC=∠CEM.
又∠BEC+∠CEM=180°,
即BE⊥CE.
【總結】把此習題概括成一句話就是:兩條平行線被第三條直線所截,一對同旁內角的角平分線互相垂直.
通過對此習題的多種解法的深入探討,可以加強知識間的聯(lián)系,實現(xiàn)方法和技能的融會貫通,從而培養(yǎng)思維的深刻性和靈活性.
【變式一】探求原習題的逆命題
例1參照圖1,兩條直線AB、CD被第三條直線BC所截,所成的同旁內角的平分線BE和CE互相垂直,探求AB與CD的位置關系.
解:∵BE⊥CE,∴∠1+∠2=90°.
又BE、CE平分∠ABC、∠BCD,
∴∠ABC+∠BCD=180°,
∴AB∥CD.
【說明】進一步可把原習題的條件與結論進行梳理,總結如下:在圖1中,直線AB、CD被BC所截,①AB∥CD,②BE平分∠ABC,③CE平分∠BCD,④BE⊥CE,以上任三個作為條件都可以推出第四個.
【變式二】在原圖基礎上,增加另一組同旁內角平分線
例2如圖4,已知AB∥CD,BE、CE、BF、CF分別是∠ABC、∠BCD、∠MBC、∠NCB的角平分線,BC不與ND垂直,則圖中與∠FBE相等的角共有多少個?
解:由原題可知∠E=90°,同理可得∠F=90°.
圖4
同理可得∠FCE=90°.
∴∠FBE=∠E=∠F=∠FCE=90°,
即與∠FBE相等的角共有3個.
【說明】本題可表述為:兩條平行線被第三條直線所截,兩對同旁內角的平分線組成的四邊形是矩形.
【變式三】在原圖基礎上,增加兩個相等的角或一組平行線
例3如圖5,∠GEF與∠DFE的平分線交于點H,AB∥CD,∠B=∠D,求證:EH⊥HF.
圖5
證明:∵AB∥CD,∴∠A=∠C,
由已知∠B=∠D,∴∠AEB=∠DFC,
又∠AEB=∠GEF,∠DFC=∠MFE,
∴∠GEF=∠MFE,∴EG∥FD,
則∠GEF+∠EFD=180°,
又EH、FH為角平分線,
即EH⊥HF.
【說明】在原習題的基礎上添加平行線后,得到一對內錯角相等,并結合其他條件進一步得出BG∥MD,這樣就將看似復雜的問題逐步轉化成已經(jīng)解決過的問題(即原習題).
由上可見,試題一般都是從經(jīng)典習題變化而來的,在平時的學習中,我們應該高度重視一些典型例題和它們的解法,充分挖掘其蘊含的數(shù)學本質,實現(xiàn)知識和技能的融會貫通,從而提高解題能力,做到舉一反三.
(作者單位:江蘇省丹陽市華南實驗學校)