◇ 吉林 李 嫣

簡述垂直關(guān)系的幾種求解策略

◇ 吉林 李 嫣

近年來,立體幾何高考命題形式比較穩(wěn)定,題目難易適中,常常立足于以多面體為依托,始終把直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)和判定作為考察重點(diǎn).在難度上也始終以中等偏難為主,重點(diǎn)在對圖形及幾何體的認(rèn)識上,實(shí)現(xiàn)平面到空間的轉(zhuǎn)化,是知識深化和拓展的重點(diǎn).本文以垂直關(guān)系為例,簡述幾種常見題型的求解策略.

1 利用垂直關(guān)系相關(guān)定理

判定定理是證明垂直關(guān)系的主要方法,另外面面垂直性質(zhì)定理,線面平行、面面平行也都有與垂直相關(guān)的結(jié)論,應(yīng)用時注意相互轉(zhuǎn)化.

例1 如圖1所示,設(shè)平面α∩β＝EF,AB⊥α,CD⊥α,垂足分別為B、D.若增加一個條件,就能夠推出BD⊥EF.

圖1

現(xiàn)有如下4個條件:

①AC⊥β;

②AC與α、β所成角相等;

③AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上;

④AC∥EF.

那么上述幾個條件中能成為增加條件的是( ).

A ②④; B ①④;

C ①②; D ①③

當(dāng)AC⊥β時,AC⊥EF,AC⊥EF.又AB⊥α,所以AB⊥EF.因?yàn)锳B∩AC＝A,所以EF⊥平面ABDC,于是EF⊥BD.

當(dāng)AC與α、β所成角相等,可以取零度角,此時有EF∥BD;當(dāng)AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上時,EF⊥平面ABDC,于是可得EF⊥BD.

若AC∥EF,則必須有EF∥BD.

綜上可得,能成為增加條件的是①、③.

AC⊥β可得EF⊥平面ABDC,于是EF⊥BD;AC與α、β所零度角時有EF∥BD;AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上時可得EF⊥平面ABDC;若AC∥EF,則必須有EF∥面ABDC,由線面平行性質(zhì)可得EF∥BD.

2 利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)

等腰三角形底邊中線、頂角的角平分線以及底邊的高線三線合一,因此在垂直關(guān)系的證明中,可利用底邊的中線作為輔助線來求解.

例2 如圖2,已知2個正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高都是2,棱AB＝4.求證:PQ⊥平面ABCD.

圖2

取AD的中點(diǎn)M,連接PM,QM.因?yàn)镻-ABCD與QABCD都是正四棱錐,所以AD⊥PM,AD⊥QM,從而AD⊥平面PQM.

又PQ?平面PQM,所以PQ⊥AD.同理PQ⊥AB.

又AD?平面ABCD,AB?平面ABCD,AD∩AB＝A,所以PQ⊥平面ABCD.

連接平行四邊形ABCD的對角線,由2個正四棱錐可得2個等腰三角形,由其幾何性質(zhì)可得垂直關(guān)系,進(jìn)而證得線面垂直.當(dāng)幾何體中出現(xiàn)等腰三角形時,利用三線合一的性質(zhì)可得線線間的垂直關(guān)系.類似地當(dāng)幾何圖形中含有菱形、正方形時,利用其對角線互相垂直的性質(zhì)可得到線線垂直關(guān)系.

3 利用勾股定理

勾股定理是證明直角三角形的一個主要方法,在空間垂直關(guān)系中,也可借助勾股定理獲得線線垂直問題,從而將空間問題平面化,開拓證題思路.

例3 如圖3,已知四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥DC,∠ABC＝45°,DC＝1,AB＝2,PA⊥平面ABCD,PA＝1.

圖3

求證:BC⊥平面PAC.

證明 在直角梯形ABCD中,過C作CE⊥AB于點(diǎn)E,則四邊形ADCE為矩形,所以AE＝DC＝1,又AB＝2,所以BE＝1,在Rt△BEC中,∠ABC=45°,所以所以AD＝CE＝1,則所以

又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC.又PA∩AC＝A,所以BC⊥平面PAC.

利用勾股定理證明垂直關(guān)系一定注意邊角共面以及線段的長度.

4 利用三角形相似

利用三角形的相似關(guān)系可以確定三角形內(nèi)角間的關(guān)系,在空間圖形中,利用相關(guān)三角形的相似關(guān)系遷移角或者邊的長度關(guān)系可得線線之間的垂直關(guān)系.

例4 如圖4,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA＝CB,是AB的中點(diǎn).若點(diǎn)P在線段BB1上,并且

圖4

求證:AP⊥平面A1CD.

證明 因?yàn)镃A＝CB,D是AB的中點(diǎn),所以CD⊥AB.

因?yàn)樵谥比庵鵄BC-A1B1C1中,底面ABC⊥側(cè)面AA1B1B,交線為AB,CD?平面ABC,所以CD⊥平面AA1B1B.因?yàn)锳P?平面A1B1BA,所以CD⊥AP.

又因?yàn)镃D∩A1D＝D,CD?平面A1CD,A1D?平面A1CD,所以AP⊥平面A1CD.

圖5

(作者單位:吉林省長春市第二中學(xué))