◇ 湖南 李穎彥

妙構函數,秒證不等式

◇ 湖南 李穎彥

利用導數研究函數的單調性、極值和最值,再由單調性來證明不等式問題是函數、導數、不等式綜合中的一個難點,也是近幾年高考和競賽的熱點.此類問題的解題技巧是巧妙構造輔助函數,把不等式的證明轉化為利用導數研究函數的單調性或求最值,從而證明不等式,而如何根據不等式的結構特征構造一個可導函數是解決問題的關鍵.以下介紹如何構造函數來證明不等式.

1 移項作差法構造函數

(1)討論f(x)的單調性;

(1)略.

設θ(x)＝－3x2－2x＋6,x∈[1,2],因θ(1)＝1,θ(2)＝－10,所以必有x0∈[1,2],使得θ(x0)＝0,且1＜x＜x0時,θ(x)＞0,h(x)單調遞增;x0＜x＜2時,θ(x)＜0,h(x)單調遞減.

若證f(x)≤g(x)＋a(或f(x)≥g(x)＋a),那么可移項構造函數F(x)＝f(x)－g(x),再求出函數f(x)－g(x)的最大值(或最小值)就可得證.

2 換元法構造函數

當f(x)在[a,b]上單調遞增,則x＞a時,有f(x)＞f(a).本題求解中通過換元,將整數不等式轉化為函數不等式,從而利用函數的單調性來推導.

3 從條件特征入手構造函數

例3 設函數f′(x)是奇函數f(x)(x∈R)的導函數,f(－1)＝0,當x＞0時,xf′(x)－f(x)＜0,證明:當x∈(－1,0)∪(0,1)時,f(x)＞0.

因為當x＞0時,xf′(x)－f(x)＜0,故g′(x)＜0,所以g(x)在(0,＋∞)單調遞減.

又因為f(x)(x∈R)是奇函數,故函數g(x)是偶函數,所以g(x)在(－∞,0)單調遞減,且g(－1)＝g(1)＝0.

當0＜x＜1時,g(x)＞0,則f(x)＞0;

當x＜－1時,g(x)＜0,則f(x)＞0.

4 主元法構造函數

例4 已知f(x)＝ln(1＋x)－x,g(x)＝xlnx.

(1)求函數f(x)的最大值;

(1)略.

(2)學生的盲點主要是不清楚所給函數與欲證不等式有何關聯(lián).如果能挖掘其中的聯(lián)系,想到大小關系又與函數的單調性密切相關,由此就可過渡到根據所要證的不等式構造恰當的函數,利用導數研究函數的單調性,借助單調性比較函數值的大小,以期達到證明不等式的目的.

證明:對g(x)＝xlnx求導,則g′(x)＝lnx＋1.以b為主變元構造函數

因為G(a)＝0,b＞a,所以G(b)＜0,即

通過視其中b元為主元,從而將多元函數轉化為一元函數.

(作者單位:湖南省漣源市第一中學)